阻抗边界条件下Maxwell方程的传输特征值问题_吴雪娇.pdf

年月重庆师范大学学报（自然科学版）第 卷 第期 （）：阻抗边界条件下 方程的传输特征值问题吴雪娇，刘立汉，汪晓青（重庆师范大学 数学科学学院，重庆 ）摘要：【目的】讨论反散射问题的研究中起着关键作用的传输特征值问题。【方法】利用边界积分方程方法，研究了可穿透、非磁性和非均匀介质中带有阻抗边界条件的 方程的传输特征值问题。【结果】构造了阻抗磁边界迹算子，并用边界积分算子表示阻抗磁边界迹算子。【结论】证明了一种边界积分算子的强制性，以及另一种边界积分算子的紧性，进一步得出阻抗磁边界迹算子的差算子是指数为的 算子且解析。关键词：边界积分方程方法；传输特征值问题；阻抗磁边界迹算子；算子中图分类号：文献标志码：文章编号：（）近几十年来，声波和电磁波的反散射问题已发展成为应用数学中最重要的研究领域之一，相关研究成果在医学、地理学等众多学科中有着广泛应用，例如通过散射数据反演散射物体的边界、形状等，而反散射中传输特征值问题更是吸引了国内外众多学者的研究。首先在散射理论中引入传输特征值的概念。等人对传输特征值进行了一系列的研究，其中文献 证明了从远场数据中通过传输特征值可以得到散射物体的定性信息，文献 证明可以从远场数据中得到传输特征值的正则化解，文献 证明了传输特征值和特征向量在非均匀介质中的收敛性。等人利用低频估计和 理论证明了传输特征值的离散性。等人采用迭代法求解各向异性的 方程组的传输特征值问题。等人 采用有限元方法对传输特征值进行数值计算。等人 采用边界积分方程方法求解 方程的传输特征值问题。等人在文献 证明了非传输特征值波数的存在性并表明传输特征值集是离散的且仅以正无穷为唯一聚点，又在文献 中研究了基于 算子和 算子的 方程的传输特征值问题，还在文献 采用边界积分方程方法求解常数折射率下 方程的传输特征值问题。等人 研究了一种带有涂层边界的两种传输特征值问题。等人 利用等几何边界元和轮廓积分法求解 方程组的特征值问题，并讨论离散化的解析性质。等人在文献 中首次建立了 方程组传输特征值的离散性，又在文献 中研究了关于球层介质 方程组的所有传输特征值的定位和复传输特征值的存在性。同时，在研究中还出现了一系列相关的方法，比如：有限元分析法、边界积分方程方法 、变分法 等。本文利用边界积分方程方法研究了可穿透、非磁性和非均匀介质中带有阻抗边界条件的 方程的传输特征值问题。该方法将边界积分方程组推广为一个边界积分方程公式，且非线性地依赖于传输特征值，这不仅很大程度上减少计算量，而且可以完全表示内部传输特征值问题，不需要增加附加条件来区分内部和外部传输特征值。首先，根据带有阻抗边界条件的 方程的传输特征值问题构造阻抗磁边界迹算子，得到是传输特征值的充要条件是阻抗磁边界迹算子在任意折射率和特殊折射率时的差算子的核非平凡；其次，应用边界积分算子表示阻抗磁边界迹算子，从而得到与传输特征值问题等价的边界积分方程；再次，利用向量格林积分公式、变换、定理、高斯散度定理和迹定理等，证明一种边界积分算子的强制性；接着，应收稿日期：修回日期：网络出版时间：资助项目：国家自然科学基金青年项目（）；重庆市自然科学基金面上项目（）；重庆市教育委员会科学技 术 研 究 项 目（，）；重 庆 市 留 学 人 员 回 国 创 新 类 项 目（，）；重庆师范大学青年拔尖人才培育计划（）；重庆市巴渝学者计划（）；重庆市高校创新研究群体项目（）第一作者 简 介：吴 雪 娇，女，研 究 方 向 为 数 学 物 理 反 问 题，：；通 信 作 者：刘 立 汉，男，教 授，博 士，：网络出版地址：用紧嵌入定理，证明另一种边界积分算子的紧性；最后，结合上述两种算子的性质，证明了阻抗磁边界迹算子的差算子是指数为的 算子且解析。可穿透非磁非均匀介质反散射问题中的传输特征值问题在可穿透非磁非均匀介质时谐电磁波散射理论研究中，需要考虑 方程的传输特征值问题。如果表示具有支集的非均匀介质在电磁散射理论中的折射率，则传输特征值问题可以表示为求解如下齐次问题的特征值参数：!（），在内，（）!，在内，（），在上，（）!，在上。（）式中：且为常数，是有界的单连通区域，而且有连通补集和足够光滑的边界，表示单位外法向量，齐次问题存在非平凡解，（）。本文主要是利用阻抗磁边界迹算子，对传输特征值进行表示，推导出一个积分方程。对任意场，定义 （），它表示在上的切向轨迹。因此，结合方 程 组（）（），定 义阻抗磁 边界 迹算 子，：（!），式 中：（），（）（）：!（），!，并且 （）（）!（），满足方程组：!（），在内，（）!，在上。