导数专题（期中复习）xg.doc

如皋市第一中学14-15学年高二第二学期数学学案（期中复习专题--导数）
期中复习专题——导数1
导数的定义、运算及实际意义
1. 设是可导函数，已知 2，当趋近于0时，趋近
于___________
2. 已知一个物体的位移，其中t为时间（单位：秒），则该物体在2秒时的瞬时速度为___________；该物体在2秒时的瞬时加速度为___________
3. 生产某塑料管的利润函数为（单位：元），其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，当n=450时，则n=450实际意义为____________________
4. 圆形水波面积以50cm2/s的速度向外扩张，当半径为10cm时，圆半径的瞬时变化率为____.
5. 已知，则的值为__________．

6. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点的个数是 .
7. 函数的导数的图像是如下图所示的一条直线，与轴交点坐标为，则与的大小关系为________

8. 定义在R上可导函数f（x）的图象如上图所示，则不等式的解集为______

9. 已知为奇函数,且当x>0时, ,,则不等式的解集为___.

10. （1）定义域的奇函数，当时恒成立，若
，，，则

（2）已知函数f(x)的定义域为R，f(2)＝3，且f(x)在R上的导函数满足f ′(x)－1<0，则不等式f(x)<x＋1的解集为_________．不等式f(x2)<x2＋1的解集为_________．

（3）定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( )

练习：（1）设f (x)是R上的奇函数，且f (－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)·f ¢(x)－2x·f (x)＜0，则不等式f (x)＞0的解集为________ ．

（2）已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为______.

（3）已知上的可导函数的导函数满足：，且则不等式的解是 ．

（4）设是定义在R上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为

11. 已知函数f(x)=xlnx，且x2>x1>0，则下列命题正确的是_______(写出所有正确命题的编号).
① ②； ③； ④； ⑤
切线问题
1. 曲线在点处的切线方程为

2. 过原点作曲线的切线，则切线方程为________________

3. 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为 ．

4. 已知函数，若函数在x=2处得切线方程为y=x+b,则a，b的值为

5. 设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为

6. 已知函数,若，且点P为曲线上的一个动点，则以点P为切点的所有切线中，斜率最小的切线的方程为

7. 已知函数,满足,,,,则函数的图象在处的切线方程为 .

8. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

9. 函数，已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围

单调性
1. 函数的单调递减区间为

2. 函数在上的单调增区间为________

3. 函数在上的单调增区间为

4. 已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是________

5. 已知函数若函数上为单调增函数，则a的取值范围

6. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围________

7. 已知函数在区间(1,2)上不是单调函数,求的取值范围。

8. 已知函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围

9. 判断并证明的单调性（）。

10. 设函数，当k=1时，判断函数的单调性，并加以证明。

11. 判断函数（）的单调性

12. （1）判断函数在（1,2）上的单调性；（2）判断函数在上的单调性(其中)

13. 已知函数求的单调区间

14. 已知函数，求函数的单调区间;

极值、最值、恒成立、有解问题
1. 已知函数，函数的所有极值点有___________.

2. 已知函数的极大值点为__________;极大值为___________.

3. 函数的极____值为___________.

4. 函数在时有极值，那么的值分别为________。

5. 已知函数f(x)=在区间(内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是________________．
6. 已知函数，为的导函数，满足；有解，但解却不是函数的极值点.求

7. 函数的值域___________.

8. 函数的值域为___________.

9. 已知函数，且在区间上存在最大值，则m的范围为__________

10. 已知f(x)＝xlnx-2x，求函数f(x)在[m，m＋3]( m＞0)上的最值

11. 已知函数．若函数在上的最小值为3，求实数的值．

12.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

13．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫做闭函数。
（1）现有f(x)＝＋k是闭函数，那么k的取值范围是________．－<k≤－2
（2）现有f(x)＝＋k是闭函数，那么k的取值范围是________．

