周期间歇性牵制控制的复杂网络有限时间同步_肖峰.pdf

第2卷 第2期V o l.2 N o.2 2 0 2 3年4月 J o u r n a l o f A r m y E n g i n e e r i n g U n i v e r s i t y o f P L A A p r.2 0 2 3周期间歇性牵制控制的复杂网络有限时间同步肖 峰,张 敏,廖毕文(陆军工程大学 军械士官学校,湖北 武汉 4 3 0 0 7 5)摘要:针对具有时变时滞的复杂网络有限时间同步问题,提出了基于周期间歇性牵制控制的同步方法。通过构造L y a p u n o v-K r a s o v s k i i泛函,并基于有限时间稳定性理论、矩阵理论和不等式技巧,给出了有向网络和无向网络分别实现有限时间同步的充分条件,并讨论了有向网络和无向网络在实现有限时间同步时所需牵制的关键节点的最少数量以及如何选择关键节点。同时,结合周期间歇性控制策略和牵制控制策略,设计出了有限时间周期间歇性牵制控制器,最后利用数值模拟验证了结果的正确性和有效性。关键词:复杂网络;有限时间同步;周期间歇性控制;牵制控制;时变时滞 中图分类号:O 2 3 1D O I:1 0.1 2 0 1 8/j.i s s n.2 0 9 7-0 7 3 0.2 0 2 2 0 3 2 2 0 0 1F i n i t e-T i m e S y n c h r o n i z a t i o n o f C o m p l e xN e t w o r k s v i a P e r i o d i c a l l y I n t e r m i t t e n t P i n n i n g C o n t r o l X I AO F e n g,Z HANG M i n,L I AO B i w e n(O r d n a n c e N C O A c a d e m y,A r m y E n g i n e e r i n g U n i v e r s i t y o f P L A,Wu h a n 4 3 0 0 7 5,C h i n a)A b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,a s y n c h r o n i z a t i o n m e t h o d b a s e d o n p e r i o d i c a l l y i n t e r m i t t e n t p i n n i n g c o n t r o l i s p r o p o s e d f o r t h e f i n i t e-t i m e s y n c h r o n i z a t i o n p r o b l e m o f c o m p l e x n e t w o r k s w i t h t i m e-v a r y i n g d e l a y s.B y c o n s t r u c t i n g L y a p u n o v-K r a s o v s k i i f u n c t i o n a l a n d o n t h e g r o u n d o f f i n i t e-t i m e s t a b i l i t y t h e o r y,m a t r i x t h e-o r y,i n t e r m i t t e n t a n d p i n n i n g c o n t r o l m e t h o d s a n d i n e q u a l i t y t e c h n i q u e,s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r f i n i t e-t i m e s y n c h r o n i z a t i o n o f d i r e c t e d a n d u n d i r e c t e d n e t w o r k s a r e p r o v i d e d,a n d t h e m i n i m u m n u m b e r o f t h e k e y n o d e s n e e d e d t o b e p i n n e d b y d i r e c t e