（）式中：为正的常数；根据向量格林积分定理可知 （），（）（假定（），在阻抗边界条件下用替代）。令 槡，。引理是方程（）（）的传输特征值的充分必要条件是算子（；），的核是非平凡的。换句话说，假如（，），则传输特征值函数，即方程（）（）的非平凡解是方程（）、（）中任意折射率和特殊折射率的解。证明取任意折射率时，：（!），满足方程（）、（）。当时，：（!），满足方程组：!，在内，!，在上。（）根据方程（）、（）可知：!（），在上。（）再由，：（!）和，：（!）可知：，在上，（）将式（）代入式（），可得!，在上。所以，阻抗磁边界迹算子以及方程组（）、（）与方程组（）（）是等价的，进一步就可以应用阻抗磁边界迹算子和方程组（）、（）去研究传输特征值问题。证毕使用边界积分算子来表征阻抗磁边界迹算子，则需要引入单层势算子：（）（）（）（，）（），式中：（，），在 中。若是，光滑，线性算子：（）（）（）在 上有界。进一步定义在上的迹和它的法向导数：（）（）（）（，）（），；（）（）（）（，）（），。根据迹定理，有：（）（），：（）（），且算子和在上第期吴雪娇，等：阻抗边界条件下 方程的传输特征值问题均有界。为了讨论两个基本的电磁边界积分算子，需要定义空间（）（）：和无散度的向量场空间，（）（）：!，。假设给定场，（），密度（）。因此引入磁偶极算子、电偶极算子：（）（）（）!（，）（）（），（）（）（）!（，）（）（），。（）易知，：（）（）是紧算子且为阶的伪微分算子，：（）（）（）是阶的伪微分算子且有界。根据前面提到的传输特征值问题的解，（），因此它们的迹和相应旋度的迹在上分别属于（）和（）。如果 （），则迹（）；旋度的迹（!）（），根据向量格林积分公式，（），存在以下对偶等式定义：，（），（）（!），（），（）（!），式中：（），使得在内!，在上 和（!）。同样地，（!）（），存在以下对偶等式定义：（!），（），（）（!），式中：（），使得在内!，在上 和（!）。显然，在内算子满足向量 方程，因此!：（）（）有界，通过对偶论证，可以将在上的跳跃关系扩展到密度（）的情况，具体引理如下。引理!：（）（），密度（），边界迹分别为：（），（!）（）。（）式中：有界线性紧算子：（）（），有界线性算子：（）（），分别由式（）、（）给出（算子的下标“”表示从的内部靠近边界；算子的下标“”表示从的外部靠近边界）。阻抗磁边界迹算子的相关性质定理阻抗边界条件下 方程（）（）有唯一解。证明为了证明 方程（）（）的唯一性，假设是阻抗问题的解，由式（）可知，齐次边界条件：!（），因此，通过文献 的定理 中，结合文献 中引理 以及对偶空间定义可知，（），根据第一向量格林积分定理：（!）（!），令，有：（!）（!），（!）（!）!。（!）（!）（）（）（）（）。可得!（），因此 在上，根据!在上，重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷依据 公式，得到在内，根据引理可知解的形式：!，（）密度（），显然，由 方程可得满足式（），并且 （）。根据引理，若积分方程（）有解，其中表示单位矩阵，则满足边界条件（），令（），由的紧性、为单射 以及的有界性可知为单射，则该积分方程的解就是阻抗边界条件的唯一解，意味着的解，使得式（）中定义的在内，根据式（）以及，则在上，由完美导体外边值问题的唯一性，在 上，综上所述。根据前面的定义，当时，映射：（）（）为线性紧算子，映射：（）（）有界线性算子，根据后者的对偶等式定义可知：（）（）有界，应用紧嵌入定理，则：（）（）为紧算子，最后根据 定理，：（）（）为紧算子，存在且有界，为双射，则积分方程的解存在，故式（）、（）的解唯一得证。证毕引理如果是，类的，映射（）：（）（）和（）：（）（）（）存在且有界。证明主要以（）为例进行证明。已知算子是阶伪微分算子，是阶伪微分算子，且在（）上为紧算子，在（）上为有界算子，因此，映射（）：（）（）是指数为的 算子。要想证明算子（）：（）（）（）存在且有界，即证算子（）在（）的核是平凡的即可。因此，取时，假设密度（）是（）的核，且!满足向量 方程，（），且满足方程：!，在上。由第一向量格林积分定理可知，如果 （），（），则在中；由完美导体外边值问题的唯一性，在上，得到，即（）的核在（）是平凡的。由此，在对偶系统中利用 变换，得到当时，算子（）的核在（）中也是平凡的。同理，算子（）的核在（）中也是平凡的。证毕进一步考虑纯虚数，情况下的阻抗边值问题，边界条件为!，在上。由引理可知，是传输特征值的充分必要条件是算子（；），的核是非平凡的。