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分数意义建构中的问题分析及对策
在《分数的意义》一课中，有下面这样的习题：
在直线上画出表示下面各分数的点。
尽管教师已经提示“这里，我们把0到1之间的线段看作单位‘1’”，但学生并不“领情”。仍然出现了如下的错误：

学生也有“苦衷”，在课后的访谈中，学生如是说──
“为什么不可以把0到2这一段看作单位‘1’？课上不是讲了可以把许多物体组成的一个整体看作单位‘1’吗？”
“为什么一会儿让我们把许多物体看作单位‘1’，一会儿又不让我们把许多物体看作单位‘1’？我们也不知道该怎么办？”
……
是啊，在这节课中，一会儿让学生用分数表示一个物体中的一部分，一会儿又要用分数表示许多物体组成的整体中的一部分，还真有点让人无所适从。但学生却总以为：不管是一个物体还是许多物体，都是把出现的所有物体看作单位“1”，然后看平均分成了几份，要表示这样的几份。这也就难怪学生在用直线上的点表示分数时出现上述错误。
从数学的角度来看，无论是整数还是分数，都是现实世界中具有相同属性的具体量数抽象的产物。史宁中教授强调分数的“无量纲性”。数的本质是“多与少”或者“大与小”，从而过渡到数的顺序。所以，在分数的意义教材中第一次正式出现用数轴上的点表示分数，是对分数本质认识的必然要求，是分数认识经验数学化的必由之路，理当引起数学教师的高度重视。数轴是抽象的实数的几何直观。数轴上的点与实数是一一对应的。尽管现实世界中的单位“1”是丰富而多样的，但数轴上的“1”是林林总总的单位“1”舍弃非本质属性后高度抽象的结果。数学应用的广泛性正取决于其高度的抽象性。在数轴上只存在着数的大小序列，没有其他属性。再庞大的单位“1”在数轴上也只能“屈居”于“1”这一点。更明确地说，在数轴上“2”就是2，永远不能看成1，否则就会与“一一对应”的法则冲突，从而产生混乱。值得注意的是，尽管著名特级教师王永提倡用双重刻度的线段图来表征分数问题中“绝对数量”与“相对数量”的对应关系，但那里是“线段图”而不是“数轴”。
从学生的认知视角来看，虽然学生对分数的认识经历着人类当初测量与分物时得不到整数结果的“再创造”过程，但最终目标必须是抽象化到“数”的概念。否则，就不能真正从观念上把分数与整数平等地看成一种数（有理数），并能够抽象地比较大小和进行运算。唯其如此，才能真正在学生的认知结构中实现对数系的扩张。而实际教学中的问题恰恰在于教师过分地依赖直观教学分数。正如张奠宙教授所说：“对于1/2，学生如果脑子里始终是半个大饼，那就还没有学好分数。”事实上，为了更好地让学生实现对分数意义的抽象，不少教材已经扩展到分三次“认识分数”。把原先学习分数意义时的“若干个物体组成的一个整体平均分”单列，进行专门学习，从而也就使第三次教学能够专注于抽象出单位“1”的概念，概括分数的意义。因此，分数意义的教学绝不能停留于大量的看图写分数、涂色表示分数和机械操练分数表示的意义，而应当通过对一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体的抽象，得出它们都可以用自然数1来表示。而从自然数1到单位“1”，这个质的飞跃许多教师的教学往往来得太直接──“通常我们把它叫做单位‘1’”。而学生的认知困难恰恰在于对“单位”这个概念的理解。包括笔者儿时也一直对单位“1”懵懵懂懂。之所以叫做单位“1”绝不仅仅是取个名而已，而是其将突破具体事物和量数的限制，把这“一个物体、一个计量单位、许多物体组成的一个整体”统统作为
“1”（基准单位），亦即数轴上的1个“单位长度”。而其中的几分之一，则是缩小（小于“1”）的“度量单位”，叫做分数单位。学生之所以在数轴上把0到2这一段看作单位“1”，其原因就在于观念上还没有把许多物体组成的整体抽象成单位“1”，仍停留于具体的“量数”。所以，分数意义的教学不宜在“分率”和其“对应数量”上过分纠缠，甚至强化训练到学生产生这样的错觉──2个桃等于1/3，这很容易让学生模糊一个整体中具体物体的量数和抽象的整数之间的区别，造成学生对分数与整数大小比较的认识悖论──2个桃（占单位“1”的1/3）怎么会比“1”小呢？关于“分率”和其“对应数量”的关系应当让学生在后继分数乘法的学习中慢慢体悟。
笔者在实践中是这样改进的：在根据图写出分数，说出意思的基础上，通对过图中的一个月饼、一张长方形纸、1米长的绳子、一盘桃（4个）等的抽象，让学生概括出可以用自然数“1”来表示，通过多媒体将这“1”对应到数轴上的“1”，将学生的认识到扩展数轴上的“1”所能涵盖的是生活中所有可以用“1”表示的事物。进一步让学生明晰：这生活中众多的“1”都可以用数轴上的0到1这一段统一的单位长度来表示。所以，我们可以把它们统称为单位“1”。接着，分别闪烁各图中相应的“1/2”，让学生用分数表示，并再次让学生在数轴上找到对应的点，建构起不同情境（特别是许多物体组成的一个整体）中的1/2与数轴中的“1/2”的唯一对应关系，领悟1/2作为一个数的概括性和抽象性。相应地，其他的分数也可以如此对应。这时，单位“1”平均分后得到的1份或2份在头脑中不再局限地呈现1或2，而是一个新的数。再通过对数轴上0到1之间平均分的份数不同的比较，促进学生对缩小后的“每一份”的几何直观体验，进而理解相对于单位“1”更小的单位──分数单位及它们的大小关系。实践证明：这样的教学把着力点聚焦于促进学生的抽象和概括，有利于实现学生对分数意义的本质建构。学生实现分数意义建构的标志即在于把分数真正作为“新”数填在整数之间，用线段的长度表示分数的大小，形成分数与整数的序列，学生关于数系的认知结构更是通过顺应达到新的平衡。