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数轴与绝对值
一、绝对值
定义：正数的绝对值是这个正数本身，负数的绝对值是这个负数的相反数，零的绝对值是零。
也就是说：一个数的绝对值是按照这个数的符号情况，来分类决定的。如果用字母a表示这个数，那么用式子来表示就是：

即：零和正数的绝对值是它本身，零和负数的绝对值是它的相反数。
这里，a表示什么？如果它是2，结果怎样？如果是 -3呢？如果是x -2呢？
如果没有告诉你x 的取值范围，那么该如何化简？（示例）

解： （1）略；
（2）当 x + 1 < 0，即 x < - 1 时，原方程为 – (x + 1) = 2x， x =；
当 x + 1 ≥ 0，即 x ≥ - 1 时，原方程为 x + 1 = 2x，x = 1，
∴原方程的根是 x1 = , x2 = 1 。
指导学生：①分析解题依据及步骤；②检查答案（2）的正确性。
既然已经发现答案是错误的，那么可以肯定解答过程有误，请找出错误。

指导语：在解这类含有绝对值的方程（或不等式）时，应注意：
（1） 需根据绝对值符号内的整体内容的符号来决定将绝对值符号去掉后的内容，是原来的，还是其相反数。也就是说，要根据绝对值符号内的整体的“零点”情况来划分自变量的取值范围，对方程（或不等式）进行分类讨论。
（2） 要注意检查相应的“解”是否在相应讨论的数的范围之内。
（3） 当方程（或不等式）中含有多个绝对值时，应该针对所有的“零点”来划分自变量的取值区间，对方程（或不等式）进行分类讨论。

例2.解方程： |x - 2|+|x + 3| = 6 .

二、绝对值与相反数的几何意义
1.绝对值：|a| ←→ 数轴上，和数a对应的点与原点之间的距离。
某数的绝对值越大，则在数轴上，与该数对应的点与原点之间的距离就越大；反之，在数轴上，若某一点距原点越近，那么与之对应的数的绝对值就越小。

例3.数a，b，c在数轴上对应位置如图，
化简：| a + b | + | b + c | - | c – a |。

2.相反数：互为相反数的绝对值相同，符号相反（或同为零）。
绝对值相同 ←→ 对应点和原点的距离相等；
符号相反（或同为零）←→ 对应点分居原点两侧（或同为原点）。

例4.数a，b在数轴上的位置如图所示。试在数轴上标出 -a和 –b，并将这四个数按从小到大的顺序用“<”连接起来。

三、数与形
1.两数的和与差在数轴上的表示：
数轴上，与数a对应的点记为A，与a+2对应的点记为B，则
（1）当a = 1 时，标出点A与点B，两者的位置关系如何？
当a = - 3 时，点A与点B的位置关系又怎么样？
（2）请观察A（2）、B（-3）和C（2-3）这三点之间的位置关系；
（3）从（1）和（2）中，你有什么发现？
（4）如果已经知道a，b在数轴上的位置，你能否作出与下列各数对应的点？
a + b， a - b， - a + b， 2a， 3a – 2b。

2. |x–y|的几何意义：
设A（2），B（-3），|2-（-3）|=？ 线段AB的长（或A、B两点间的距离）是多少？ |（-3）-2|=？ 有什么发现？
推广到一般情形：设A、B是在数轴上分别与实（有理）数a，b相对应的点，则AB = |a - b| （视时间予以简单的口头证明，分类）。
解释下列各式的几何意义：|x - 3|； |x + 2|； |x|。

例2（图象解法）。
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练习：1.解方程：（1）2|x - 1|+ 7 = 4x -|x|；（2） |3x-2|-4x=3|2-3x|-6；
（3）|2x - 1|+|x - 2| = |x + 1|；（4）|x - 2|+|x + 7| = 5。

3.若有理数a，b，c满足 (a+2b+c)2 +|a-c+4|+|b-c|= 0， （或改为实数a，b，c满足），
试解方程 | ax – 1 |-| bx – 2 |-| x – c |= 0