14. 已知函数， ,
(1)至少存在一个,使成立,求实数的取值范围.
(2)对一切,使成立,求实数的取值范围.
(3)函数的图象始终在函数的上方。

15. 设函数.当时，求证：对一切恒成立；

16. 已知.当，时，证明函数只有一个零点；

17. 已知函数f(x)＝1＋lnx－，其中k为常数．
（1）若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；（2）若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值．（参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30）

期中复习专题——导数2
双变量问题
1. 已知函数，，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．

2. 已知函数（为常数）
（1）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；
（2）若对任意的存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围。

3. 已知函数，其中实数是常数．记的导函数为，则当时，对任意，总存在使得，求实数的取值范围．

4. 已知函数，若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值。

5. 已知函数若对任意当及，恒有成立，求实数m的取值范围．

6. 已知函数，设，如果对任意， ，求的取值范围．

7. 设求证：

8. 已知函数设P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是函数 f（x）图象上任意两点，且
0＜x1＜x2，若存在实数x3＞0，使得f’（x3）= ．证明：x1＜x3＜x2．

9. 已知函数，其中是实数，设为该函数的图象上的两点，且.若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围.

导数的综合应用
1. 已知函数，求的单调减区间及在区间上的值域，并证明

2. 已知(为正实数). 当时，求证：对于大于的任意正整数，都有

3. 求证：.

4. 已知f(x)＝xlnx+x，证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx＋1＞成立。

5. 设函数.若， k 为整数，为的导函数，且当时，，求 k 的最大值．

导数的定义、运算及实际意义
1. 设是可导函数，已知 2，当趋近于0时，趋近于
2. 已知一个物体的位移，其中t为时间（单位：秒），则该物体在2秒时的瞬时速度为___________；该物体在2秒时的瞬时加速度为___________
3. 生产某塑料管的利润函数为，其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润的单位为元。n=450时值，使，请解释n=450实际意义。
4. 圆形水波面积以50cm2/s的速度向外扩张，当半径为10cm时，圆半径的瞬时变化率为__________.
5. 已知，则的值为______．
6. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点的个数是 .
7. 函数的导数的图像是如图所示的一条直线，与轴交点坐标为，则与的大小关系为________相等
8. 定义在R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式的解集为　_______

9. 已知为奇函数,且当x>0时, ,,则不等式的解集为____________.【答案】
10. （1）定义域的奇函数，当时恒成立，若
，，，则
（2）已知函数f(x)的定义域为R，f(2)＝3，且f(x)在R上的导函数满足f ′(x)－1<0，则不等式f(x)<x＋1的解集为_________．不等式f(x2)<x2＋1的解集为_________．
（3）定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( )

练习：（1）设f (x)是R上的奇函数，且f (－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)·f ¢(x)－2x·f (x)＜0，则不等式f (x)＞0的解集为________ ．(－∞,－1)∪(0,1)
（2）已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为______.【答案】
（3）已知上的可导函数的导函数满足：，且则不等式的解是 ．答案：
（4）设是定义在R上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为0
11. 已知函数f(x)=xlnx，且x2>x1>0，则下列命题正确的是_______(写出所有正确命题的编号).
① ②； ③； ④； ⑤

切线问题
1. 曲线在点处的切线方程为
2. 过原点作曲线的切线，则切线方程为________________
3. 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为 ．
4. 已知函数，若函数在x=2处得切线方程为y=x+b,求a，b的值为a=2，b=﹣2ln2
5. 设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
6. 已知函数,若，且点P为曲线上的一个动点，则以点P为切点的所有切线中，斜率最小的切线的方程为
7. 已知函数,满足,,,,则函数的图象在处的切线方程为 ▲ .答案：2x－y－1＝0

8. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

. 因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则．
因为，所以切线的斜率为．………………………………9分
则=，………………………………………………………………11分
即．
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
所以函数有三个不同的零点．
则．令，则或．

0

2

+

+

增
极大值
减
极小值
增
则 ，即，解得．…………………………………

9. 函数，已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围

单调性
1. 函数的单调递减区间为________

2. 函数在上的单调增区间为________
3. 函数在上的单调增区间为
4. 已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是________
5. 已知函数若函数上为单调增函数，则a的取值范围
6. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围________
7. 已知函数在区间(1,2)上不是单调函数,求的取值范围。

8. 已知函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围
由题知在上有解，设，则，所以只需故b的取值范围是.