d a n d u n d i r e c t e d n e t w o r k s a n d h o w t o s e l e c t t h e k e y n o d e s a r e d i s-c u s s e d.I n t h e m e a n t i m e,c o m b i n i n g p e r i o d i c a l l y i n t e r m i t t e n t c o n t r o l w i t h p i n n i n g c o n t r o l s t r a t e g i e s,a f i-n i t e-t i m e p e r i o d i c a l l y i n t e r m i t t e n t p i n n i n g c o n t r o l l e r i s d e s i g n e d,a n d t h e c o r r e c t n e s s a n d e f f e c t i v e n e s s o f t h e r e s u l t s a r e v e r i f i e d b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n.K e y w o r d s:c o m p l e x n e t w o r k s;f i n i t e-t i m e s y n c h r o n i z a t i o n;p e r i o d i c a l l y i n t e r m i t t e n t c o n t r o l;p i n-n i n g c o n t r o l;t i m e-v a r y i n g d e l a y s 收稿日期:2 0 2 2-0 3-2 2基金项目:军内科研项目(2 0 1 9 J C K T 1 0 1)。第一作者(通信作者):肖 峰,讲师,主要研究复杂网络同步控制理论及应用,1 8 8 3 3 8 9 3 1 7 91 6 3.c o m。复杂网络作为2 1世纪发展十分迅速的一门交叉学科,在自然科学、社会科学和工程技术等诸多方面都有广泛应用1,从而吸引着越来越多的研究者去探究其中的奥秘。在众多的复杂网络研究成果中,同步是其最为重要的研究方向之一,同时,由于其在人们的生产生活和自然环境中的广泛存在,使得复杂网络同步已经在诸多方向得到应用2。在这之后,国内外关于复杂网络同步的研究人数与日俱增,因此产生了大量突破性的进展,特别是在保密通信、机械制造和信息技术等领域。随着同步研究的不断加深,越来越多便捷且实用的同步方式被提出,例如:完全同步3、分群同步4、映射同步5-6、广义同步7、相位同步8、延迟同步9等。在过去的几十年里,为了实现复杂网络的同步,人们提出了许多高效、经济且实用的控制方法。但这些控制方法大多只能实现复杂网络模型的渐近或者指数同步1 0-1 1,即系统实现同步不受时间的限制。然而在实际情况中,一个复杂网络系统往往需要在有限时间内实现同步,例如:在军事防御当中,当敌方一枚导弹已经发射,在空中飞行时,我方导弹发射系统需要通过精准计算,使得发射的拦截导弹能够在有限时间内以及在风力和信号干扰的情况下,准确拦截目标1 2。也就是说,在现实世界中,人们为了完成任务、提高效率或者节省成本,常常需要网络系统 尽 可 能 快 地 实 现 同 步。因 此,有 限 时 间 同步1 3-1 9的控制方法便被提出,而后经过了越来越多学者们的研究和推广,获得了丰硕的成果,有限时间同步控制方法也得到了不断发展和完善。在复杂网络实现同步的过程中,控制网络模型完成同步的方法有很多,像主稳定函数法、连接图稳定法和L y a p u n o v方法,其中最常用的是L y a p u n o v方法。随着L y a p u n o v方法研究的不断深入和优化,研究人员针对不同类型的复杂网络模型提出了多种控制策略来完成同步。实现复杂网络同步的控制策略大致可分为两类:非连续控制和连续控制。非连续控制策略又分为非周期间歇性控制2 0-2 3、周期间歇性控制2 4-2 5、脉冲控制2 6和样本点控制2 7-2 8等;连续控制策略可分为牵制控制9,2 1,2 9、自适应控制3 0和混合控制3 1等。在以上控制策略中,间歇性控制和牵制控制是研究最广泛、最实用的控制策略。