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第十五课时 等腰三角形的判定
考点一：等腰三角形的判定定理：（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中 ∵∠B=∠C   ∴AB=AC
（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中
     ∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC
    （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
例讲：1.、已知：如图，AB=AC，DB=DC，AD交BC于O。求证：AD⊥BC，OB=OC。

2、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，AE分别交CB、CD于E、F，且CE=CF。求证：AE平分∠BAC。

3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且BM=CN。求证：AM=AN。

4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点O，且BO=CO。求证：BE=CD。

A
B
C
D
5.已知：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。

6.如图在△ABC中，D，E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点O，给出下列四个条件，①∠EBO=∠DCO，②∠BEO=∠CDO，③BE=CD，④OB=OC. <1>上述四个条件中哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)
　　 <2>选择其中一种情况证明△ABC是等腰三角形.

7．两个全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

8.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

9.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA，交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分∠BAC.

10.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为
求证：M是BE的中点。

11. 已知：如图，中，于D。求证：。

12. 已知在△ABC中，∠DBC =∠DCB，∠BAD =∠CAD，说明AB=AC

练习：1。 如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE=BE．

2.如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．

3．如图，等边△ ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD。
求证：△ ADE是等边三角形。
1
A
B
C
D
E
5
4
2
3

4．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．

5.（2011江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。

6.（2011山东泰安，29 ，10分）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE于，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并说明。

考点二：等腰三角形的判定定理的推论：⑴三个角都是相等的三角形是等边三角形。
⑵有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。
例讲：1。 如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE.联结AD,BE，试说明BE=AD.

2.如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
（1）求证AN=BM（2）求证△CEF为等边三角形

3. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。

*4．(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE. (1) 求证：△ACD≌△BCE；
(2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长.

*5。(2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：
（填“>”,“<”或“=”）.
第25题图2
第25题图1

（2）特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是： （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长