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暑假专题——相似三角形

重点、难点：
1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。
2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。

【知识纵横】
1. 相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。
议一议：
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
2. 相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明：相似比要注意顺序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比，而△A'B'C'∽△ABC的相似比，这时。
3. 相似三角形的识别
（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

【典型例题】
例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（ ）对。

答：4对

例2. 如图，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似？
如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。

解：

例3. （2004·广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。
（1）求证：△CDE∽△FAE；
（2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。

命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。
解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
∴△CDE∽△FAE
，又E为AD中点
∴DE＝AE，从而CD＝FA，结合已知条件，易证
BF＝BC，∠F＝∠BCF
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
∴△CDE∽△FAE
（2）∵E是AD中点，∴DE＝AE
由（1）得：
∴CD＝AF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD
∴AB＝CD＝AF
∴BF＝2CD，又BC＝2CD
∴BC＝BF
∴∠F＝∠BCF
思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。

例4. 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动，
（1）是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP；
（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少？

解：（1）存在

（2）若△ADP∽△BCP，则
设

或
或
或
∴AP长度为4或6

例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（ ）

A. 4：10：25 B. 4：9：25
C. 2：3：5 D. 2：5：25
（2001年黑龙江省中考题）
思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。
∴选A

例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。

思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。
解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4
而CD×AB＝AC×BC＝，得
又△CEH∽△CAB，得
于是，解得：

如图乙，设正方形CFGH的边长为y cm
由GH∥AC，得：
即，解得：

即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为

例7. 如图，已知直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，设，，作DE⊥DC，DE交AB于点E，连结EC。
（1）试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似？若相似，请加以证明。
（2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？

解：（1）△DCE与△ADE一定相似，△DCE与△BCE不一定相似，分别延长BA、CD交于F点
由△FAD∽△FBC，得：
于是FD＝DC，从而可证△FED≌△CED
得∠AED＝∠DEC
所以△DEC∽△AED
（2）作CG⊥AD交AD延长线于G，

由△AED∽△GDC，有，得

要使△DCE与△BCE相似，那么一定成立
即，得
也就是当时，△DCE与△BCE一定相似。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若，则AD：DB＝____________。

2. 如图，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为____________。

3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为____________。
（2000年武汉市中考题）
4. 阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：，设分别表示这两个正方体的表面积，则，又设分别表示这两个正方体的体积，则。

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A. 两个球体 B. 两个圆锥体
C. 两个圆柱体 D. 两个长方体
（2）请归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于____________；
②相似体表面积的比等于____________；
③相似体体积的比等于____________。
（2001年江苏省泰州市中考题）
5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（ ）

A. 11.25 m B. 6.6 m C. 8 m D. 10.5 m
6. 如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC＝∠A，已知，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（ ）

A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD
C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD
（2001年杭州市中考题）
8. 如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，则等于（ ）

A. 1：9：36 B. 1：4：9
C. 1：8：27 D. 1：8：36
9. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求证：

10. 如图，△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若，求DE的长。
（2000年河北省中考题）

11. 阅读并解答问题。
在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：
第一步：画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D'E'F'G'。
第二步：连结BF'，并延长交AC于点F；
第三步：过F点作FE⊥BC于E；
第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；
第五步：过G点作GD⊥BC于点D。
四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG，为正方形。
问题：
（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形；
（2）在△ABC中，如果，∠BAC＝75°，求上述正方形DEFG的边长。
（江苏省扬州市中考题）

12. 如图，在△ABC中，，在BC上有100个不同的点，过这100个点分别作△ABC的内接矩形…，设每个内接矩形的周长分别为，则
____________。
（安徽省竞赛题）

13. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为，则△ABC的面积为____________。

14. 如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是____________厘米2。
（第11届“希望杯”邀请赛试题）

15. 如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ）

A. 2：1 B. C. D. 1：1
16. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（ ）

A. 2 B. C. D.
【试题答案】
1. 3：1
2.
3. 或
4. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方
5. C 6. C 7. B 8. C
9. 由△ABC∽△DCA，得
10. （1）略
（2）过A作AM⊥BC于M
由△ABC∽△FCD，得：

又，得
∵DE∥AM，

，得
11. （1）易证明四边形EFGD为矩形，由，而，得EF＝GF，故四边形EFGD为正方形。
（2）过A作AQ⊥BC于Q交GF于P，且AQ＝BQ，∠BCA＝60°，∠QAC＝30°，，又

即，解得
由，得
12. 400
提示：从内接一个矩形入手，探求内接△ABC中任一矩形的长与宽的关系。
13.
提示：
14.
解：设，则
由△BCE∽△EDF，得
又，即
15. C
16. C
提示：延长DA、CB相交于G，
设，则

即