一般的同步控制策略,需要控制器控制所有节点来实现同步,如果实际的复杂网络中节点数量巨大,就会出现控制成本高、耗时长等问题,因此这样的控制器虽然可以实现同步,但在实际运行中很难产生良好的效益。此外,人们在研究实现网络同步控制的方法中还发现,时滞问题3,1 0-1 2,2 0-2 5,2 8-3 2广泛存在于复杂网络当中,例如:在通信网络中,由于传输速度快慢和通信量拥挤等原因,一个信号通过通信网络时常常伴随着时间延迟的问题。即一个信息的传递不仅和当前时间t有关,还与过去时间t-相关。而在实际的复杂系统当中,往往存在着许多不断变化的干扰因素,从而导致时滞不单是常数时滞xi(t-),更多的是变量随时间不断变化的时变时滞1 0,2 4,2 8xi(t-(t)。众所周知,一个大型的复杂系统会拥有大量的节点,所以通过控制所有节点来实现具有时变时滞的复杂网络同步,显然不现实。因此,利用牵制控制器仅需控制部分节点来驱动系统,通过节点之间的耦合关系使其整体达到同步,从而达到减少成本的效果。但是对于牵制控制这类连续性控制策略来说,控制器要全时保持在工作状态,没有休息时间,这样高强度不间断的工作将不可避免地导致设备的使用寿命、安全性大大降低,从而导致成本增加。为了解决这一问题,人们又设计了间歇性控制策略来实现复杂系统同步,但这样又面临着要控制全部节点的问题。为了结合连续和非连续控制策略两者的优点,研究了利用周期间歇性牵制控制策略来实现具有时变时滞的复杂网络有限时间同步问题,使得该控制策略在工程应用中比其他控制策略具有效率高、成本低、易于实施等优点。1 问题描述给出一个具有时变时滞的复杂网络模型,它由N个节点组成,且其中的每个节点均是n维动态网络。描述如下?xi(t)=f(t,xi(t),xi(t-1(t)+c1 Nj=1ai j1xj(t)+c2Nj=1bi j2xj(t-2(t)(1)式中:i=1,2,N,xi(t)=(xi1(t),xi2(t),xi n(t)T n;f:nn n代表连续可微的矢量函数,它控制孤立的动态节点;时滞1(t)和2(t)以 常 数 为 界,即0 1(t)1,0 2(t)2;c1,c20为耦合强度;1,2 nn为内部耦合矩阵,A=(ai j)NN和B=(bi j)NN表示节点间的外部耦合矩阵。此外,无向网络和有向网络之间最大的区别在于他们的外部耦合矩阵。在有向网络2 1中,li j0(l=a,b且ij),外部耦合矩阵是非对称矩阵,且满足下列条件li i=-j=1,jili j(l=a,b)(2)而在无向网络中,其外部耦合矩阵具有对称性,若节点i和节点j之间具有连接关系,则有li j=lj i0,否则,li j=lj i=0(l=a,b且ij),且仍满足条件(2)。基于上述条件,复杂网络模型(1)的有限时间同步问题描述如下:若存在时间t*0且对于i,j和tt*有xi(t)-s(t)=0,i=1,2,N,则称该复杂网络在有限时间t*内实现同步。其中,表示欧式范数,同步解s(t)可能一个是周期轨迹、平衡点或混沌轨迹。其状态方程为?s(t)=f(t,s(t),s(t-1(t)(3)77第2期 肖 峰,等:周期间歇性牵制控制的复杂网络有限时间同步 为实现复杂网络同步,需将控制器加入到网络(1)中,模型描述如下?xi(t)=f(t,xi(t),xi(t-1(t)+c1Nj=1ai j1xj(t)+c2Nj=1bi j2xj(t-2(t)+ui(t)i=1,2,N(4)式中:ui(t)代表控制第i个节点的控制器,将在后面给出。令ei(t)=xi(t)-s(t),1iN,作为同步误差。由于li i=-Nj=1,jili j(l=a,b),所以能够得到Nj=1li js(t)=0。因此,依照状态方程和同步误差,将网络误差动态系统写成如下形式?ei(t)=?f(t,ei(t),ei(t-1(t)+c1Nj=1ai j1ej(t)+c2Nj=1bi j2ej(t-2(t)+ui(t)i=1,2,N(5)式中:?f(t,ei(t),ei(t-1(t)=f(t,xi(t),xi(t-1(t)-f(t,s(t),s(t-1(t)。控制器ui(t)是结合间歇性控制和牵制控制策略所设计出的周期间歇性牵制控制器,表示如下ui(t)=-diei(t)-i(t)1il,m Tt(m+)T-i(t)l+1iN,m Tt(m+)T0 1iN,(m+)Tt0且kr(r=1,2)为正常数表示控制增益;m=0,1,2,=/T称为控制率,其中T0,0分别表示控制周期和控制宽度。