通过以上分析，可以用边界积分算子表示阻抗磁边界迹算子，即：（），（）。进一步分析阻抗磁边界迹算子关于，的差：（；）（）（）。于是，有以下正则性结论。引理线性算子a!，从（）映射到（），算子（；）：（）（），且两个算子均有界。证明设（），（；）是!在边界上的切向轨迹，令!，利用引理，（!）（），有（；）（!），则映射（!）是从（）到（），且：!，式中：（）（）为紧算子，：（）（）在时有界，显然 （），且满足边界条件：!，在上。式中：!（）。根据对偶等式定义，则映射!是从（）（），在文献 的定理 及引理 中取时，则（），由引理可知：（）：（）（），（）：（）（），所以!：（）（）为有界线性映射，（）则（!）（）。最后第期吴雪娇，等：阻抗边界条件下 方程的传输特征值问题根据迹定理，（；）是!在边界上的切向轨迹，所以，线性算子（；）：（）（）有界。证毕定理对任意的，槡，算子（）（；）：（）（）是强制的。即：对任意的（）以及存在常数，有：（）（；），（），（）（）。证明对任意的（）且!，根据变换可知：（!）（!）!（）!（）!（）!（）!（）!（）!（!）!（）!（!）。进一步利用向量格林积分定理和高斯散度定理，得到：（!）（!）!（）!（!（!）（）!（!）（!（!）（）（!）!（）!。（）现在，所有的密度（），定义!，根据引理，（），有：（!）（!），（）!。因此，得到边界条件：!，（!）（；），在上，和!（!）（!）（!）!（!）!（!）（），在上。（）式中：!。进一步考虑：!（）!，记为，则：!（!）!（!）（!）（!）（!）（）（；）（!）（!），!（）!（）!（）（!）（!）（）。所以，有：!（）!（）（；）（!）（!）（!）（!）（）（）（；）（）。将式（）代入式（）有：重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷!（）!（）!（）（；）（）（）（；）（）。进一步有：（）（；）!，（）并且有：!（）!（）!，其中：（）（）!（）!（）!。因此，结合式（）、迹定理，将文献 的定理 应用于!，有：!（!）（）（）（），（）!（）（!（）!（）（!（）。因此，有：（）!，（）结合式（）、（），则：（）（；）!（），（）（；），（），（）（）。式中：任意的（）以及存在常数。证毕定理（；）（；）：（）（）是紧算子。证明对任意的（），定义：!，!。然后令，由引理可知（），在边界上得到：!（），!（!）（）（!）。此外：!（）!（）!（）!（）!。并且有!（，），其中（，）（），且：（，）（）!（）!）。映射：（）（）有界，因为：（!）（!）（）（!）（），根据对偶等式定义，（!）：（）（）有界，同理，映射（!）是（）（）有界，将文献 的定理 应用于!，再结合该文献的引理 ，取为，则!（），映射!：（）（）有界，（!）（）。由迹定理有（!）（），于是映射（!）是（）（）和映射（!）是（）（）有界，再一次第期吴雪娇，等：阻抗边界条件下 方程的传输特征值问题使用文献 的定理 ，并结合该文献中的引理 ，取为，应用正则性结果，有（），!（），且映射是从（）到（）是有界的。因此，映射（!）从（）到（）是有界的，又有：（!）!（）（!）（!），根据阻抗磁边界迹算子的定义：（!）（；），（!）（；），从而（!）（；）（；）是从（）紧嵌入到（）。证毕根据定理和定理能够得出下面的结论，并且在折射率为常数的情况下，可以重新建立传输特征值的离散性，下面定理的解析性是指积分算子的核是关于波数解析的。定理（；）：（）（）是指数为的 算子且在，（），（）处解析。证明由定理可知：（）（；）：（）（）是强制性的，即有正的下界；由定理可知：（；）（；）：（）（）是紧算子；根据文献 的定理 知：如果一个算子可以表示为一个有正下界的算子与一个紧算子之和，那么这个算子被称为是指数为的 算子；故（；）：（）（）是指数为的 算子，在，且（），（）中解析。证毕推论当时，（）从（）到（）是指数为的 算子且在 解析，其中集合 ，是一个完美导体的 方程的特征值。参考文献：刘立汉，崔晓英，蔡静秋基于交互间隙法的内部 反散射问题中山大学学报（自然科学版），（）：，（）：刘立汉，蔡静秋，崔晓英基于正则的 迭代法的内部 反散射问题中山大学学报（自然科学版），（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷 ，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，：，：，（，）：，：；（责任编辑黄颖）（）：