第八章幂的运算.doc

8.1　同底数幂的乘法
教学目标：
1. 能引导学生探索、理解、掌握同底数幂的运算性质，并会用符号表示， 知道幂的意义是推导同底数幂的运算性质的依据；
2．会正确地运用同底数幂乘法的运算性质进行运算；
3．经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，从中感受从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法，在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心．
教学重点：同底数幂乘法的运算法则及其应用．
教学难点：同底数幂乘法的运算法则的灵活应用．
教学过程（教师）
一、创设情境，引入问题
重温“嫦娥二号”升天这一伟大时刻；观看航天人幕后工作画面．教师简介“嫦娥二号”升天过程中计算机的作用．
问题：一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
指导交流：
引导学生在讨论与交流的基础上得出结果．
指导学生观察上面算式中乘法底数，指数特点，引出课题：“同底数幂的乘法”．
二、新知探究，例题点击
探究：
根据乘方的意义填空，看看计算结果有什么规律：
（1）25×22＝ ＝ ；
（2）a3·a ＝ ＝ ；
（3）5m·5n＝ ＝ （m、n为正整数）．
①启发、点拨学生发现同底数幂的乘法运算方法，观察运算过程中的底数、指数如何变化．
②猜想：
对于任意底数a与任意正整数m、n， am · an＝？并说明理由（板书过程）．
③归纳并板书同底数幂的乘法法则．

注意：对这个法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字（特别提醒：a的指数是1，计算时不要遗漏）．

例1　计算，结果用幂的形式表示．
（1） a·a6 ； 　 （2） (－2)3×(－2)2 ；
（3） –am·a2m ； （4） 25×23×24 ．
在学生充分思考、分析的基础上板书例1中（1）小题，其余学生独立完成，规范方法，步骤书写．

通过观察比较、分析得出：am·an·ap＝am＋n＋p（m、n、p都是正整数）．

巩固练习一：
1．口答：
（1）()2×()4＝ （2）(－2)10×(－2)13＝
（3）－bn·b2n—1＝ （4）x5·x4·x＝
2．下面的计算是否正确?如有错误，请改正．
（1）x3·x3＝2x6 （ ）； （2）x4·x2＝x8 （ ）；
（3）a2＋a2＝a4 （ ）； （4）x·x3＝x3 （ ）．
3．填空：
（1）a7a( )＝a12； （2）ana( )＝a3n；
（3）3×27×35 ＝3x，则x＝ ．
例2　计算，结果用幂的形式表示．
（1）(2y＋1)2·(2y＋1)5；
（2）(p－q)5·(q－p)2；
（3）a4·a6＋a5·a5．
三、探研时空，思维升华
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒发射升空，飞行速度：15千米/秒，预计5日内到达指定轨道，若到达轨道时飞行了4.32×105秒，计算此时“嫦娥二号”飞行的路程（结果用科学计数法表示）．
思考：大家想了解一下“嫦娥二号”在太空中飞行的过程，但需要输入密码才能打开．现在知道 xm＝32，xn＝8，密码就是x m +n的值．你能帮助老师破解密码吗？
四、小结反思
小结：
①通过这节课的学习你有何感受？有什么收获？说出来与大家一起分享！
②对这节课的内容，你还有疑问吗？
五、作业布置
作业：课本P48习题8.1第3、4、5题．
8.2　幂的乘方与积的乘方（1）
教学目标：1．能说出幂的乘方的运算性质，并会用符号表示；
2．使学生能运用幂的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据；
3．经历探索幂的乘方的运算性质过程，进一步体会幂的意义， 从
中感受具体到抽象、特殊到一般的思考方法，发展数感和归纳能力．
教学重点：理解并正确运用幂的乘方的运算性质．
教学难点：幂的乘方的运算性质的应用．
教学过程（教师）
一、复习回顾
1．an 表示的意义是什么？
2．同底数幂乘法法则是什么？
二、探究新知
（1） 一个正方体的边长是102cm，则它的体积是多少？
（2） 100个104相乘，可以记作什么？
（3） 先说出下列各式的意义， 再计算下列各式：
(23)2表示____________；
(a4)3表示____________；
(am)5表示____________．
从上面的计算中，你发现了什么规律？
猜想：(am)n＝？
分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确．
归纳：(am)n＝amn．
证明：(am)n＝am·am …·am＝am＋m＋ … ＋m ＝amn ．
幂的乘方法则：(am)n＝amn．幂的乘方，底数不变，指数相乘．
三、例题教学
例 1　计算：
（1）(106)2 ；
（2） (am)4（m为正整数）；
（3） －(y3)2；
（4）(－x3)3．
练一练：
1．计算 (102)3 ；(b5)5 ；(an)3 ；－(x2)m．
2．计算：
（1） ( 104 )2；（2）(x5)4；（3）－(a2)5 ；（4） (－23)20 ．
3．下面的计算是否正确？如有错误请改正．
（1）(a3)2＝a2＋3＝a5； （2）(－a3)2＝－a6 ．
例 2　计算：
（1）x2·x4＋(x3)2 ； （2）(a3)3·(a4)3．
练一练：
计算：1．(y2)3y2 ； 2．(－32)3(－33)2 ； 3．(－x)2(－x)3 ．
四、拓展提高
1．若a2n＝5，求a6n；
2．若am＝2，a2n＝7，求a3m+4n；
3．比较2100与375的大小；
4．已知44×83＝2x ，求 x 的值．
五、小结
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？
六、课后作业 课本P53习题8.2第1、3、4、5题．