在本文所设计的周期间歇性牵制控制器中,工作周期被分成两部分,其中1il部分的节点为关键牵制节点,需要被优先控制。众所周知,过去传统的牵制控制器只能实现复杂网络的指数或者渐近同步。这种周期间歇性牵制控制器可以进一步节省时间、提高效率,同时实现复杂网络的有限时间同步。为实现复杂网络有限时间同步,下面给出证明结论所必需的假设和引理。假设12 1 存在常数L10和L20,对于任何x(t),y(t)n和网络节点动态f()满足下列不等式(x(t)-y(t)T(f(t,x(t),x(t-1(t)-f(t,y(t),y(t-1(t)L1(x(t)-y(t)T(x(t)-y(t)+L2(x(t-1(t)-y(t-1(t)T(x(t-1(t)-y(t-1(t)(7)假设22 0 时变时滞r(t)(r=1,2)为可微函数,且0?r(t)r0,使得YTZ+ZTYYTY+1ZTZ(8)引理22 1 若H=(hi j)NN是对称矩阵,令D=d i a g(d1,dl,0,0N-l),H-D=E-?DSSTHl()和d=m i n1ildi,其中1l0,i=1,l,Hl是矩阵H通过移除它的前l(1lm a x(E-S H-1lST),则H-D0等价于Hl0,表示H-D和Hl为负定矩阵。引理33 2 对于x1,x2,xn n以及正实数满足02,有不等式x1+x2+xn x12+x22+xn2()/2(9)成立,其中表示欧式范数。引理43 3 假设函数V(t)是连续非负的,当t0,+),满足下列条件V(t)-q V(t)tm T,(m+)T)V(t)0t(m+)T,(m+1)T)(1 0)式中:m=0,1,2,;0、0,则下列不等式成立87 第2卷 V1-(t)s u p-s0V(s)()1-q(1-)t 0tT*(1 1)式中T*为稳定时间,满足T*=s u p-s0V(S)()1-q(1-)(1 2)2 理论推导定理1 若假设1和假设2成立,并且存在正常数,Lr,kr(r=1,2)和di(i=1,2,l)使得下列条件成立(1)IN+c10As-D0(2)L2-12k10(3)c22-12k20式中:=L1+c22m a x(B BT)m a x(2T2)+122r=1kr1-r,IN为N维单位矩阵,0=1,m i n为矩阵(1+T1)/2最小特征值,As=(A+AT)/2,A为A将对角元素ai i替换为(m i n/0)ai i后的矩阵表示,As具 有 非 负 对 角 元 素 的 对 称 矩 阵,D=d i a g(d1,dl,0,0N-l),则有向复杂动态网络条件(1)能够通过周期间歇性牵制控制策略,在有限时间tT*内实现同步。证明 构造L y a p u n o v-K r a s o v s k i i泛函如下V(t)=12Ni=1ei(t)ei(t)+122r=1kr1-rNi=1tt-r(t)ei(s)ei(s)ds|(1 3)计算V(t)沿着复杂网络式(4)的状态轨迹关于时间t的导数,得到V(t)=Ni=1ei(t)f(t,ei(t),ei(t-1(t)+c1Nj=1ai j1ej(t)+c2Nj=1bi j2ej(t-2(t)+ui(t)+12Ni=12r=1kr1-rei(t)ei(t)-12Ni=12r=1kr1-?r(t)1-rei(t-r(t)ei(t-r(t)(1 4)根据假设1和假设2,能够得到V(t)L1Ni=1ei(t)ei(t)+L2Ni=1 ei(t-1(t)ei(t-1(t)+c1Ni=1Nj=1 ai jei(t)1ej(t)+c2Ni=1Nj=1bi jei(t)2 ej(t-2(t)+Ni=1ei(t)ui(t)+12Ni=12r=1kr1-rei(t)ei(t)-12Ni=12r=1 krei(t-r(t)ei(t-r(t)(1 5)根据引理1,推导出下列不等式Ni=1Nj=1ai jei(t)1ej(t)=Ni=1Nj=1,ji ai jei(t)1ej(t)+Ni=1ai iei(t)1ei(t)Ni=1Nj=1,jiai j0ei(t)ej(t)+Ni=1ai im i nei(t)ei(t)=0Ni=1Nj=1ai jei(t)ej(t)=0Ni=1ei(t)Aei(t)(1 6)Ni=1Nj=1bi jeTi(t)2ej(t-2(t)2m a x(B BT)m a x(2T2)Ni=1eTi(t)ei(t)+12Ni=1 eTi(t-2(t)ei(t-2(t)=2m a x(B BT)m