9. 判断并证明的单调性（）。

10. 设函数，当k=1时，判断函数的单调性，并加以证明。
当时，
，所以函数在上是单调减函数

11. 判断函数（）的单调性

12. （1）判断函数在（1,2）上的单调性；（2）判断函数在上的单调性(其中)

13. 已知函数求的单调区间
当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在上单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为；

14. 已知函数，求函数的单调区间;
由题意得，函数的定义域为，
易求得
①当时，在恒成立，
则在恒成立，此时在单调递减。………………4分
②当时，
ⅰ若，由即，得
由即得……………………7分
所以函数的单调增区间为
单调减区间为 …………………………8分
ⅱ若，在上恒成立，则在上恒成立，所以
此时在单调递增。…………………………10分

极值、最值、恒成立、有解问题
1. 已知函数，求出函数的所有极值点。
2. 已知函数的极大值点为__________;极大值为___________.
3. 函数的极____值为___________.
4. 函数在时有极值，那么的值分别为________。
5. 已知函数f(x)=在区间(内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是___ ____．
6. 已知函数，为的导函数，满足；有解，但解却不是函数的极值点.求
，
∵，∴函数的图象关于直线x=1对称，b=-1. ……2分
由题意，中，故c=1. ……3分
所以 . ………………………4分

7. 函数的值域___________.
8. 函数的值域为___________.
9. 已知函数，且在区间上存在最大值，则m的范围为
10. 已知f(x)＝xlnx-2x，求函数f(x)在[m，m＋3]( m＞0)上的最值

11. 已知函数．若函数在上的最小值为3，求实数的值．
（2）由（1）得，．
①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．
所以，解得（舍去）．
②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．
所以，解得（舍去）．
③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．
所以，所以．

12.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_____(－∞，2ln 2－2]___．

13．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫做闭函数。
（1）现有f(x)＝＋k是闭函数，那么k的取值范围是________．－<k≤－2
（2）现有f(x)＝＋k是闭函数，那么k的取值范围是________．

14. 已知函数， ,
(1)至少存在一个,使成立,求实数的取值范围.
(2)对一切,使成立,求实数的取值范围.
(3)函数的图象始终在函数的上方。

因为存在使得成立，所以，即
…………………………12分
令其中，，当时，，所以函数在上是单调递增的，得，因此，所以实数的取值范围为 …………………………16分

15. 设函数.当时，求证：对一切恒成立；
当时，
，令，则
所以函数在上是单调减函数，在上是单调增函数
所以当时，函数取得最小值，最小值为
所以恒成立

16. 已知.当，时，证明函数只有一个零点；
当a＝-1，b＝－1时，f(x)＝lnx+x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，
．
∴函数f(x)只有一个零点．

