三角形内角和定理证明方法的探究.doc

三角形内角和定理证明方法的探究
三角形内角和定理证明方法的探究
北白象镇中学（325603） 陈悠然
【内容提要】
本文通过对数学老师提出的课题——“三角形内角和为的证明”，经过探究给出了七种不同的证明方法，最后还总结了七种证法的联系和区别。旨在反映数学学习的有趣性，供大家共同学习和研究。
【关键词】
三角形内角和定理证明 一题多解 三线八角（同位角 内错角 同旁内角 对顶角 平角）
【正文】
一提起数学学习,有不少同学会认为它枯燥、无味，但我们倒觉得数学学习是很有趣的，尤其是那些奇妙的几何图形，在研究它们的同时，会给我们带来许多欢乐和享受。
我们班的同学们就曾与数学老师一起度过了一节紧张而又愉快，活跃而又有序的数学课。这节课上，当老师提出探究的课题——“三角形内角和为的证明”后，同学们经过踊跃的参与，积极地思考，热烈的讨论共得出以下几种不同的证法，现介绍给大家，以便与大家共同学习和研究。
方法一：内错角—同旁内角（图1）
证明：过点作∥，于是有
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，同旁内角互补)
(等量代换)。
方法二：内错角—内错角—平角（图2）
证明：过点作∥，于是有
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，内错角相等)
又∵(平角的定义)
(等量代换)。
方法三：内错角—同位角—平角（图3）
证明：过点作∥，并延长至，于是有
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，同位角相等)
又∵(平角的定义)
(等量代换)。
方法四：同位角—同位角—同位角—内错角—平角（图4）
证明：在上任取一点，过点，作∥交于，∥交于，于是有
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，内错角相等)
又∵(平角的定义)
(等量代换)。
方法五：同位角—同位角—同位角—同位角—同位角—内错角—平角（图5）
证明：在△的内部任取一点，过点，作∥交于，∥交于，∥交于，交于，于是有
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，内错角相等)
又∵(平角的定义)
(等量代换)。
方法六：同位角—同位角—同位角—内错角—同位角—同位角—平角（图6）
证明：在△的外部任取一点，过点，作∥交于，∥交于，∥交的延长线于，交的延长线于，于是有
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
又∵(平角的定义)
(等量代换)。
方法七：同位角—同位角—对顶角—平角（图7）
证明：过点作∥，并延长至、至，于是有
(两直线平行，同位角相等)
(两直线平行，同位角相等)
（对顶角相等）
又∵(平角的定义)
(等量代换)
经过数学老师的指导，从上面这些证法我们可以归纳以下几点：
1、通过同位角、内错角以及对顶角的作用将三角形三个内角转化到同旁内角互补或平角定义是证明的最终目的，显然方法一最简捷；
2、 内错角、同位角、对顶角的合理搭配，便出现了一个又一个的证法；
3、为了运用这些角的性质，关键要作出适当的平行线，这些平行线要过某一点分别与三角形三边中的一边或二边甚至三边（方法六）平行。至于这“某一点”在三角形的顶点还是在边上，是在内部还是在外部均可以。
看了以上证明，同学们，你难道不感觉数学学习很有趣吗？“三角形内角和为”的证明当然还可以设计出一些不一样的证法。有兴趣的同学不妨尝试一下，也许会改变你对数学学习的看法呦。（指导教师：孙建克）

2010-2-25
【参考文献】
[1]《中学生数学》 2005年6月下（总276期） 中学生数学杂志社出版
[2]《课堂上的一万个为什么——中学数学》 陈家驹主编 知识出版社出版
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