a x(2T2)eT(t)e(t)+12e(t-2(t)e(t-2(t)(1 7)将式(1 6,1 7)代入式(1 5),得到V(t)L1Ni=1ei(t)ei(t)+L2Ni=1ei(t-1(t)ei(t-1(t)+c10Ni=1ei(t)Asei(t)+c22m a x(B BT)m a x(2T2)Ni=1eTi(t)ei(t)+c22Ni=1eTi(t-2(t)ei(t-2(t)+97第2期 肖 峰,等:周期间歇性牵制控制的复杂网络有限时间同步 Ni=1ei(t)ui(t)+12Ni=12r=1kr1-rei(t)ei(t)-12Ni=12r=1krei(t-r(t)ei(t-r(t)(1 8)当mTt(m+)T(m=0,1,2,)时,令e(t)=(e1(t),e2(t),eN(t)T,同时根据引理2和引理3,可得V(t)L1eT(t)e(t)+L2eT(t-1(t)e(t-1(t)+c10eT(t)Ase(t)+c22m a x(B BT)m a x(2T2)eT(t)e(t)+c22e(t-2(t)e(t-2(t)+122r=1kr1-reT(t)e(t)-122r=1kreT(t-r(t)e(t-r(t)-eT(t)D e(t)-kNi=1ei(t)2r=1kr1-rtt-r(t)ei(s)ei(s)ds()1+2|ei(t)e(t)2+s i g n(ei(t)ei(t)|=IN+c10As-D()eT(t)e(t)+L2-12k1()eT(t-1(t)e(t-1(t)+c22-12k2()eT(t-2(t)e(t-2(t)-kNi=1ei(t)2r=1kr1-rtt-r(t)ei(s)ei(s)ds()1+2|ei(t)e(t)2+s i g n(ei(t)ei(t)|-21+2k12Ni=1(e2i(t)+|122r=1kr1-rNi=1tt-r(t)ei(s)ei(s)ds()|1+2-2k V1+2(t)(1 9)同样地,当(m+)Tt(m+1)T(m=1,2,)时,得到V(t)IN+c10As-D()eT(t)e(t)+L2-12k1()eT(t-1(t)e(t-1(t)+c22-12k2()eT(t-2(t)e(t-2(t)0(2 0)最后根据引理4,有向复杂动态网络式(4)能够在有限时间tT*=2 s u p-s0V(s)()1-2k(1-)(2 1)内实现同步(证毕)。备注1 令H=IN+c10As,式中=L1+c22m a x(B BT)m a x(2T2)+122r=1kr1-r,则,IN+c10As-D=H-D=E-?DSSTHl(),其中Hl是通过矩阵H移除它的前l行和列所得到的子矩阵,E和S是适合维度的矩阵,?D=d i a g(d1,d2,dl)。通过引理2能够知道,H-D0等价于Hlm a x(E-S H-1lST)。如果d充分大(令dim a x(E-S H-1lST),i=1,2,l),则H-D0等价于Hl0,其中Hl=IN-l+c0Asl,Asl是通过矩阵As移除它的前l(1lN)行和列所得到的子矩阵。备注2 通过设计周期性间歇性牵制控制器式(6)可知,如果要实现网络模型式(4)的有限时间同步,必须确定适当的控制率,也就是明确合适的工作时间和休息时间,以及工作时间内关键节点的选择和所控制的数量。此外,如何选择控制的关键节点主要取决于节点的度。推论1 下面讨论在有向网络在工作时间中如何选择关键节点以及最少需要牵制多少个关键节点。令G=H-D=IN+c1m i nAs-D,G=(gi j)NN,wi=Nj=1,jiai j表示节点i和其他节点之间具有连接关系的数量。为了满足G=H-D0,给出下列条件gi i=-c1m i nwi-di0 1il,mTt(m+)Tgi i=-c1m i nwi0 l+1iN,mTt/(cm i n)。当耦合强度c1足够大时,条件式(2 2)较容易实现。但如果耦合强度c1不是足够大时,这时部分节点就需要控制介入。节点的度在有向网络中分为入度和出度两类,其中,入度表示其他节点指向此节点的数量,出度则表示此 节 点 指 向 其 它 节 点 的 数 量。令D e gi n(i)和08 第2卷D e go u t(i)分 别 表 示 节 点i的 入 度 和 出 度。即,D e go u t(i)=Nj=1,jib0j i,D e gi n(i)=Nj=1,jib0i j。