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恒成立问题求解策略
恒成立问题能够很好的考察函数不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐。本文试将此类题的求解策略作一总结，供同学们参考。
策略一、确定主元，借助函数单调性解决。
例1、 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而若将p定位主元，则可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
解：不等式转化为(x-1)p+x2-2x+1>0,
设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,
则原题转化为设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1＞0在[-2，2]上恒成立
易得 即
解得：
∴x<-1或x>3.
策略二、转化为二次函数，利用实根分布解决。
例2、 不等式sinx＋acosx＋ a1＋cosx对一切xR恒成立，求负数a 的取值范围。
解：原不等即cosx＋（1－a）cosx－a0
令cosx=t，由xR知t[-1，1]，
设f(t)=t＋（1－a）t－a
则原题转化为f(t)=t＋（1－a）t－a0 在 t[-1，1]上恒成立
易得 a-2
故所求的a的范围为(-,-2].
策略三、分离变量，借助不等式性质解决。
例3．已知数列中，，设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。（06 湖北卷）
分析：＜恒成立<=>＞max问题转化为求的最大值。若求出的最大值，则问题迎刃而解。
解：依题可知，
故
=。
易知
∴ 要使﹤恒成立，必须满足≤，即m≥10。
例4、设恒成立,求n的最大值。
分析:由于不等式等价于
要使原不等式恒成立,就要使的最小值不小于n.
【解】:∵
∴
=
∴∵的最大值4.
策略四、数形结合，直观求解。
例5、不等式(x-1)2<logax 在x(1,2)上恒成立，求a的取值范围。
x
y
o
1
2
y1=(x-1)2
y2=logax
分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,如右图所示
要使对一切x(1,2),y1<y2恒成立，
显然须a>1, 且loga2≥1。
1<a2