17. 已知函数f(x)＝1＋lnx－，其中k为常数．
（1）若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；
（2）若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值．
（参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30）
解：（1）当k＝0时，f(x)＝1＋lnx．
因为f ¢(x)＝，从而f ¢(1)＝1．
又f (1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程y－1＝x－1，
即x－y＝0． ……… 3分
（2）当k＝5时，f(x)＝lnx＋－4．
因为f ¢(x)＝，从而
当x∈(0，10)，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(10，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝10时，f(x)有极小值． ……………… 5分
因f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点．
因为f(e4)＝4＋－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点．
从而f(x)有两个不同的零点． …………… 8分
（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，
即k＜对x∈(2，＋∞)恒成立．
令h(x)＝，则h¢(x)＝．
设v(x)＝x－2lnx－4，则v¢(x)＝．
当x∈(2，＋∞)时，v¢(x)＞0，所以v(x)在(2，＋∞)为增函数．
因为v(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v(9)＝5－2ln9＞0，
所以存在x0∈(8，9)，v(x0)＝0，即x0－2lnx0－4＝0．
当x∈(2，x0)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增．
所以当x＝x0时，h(x)的最小值h(x0)＝．
因为lnx0＝，所以h(x0)＝∈(4，4.5)．
故所求的整数k的最大值为4． …………… 16分
方法二：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立．
f(x)＝1+lnx－，f ¢(x)＝．
①当2k≤2，即k≤1时，f¢(x)＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增．
而f(2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．
②当2k＞2，即k＞1时，
当x∈(2，2k)时，f ′(x)＜0， f(x)单调递减，当x∈(2k，＋∞)，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝2k时，f(x)有最小值f(2k)＝2＋ln2k－k．
从而f(x)＞0在x∈(2，＋∞)恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．
令g(k)＝2＋ln2k－k，则g¢(k)＝＜0，从而g(k) 在(1，＋∞)为减函数．
因为g(4)＝ln8－2＞0，g(5)＝ln10－3＜0 ，
所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．
综合①②，知所求的整数k的最大值为4． ……… 16分

双变量问题
1. 已知函数，，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．
若对任意，，不等式恒成立，
问题等价于， ．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

当时，；
当时，；
当时，；
问题等价于 或 或
解得 或 或
即，所以实数的取值范围是
2. 已知函数（为常数）
（1）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；
（2）若对任意的存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围。
（2）当0＜a≤2时，f′（x）=
因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，
故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立
记，（1＜a＜2），则，…（10分）
令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0
所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）
故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，
所以
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）

3. 已知函数，其中实数是常数．记的导函数为，则当时，对任意，总存在使得，求实数的取值范围．
当时，
当
，即
又，
而，
对任意，总存在使得

且，解得

4. 已知函数，若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值。
令，即．得．

1

2

+

+

增
极大值
减
极小值
增
2
因为，，
所以当时，，．………………………………6分
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．
所以的最小值为4．……………………………………………………………………8分

5. 已知函数若对任意当及，恒有成立，求实数m的取值范围．
由（2）可知，当时，在区间上单调递减；
当x=1时，取得最大值；当x=3时，取得最小值；

恒成立，
，整理得，
恒成立，
………………………………………………………………（13分）

6. 已知函数，设，如果对任意， ，求的取值范围．
不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2].

7. 设求证：
要证，

只需证，
即证只需证

由（I）知上是单调增函数，又，

所以
8. 已知函数，其中是实数，设为该函数的图象上的两点，且.若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围.
当或时，，故
当时，函数的图象在点的切线方程为

即
当时，函数在切线方程为
两切线重合的充要条件是 ………13分
由①及知
由①②得
又，与在都为减函数.
∴ ………16分

9. 已知函数设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x1＜x2，若存在实数x3＞0，使得f’（x3）= ．请结合（I）中的结论证明x1＜x3＜x2．

导数的综合应用
1. 已知函数，求的单调减区间及在区间上的值域，并证明
由，得，
令，得，即的单调递减区间为.
由函数在上单调递减可知，
当时, ，即， …………11分
亦即对一切都成立，
亦即对一切都成立， …………12分
所以， ， ，
…
， …………13分
所以有 ，
所以. …………

2. 已知(为正实数). 当时，求证：对于大于的任意正整数，都有
∵ ∴ 由（1）知：在上为增函数，
∴ 对任意时，， ∴
∴时，令，即

即时，
3. 求证：.

4. 已知f(x)＝xlnx+x，证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx＋1＞成立。
，
，由得. ………6分
①当时，在上，在上
因此，在处取得极小值，也是最小值. .
由于
因此， ………8分
②当，，因此上单调递增，所以，…10分
（Ⅲ）证明：问题等价于证明,………12分
由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，..14分
设，则，易知
，当且仅当时取到，
但从而可知对一切，都有成立.…16分

设函数.若， k 为整数，为的导函数，且当时，，求 k 的最大值．
（2）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1
故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①
令g（x）=，则g′（x）=
由（I）知，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2

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