将出度和入度之间的差值称之为“度差”,表示为:D e gd i f f(i),即D e gd i f f(i)=D e go u t(i)-D e gi n(i)。有向网络中关键牵制节点的选择是由度差决定的,将所有节点的度差按照从大到小的顺序排列,其中度差相等的节点要按照其出度大小降序排列。根据备注1,为实现网络同步,需要满足Q-D0,且当d充分大时,Q-D0等价于Ql0,其中Ql=(p+q)IN-l+c0B0ls,则有(p+q)IN-l+c0B0sl0。假设为实现复杂网络的有限时间同步需要优先控制l0个关键节点,l0需要满足下列条件m a x(Asl0-1)-c10和m a x(Asl0)-c10(2 3)定理2 若假设1和假设2成立,并且存在正常数,Lr,kr(r=1,2)和di(i=1,2,l)使得下列条件成立(1)IN+c10A-D0(2)L2-12k10(3)c22-12k20式中:=L1+c22m a x(B BT)m a x(2T2)+122r=1kr1-r,IN为N维单位矩阵,0=1,m i n为矩阵(1+T1)/2最小特征值,A是A将对角元素ai i替换为(m i n/0)ai i后的矩阵表示,D=d i a g(d1,dl,0,0N-l),则无向网络(1)能够通过周期间歇性牵制控制策略,在有限时间tT*1=2 s u p-s0V(s)()1-2k(1-)(2 4)内实现同步。此外,对于无向网络实现有限时间同步的证明方法类似于有向网络,这里不再赘述。推论2 在无向网络中,度越小的节点从其他节点中接收的信息和连接也就越少,由于孤立节点的非线性特征,只有利用控制器才可实现同步。同样的,度越大的节点,从其他节点接收的信息和连接也就越多。即控制一个度大的节点就等价于控制了它所连接的诸多节点,经济且高效。因此,在无向网络中,选择控制两种类型的节点:度大和度小的节点。首先,将所有节点按照度的大小进行降序排列。然后按照从两边到中间的方法选择首要控制的关键节点。这样,就能将度大和度小的节点全部考虑进来。根据备注1,为了在有限时间完成同步,需要满足条件H-D0,且当d充分大时,H-D0等价于Hl0,即,IN-l+c10Al0。假设为实现有限时间同步需要优先控制l0个关键节点,其中l0(1l0l)满足m a x(Al0-1)-c10和m a x(Al0)-c10(2 5)3 数值模拟采用数值模拟的方式来验证该复杂网络模型在周期间歇性牵制控制器下实现有限时间同步的有效性和正确性。考虑如下网络模型?xi(t)=f(t,xi(t),xi(t-1(t)=C x(t)+F1g1(x(t)+F2g2(x(t-1(t)(2 6)令1(t)=0.0 5|c o s(t)|x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t)T R3 g1(x)=(0,-x1x3,x1x2)T g2(x)=(t a n h(x1),t a n h(x2),t a n h(x3)T,以及F1=I3 F2=-2.11 000-110-3.5-1.6|C=-1 01 002 8-1000-8/3|则具有上述参数的复杂系统式(2 6)的混沌状态如图1所示。图1 系统(2 8)的混沌状态,初始值为x=(0.4,0.2,0.3)T例1 给出一个由1 0 0个节点组成的有向小世界网络。模型如下18第2期 肖 峰,等:周期间歇性牵制控制的复杂网络有限时间同步?xi(t)=C x(t)+F1g1(x(t)+F2g2(x(t-1(t)+c1Nj=1ai j1xj(t)+c2Nj=1bi j2xj(t-2(t),i=1,2,N(2 7)参数表示如下:T=0.2,=0.6,c1=2 0,c2=1,1=2=d i a g(1,1,1),2(t)=et/(1+et),N=1 0 0,k1=2,k2=4,k=6,=0.5,外部耦合矩阵A由有 向 小 世 界 网 络 生 成2 1,B=0.0 1A,A=(ai j)NN=(ai j/j=1,jiai j)NN。通过计算得到:m a x(As)=0.4 5 9 0,m a x(B BT)=0.0 2 9 0,m a x(2T2)=1,0=1=1,1=0.0 2,2=0.2 5,L1=1 8.9 6 1 3,L2=0.5 0 1 5,=1,=2 2.6 6 2 9,且满足定理1中的条件。由推论1能够得到m a x(Asl)-1.1 4 3 0。利用有向网络的牵制节点选择方案,重新安排网络的节点顺序,并且选择l是从1到1 0 0。