等腰三角形经典例题整理.docx

1．等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

2、A
B
C
O
如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。

3·.已知，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC

4 已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF

5.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

6，已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠D

7、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：CE＝DE.

8·已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。

9. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。

10、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：AE＋AF是一个定值.

已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

6. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。

例例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？
证明：线段BE⊥AC，理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠FBD＋∠BFD＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF＝AC，FD＝CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠BFD＝∠C，∴∠FBD＋∠C＝90°，
∴∠BEC＝180°－（∠FBD＋∠C）＝180°－90°＝90°，即BE⊥AC.

例1、如图5，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC，求证：AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于点D，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，即AO⊥BC.
证明：过E作EF⊥CD于点F，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF），
∴CD＝2CF， ∴CF＝DF，
在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF，

A
B
C
D
5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。