钱江伟“万炮齐发”与依次而发击中目标的概率.doc

“万炮齐发与依次而发”击中目标的概率
镇江市第二中学 钱江伟 邮编：212004
问题1. 有3门大炮，每门大炮击中目标的概率都为p (0<p<1).现有敌机来犯，指挥员有两中方案，第一种方案：3门大炮齐发，第二种方案：3门大炮依次而发。分别求两种方案击中目标的概率。
解：（1）.设3门大炮同时射击击中目标为事件A.
P(A)= 1-(1-p)
(2). .设3门大炮依次射击击中目标为事件B.
P(B)=p+(1-p)p+(1-p)p= 1-(1-p)
所以 P(A)= P(B)
问题2. 有甲、乙、丙3门大炮，每门大炮击中目标的概率分别为p1、p2、p3 ，（0< p3 < p2< p1 <1）,现有敌机来犯，指挥员有两中方案，第一种方案：3门大炮齐发，第二种方案：3门大炮依次而发。分别求两种方案击中目标的概率。
解：（1）.设3门大炮同时射击击中目标为事件A.
P(A)=1-(1-p) (1-p) (1-p)
(2). .设3门大炮依次射击击中目标为事件B.（由于3门大炮依次射击有6种不同的排序，不妨按甲 、 乙 、 丙排序，即若甲不中，则乙射，若乙不中，则丙射。）
P(B)=p+(1-p)p +(1-p) (1-p)p
化简可知 P(A)= P(B) （其它排序结果一样）

推广1： 在n门大炮中，每门大炮击中目标的概率都为p (0<p<1). 现有敌机来犯，指挥员有两中方案，第一种方案：n门大炮齐发，第二种方案：n门大炮依次而发。分别求两种方案击中目标的概率。
解：（1）.设n门大炮同时射击击中目标为事件A.
P(A)=1-(1-p)
(2). .设n门大炮依次射击击中目标为事件B.
P(B)=p+(1-p)p+(1-p)p+……+(1-p) p
=1-(1-p) (等比数列求和)
得 P(A)= P(B)
若考虑到节省，则第二种方案依次射击优。
推广2： 在n门大炮中，每门大炮击中目标的概率分别为p1 、 p2、、…… 、p现有敌机来犯，指挥员有两中方案，第一种方案：n门大炮齐发，第二种方案：n门大炮依次而发。分别求两种方案击中目标的概率。
解：（1）.设n门大炮同时射击击中目标为事件A.
P(A)=1-(1-p) (1-p) (1-p)…(1-p)
(2). .设n门大炮依次射击击中目标为事件B.（不妨按p1 p2 p顺序）
P(B)=p+(1-p)p+(1-p)(1-p)p +……+ (1-p)(1-p)…(1-p)p
可用数学归纳法证明P(A)= P(B)
若考虑到节省，则第二种方案中概率由大到小排序依次射击最优。