当l=5 3和l=5 4时,得 到:m a x(As5 3)=-1.0 5 1 2和m a x(As5 4)=-1.1 5 4 8。因此,为了实现复杂网络式(2 7)的有限时间同步,只需要将网络式(2 7)重新排序后的前5 4个节点作为关键的牵制节点。结果如图2所示,同步误差|ei(t)|(1i1 0 0)在有限时间T*=1.7 9 s内趋于同步。图2 有向复杂网络的同步误差(ei j(t)(i=1,2,1 0 0;j=1,2,3)例2 根据无标度网络模型,利用模型式(2 7),给出了一个由5 0个节点组成的无向网络,参数表示如下:T=0.2,=0.6,c1=2 0,c2=1,1=2=d i a g(1,1,1),2(t)=et/(1+et),k1=2,k2=4,k=6和=0.5。外部耦合矩阵A是由无向无标度网络生 成。令N=5 0,B=0.0 1A,A=(ai j)NN=(ai j/j=1,jiai j)NN。经 计 算 可 得,m a x(B BT)=2.6 2 9 6,m a x(22)=1,1=0.0 2,2=0.2 5,0=1=1,L1=1 8.9 6 1 3,L2=0.5 0 1 5,=1,=2 3.9 6 3 2,且满足定理2中的条件。由推论2得到m a x(Al)-1.1 7 1 7。利用牵制节点选择方案,重新安排网络的节点顺序,并且选择l是从1到5 0。经计算可知,m a x(Al)的值随着关键牵制节点的数量的增加而减少。特别地,当l=1 0和l=1 1时,得 到:m a x(A1 0)=-1.1 6 8 8和m a x(A1 1)=-1.3 4 5 9。因此,为了实现复杂网络式(2 7)的有限时间同步,只需要将网络式(2 7)重新排序后的前1 1个节点作为关键的牵制节点。结果如图3所示,同步误差|ei(t)|(1i5 0)能够在有限时间T*1=2.3 6 s内趋于同步。通过将图2和图3进行对比后,不难发现,在固定控制周期T和控制率的前提下,利用周期间歇性牵制控制器式(6)分别对两个复杂系统进行控制,将5 4个节点作为关键牵制节点有向网络相较于控制了1 1个关键节点的无向网络实现同步所需时间更短。结果表明:随着控制关键节点数量的增多,实现同步所需的时间就会减少。28 第2卷图3 无向复杂网络的同步误差(ei j(t)(i=1,2,5 0;j=1,2,3)4 结论通过构造L y a p u n o v-K r a s o v s k i i泛函,同时结合传统的间歇性控制策略和牵制控制策略,设计出了有限时间周期间歇性牵制控制器,实现了时变时滞复杂网络的有限时间同步,并分别给出了有向网络和无向网络在有限时间内同步的充分条件。最后,利用数值模拟验证了方案的正确性和有效性。在实际工程技术当中,并非所有的复杂网络系统都能用整数阶或者实值来描述,因此基于分数阶或复值的复杂网络模型在某些方面能够更加贴近真实的工程应用,虽然目前已经有学者在研究关于分数阶3 4-3 5和复值3 6的复杂网络有限时间同步控制问题,但仍处于起步研究阶段,后续还有更广阔的研究空间和研究价值。参考文献:1 谢逢洁.复杂网络理论研究的计算软件方法M.北京:科学出版社,2 0 2 0:1-4.X I E F e n g j i e.C o m p u t i o n a l s o f t w a r e m e t h o d f o r c o m-p l e x n e t w o r k t h e o r y r e s e a r c hM.B e i j i n g:S c i e n c e P r e s s,2 0 2 0:1-4.2 陆君安,刘慧,陈娟.复杂动态网络的同步M.北京:高等教育出版社,2 0 1 6:1-5.L U J u n a n,L I U H u i,CHE N J u a n.S y n c h r o n i z a t i o n o f c o m p l e x d y n a m i c n e t w o r k sM.B e i j i n g:H i g h e r E d u-c a t i o n P r e s s,2 0 1 6:1-5.3 C A O J D,C H E N G R,L I P.G l o b a l s y n c h r o n i z a t i o n i n a n a r r a y o f d e l a y e d n e u r a l n e t