8.2　幂的乘方与积的乘方（2）
教学目标：1．了解积的乘方性质，理解用符号表示积的乘方运算性质的意 义，体会模型思想，发展符号意识．
2．会正确运用积的乘方的运算性质进行运算，并知道每一步运算的依据．
3．经历探索积的乘方的运算性质的过程，从中感受类比、从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．
教学重点：探索积的乘方的运算性质，会正确运用此性质进行计算．
教学难点：积的乘方的运算性质的探索．
教学过程（教师）
一、复习旧知
1．用符号表示幂的乘方运算性质．
2．我们是如何探索得到幂的乘方运算性质的？
二、探索活动
1．根据乘方的意义，计算．
2．观察上式，它有什么特点？
3．归纳结论．
4．说明结论的正确性．
三、例题讲解
例1 计算：
（1） （5m）3； （2） （－xy2）3．
巩固练习：P52练一练1、2、3．
例2 计算：
（1）（xy2）2； （2）（－2ab3c2）4．
问题一　从上面的计算中，你发现了什么？能说明你的猜想是正确的吗？
问题二 计算（）4×210，并说明每一步的依据．
例3　球的体积V＝πr3（其中V、r分别表示球的体积和半径）．木星可以近似地看成球体，它的半径约是7.13×104 km，木星的体积大约是多少（π≈3.14）？
四、拓展练习
1．填空：
（1）（）4·210＝ ；
（2） 若（a2bn）m＝a4b6，则m＝ ，n＝ ；
（3） [（－2）×106]2＝ ；
（4） 0.52004·22004＝ ；
（5）若 xn＝5，yn＝3，则（xy）2n＝ ．
2．P52练一练4．
五、课堂小结
谈谈本节课收获的知识与方法．
幂的乘方
运算性质
乘方的意义
建模
积的乘方
类
比

8.3　同底数幂的除法（1）
教学目标：1．了解同底数幂的除法运算性质，理解符号表示此性质的意义，体会模型思想，发展符号意识；
2. 会运用同底数幂的除法运算性质进行计算，做到步步有据；
3. 在探索同底数幂的除法运算性质的过程中，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法．
教学重点：探索同底数幂的除法运算性质，会正确运用此性质进行计算．
教学难点：同底数幂的除法运算性质的探索．
教学过程（教师）
一、情境创设
如图，若已知这个长方形的面积为25cm2，长为23cm，则宽为多少cm？

二、新知探究 
1．活动一．
如何计算？
2．活动二．
计算下列各式：
（1）＝ ，＝ ；
（2）＝ ，＝ ；
（3）＝ ，＝ .
3．活动三．
再举出几个类似的算式试一试，你有何发现？
4．活动四．
（1）引导学生同样作为同底数幂的运算，能不能类比同底数幂的乘法把
猜想也用一个式子表示出来？
（2）通过说理说明猜想的正确性；
（3）完善条件，得出性质．
三、例题讲解 
例1 计算：
（1）；（2）；
（3）；
（4）（m是正整数）．
四、练习巩固
课本P55练一练第1题．
五、课堂小结
谈谈本节课收获的知识与方法．