w o r k s w i t h h y b r i d c o u p l i n gJ.I E E E T r a n s a c t i o n s o n S y s t e m s,M a n,a n d C y b e r n e t i c s,P a r t B(C y b e r n e t i c s),2 0 0 8,3 8(2):4 8 8-4 9 8.4 MA Q,L U J W.C l u s t e r s y n c h r o n i z a t i o n f o r d i r e c t e d c o m p l e x d y n a m i c a l n e t w o r k s v i a p i n n i n g c o n t r o lJ.N e u r o c o m p u t i n g,2 0 1 3,1 0 1:3 5 4-3 6 0.5 D U H Y,Z E N G Q S,W A N G C H,e t a l.F u n c t i o n p r o-j e c t i v e s y n c h r o n i z a t i o n i n c o u p l e d c h a o t i c s y s t e m sJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s:R e a l W o r l d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 0,1 1(2):7 0 5-7 1 2.6 WU Z Y,F U X C.C l u s t e r p r o j e c t i v e s y n c h r o n i z a t i o n b e-t w e e n c o mm u n i t y n e t w o r k s w i t h n o n i d e n t i c a l n o d e sJ.P h y s i c a A:S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 1 2,3 9 1(2 3):6 1 9 0-6 1 9 8.7 L I U H,CHE N J,L U J N,e t a l.G e n e r a l i z e d s y n-c h r o n i z a t i o n i n c o m p l e x d y n a m i c a l n e t w o r k s v i a a d a p-t i v e c o u p l i n g sJ.P h y s i c a A:S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 1 0,3 8 9(8):1 7 5 9-1 7 7 0.8 Z HOU T,Z HA O M,C H E N G R,e t a l.P h a s e s y n-c h r o n i z a t i o n o n s c a l e-f r e e n e t w o r k s w i t h c o mm u n i t y s t r u c t u r eJ.P h y s i c s L e t t e r s A,2 0 0 7,3 6 8(6):4 3 1-4 3 4.9 G U O W L.L a g s y n c h r o n i z a t i o n o f c o m p l e x n e t w o r k s v i a p i n n i n g c o n t r o lJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s:R e a l W o r l d A p-p l i c a t i o n s,2 0 1 1,1 2(5):2 5 7 9-2 5 8 5.1 0G A N Q T.E x p o n e n t i a l s y n c h r o n i z a t i o n o f g e n e r a l i z e d n e u-r a l n e t w o r k s w i t h m i x e d t i m e-v a r y i n g d e l