用网络图带领学生回顾探究新知的流程：

8.3　同底数幂的除法（2）
教学目标：1．了解、（a≠0，n为正整数）的规定；
2．在对“规定”的合理性做出解释的过程中，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，学会数学思考、感悟理性精神．
教学重点：感受“规定”的合理性，并会运用“规定”进行解题．
教学难点：对“规定”的合理性做出解释．
教学过程（教师）
一、情境创设
之前学习了当a≠0，m、n为正整数，m＞n时，，那么若m＝n，m＜n时，
还能用这样的运算性质进行计算吗？（引入新课）．
二、新知探究 
1．活动一．
提问：若m＝n，a≠0，m、n为正整数，如何计算？能否运用前面所学的同底数幂相除的运算性质？
2．活动二．
（1）思考：一张纸对折1次是2层，对
折2次是4层，对折3次是8层，对折4次是16层……，对折后纸的层数与对折的次数之间的关系可以表示成什么？若没有将纸对折，如何表示，纸张的层数又为多少？
（2）观察数轴上表示、、、的
点的位置是如何随着指数的变化而变化的？你有什么猜想？

（3）由上面两个活动，你有什么发现？
（4）得到规定：（a≠0）即任何不
等于0的数的0次幂等于1．
3．活动三．
（1）提问：若m＜n，a≠0，m、n为正
整数，还可以用同底数幂除法的运算性质进行计算吗？
（2）例如：等于几？能利用同底
数幂除法的运算性质进行计算吗？借助活动二中的式子，进一步思考你能得到什么猜想？把你的发现用式子表示出来．
（3）得到规定：（a≠0, n为正
整数），即任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数．
4．活动4．
计算：（1）（a≠0）；
（2）（a≠0）.
由学生小组内分别根据规定和同底数幂除法的运算性质加以计算，然后进行比较，得出发现．
引导学生得出发现：可将同底数幂的除法运算性质扩展为一切整数指数幂：
（a≠0， m、n为整数）.
三、例题讲解 
例1　用小数或分数表示下列各数：
（1）；（2）；（3）.
例2　下面的计算是否正确？如有错误，请改正．
（1）；（2）；
（3）；
（4）（a≠0, n为正整数）.
四、练习巩固
1．课本练习．
课本P57练一练第1、2、3题．
2．补充练习：
练习1．
（1）成立的条件是 ；
（2）当x 时，有意义；
（3）若有意义，则x ；
练习2．
（1），则x＝ ；
（2），则x＝ ；
（3），则x＝ .
五、课堂小结
谈谈本节课收获的知识与方法．收获了一个方法：由特殊到一般的思考问题的方法．教师利用口号“一二一”帮助学生总结本节课的知识和方法．
扩展了一个性质：同底数幂除法的运算性质适用于一切整数指数幂；认识了二个幂：零指数幂、负指数幂；

8．3　同底数幂的除法（3）
教学目标：会用科学记数法表示绝对值小于1的数．
教学重点：会用科学记数法表示绝对值小于1的数．
教学难点：负整数指数幂的灵活运用．
教学过程（教师）
一、情境创设
1．用小数表示下列数：
，，．
2．观察上述各式，你有什么发现？
3．如 ，，这三种形式你更喜欢哪种表示形式呢？
二、新知探究
1．活动一．
（1）你听说过“纳米”吗？知道“纳米”
是什么吗？
（2）1纳米有多长？
（3）纳米记为nm，请你用式子表示nm、
nm，nm等于多少米，nm呢？
2．活动二．
（1）交流讨论：以前用科学计数法表示
大数时，n是什么数？现在呢，有什么不同？
（2）归纳结论．
　　（3）你认为把这些数写成科学计数法的
形式有什么优点？
三、例题讲解
例1　人体中的红细胞的直径约为
m，用科学计数法表示这个量．
讨论交流：如何确定n？
例2　某种细胞的截面可以近似的看成圆，它的半径约为 m，求这种细胞的截面面积S（π≈3.14）．
四、应用
滴水穿石的故事大家都听过吧？经测量：水珠不断地滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为m的小洞，用科学记数法表示平均每月小洞的深度．（单位：m）
五、拓展练习
课本P58练一练第1、2题．
六、课堂小结谈谈本节课收获的知识与方法．
1．1个很小的正数可以写成1个正整数与10的负整数指数幂的积的形式；
2．运用负整数指数幂的知识可以很方便地解决生活中一些较小数据的实际问题．
七、作业布置
1．课本P59习题8.3第5、7题；
2．补充练习：
网上查阅光的速度，并用科学记数法表示光在真空中走30cm需要多少时间？