指向概念性理解的数学单元学习群设计策略_庄惠芬.pdf

512023 年 8 月 15 日投稿网址：数学概念是对某一类对象本质属性的表达，也是儿童数学思维发展的重要载体。儿童数学学习是否顺畅，很多时候是从清楚地理解数学概念开始的。在“简易方程”的学习过程中，我们发现学生普遍存在“不想用方程解”“不会找等量关系”“不知如何设未知数”等问题。数学概念的形成在于对数学对象充分感知的基础上通过比较、分析、归纳得出它们的共同属性。而数学单元学习群的建立，通过结构化的知识、系统性的思维、体系化的眼光，能从碎片化的数学知识中梳理出概念的脉络，促进儿童对数学的概念性理解。教师应以数学单元学习群为载体，把握数学学科的本质，形成具有学科中心地位、广泛的实用性和解释力的概念模型，并能将这样的概念模型作用于新的问题情境，形成可迁移的应用价值。本文就以小学数学五年级“简易方程”单元为例谈一谈。一、观念统领：以概念理解为本的单元目标设计现行教材关于“简易方程”的编制存在一定的内在缺陷，会对学段之间的衔接、知识之间的融通造成困难。为了突破难点，我们采用数学大观念统领教学。数学大观念不是简单知识的堆砌，而是立足于概念内核基础上的重新架构，以少而精的观念促使学生达成对数学学科的深度理解1。1.确立单元具体观念单元具体观念指向学生的理解和迁移，是单元教学设计的灵魂。在“方程”这一单元中，上位的观念为培养学生的符号意识、函数思想、数学建模等数学思想；中位的观念为在探索现实世界数量关系的过程中，感受等号既可以表示结果又可以表示等价关系，积累将等量关系符号化的活动经验，在表达等量关系的过程中，通过生生和师生交流、评价，初步发展代数思维；下位具体观念为学生体会用字母表示数与关系的实际需要与必要性，能够借助生活情境中的故事找出等量关系，并且能用方程表达关系，借助天平秤的平衡原理理解等式性质、学会解方程。2.设计单元核心问题单元核心问题一定是围绕单元具体观念制定的，教学方法指向概念性理解的数学单元学习群设计策略*江苏省常州市武进区星河实验小学庄惠芬摘 要 数学概念是儿童数学思维发展的重要载体，是儿童数学学习是否顺畅的关键。数学单元学习群可以通过大观念、大问题、大任务的建立，探寻以概念理解为本的单元学习目标设计、以概念进阶为路线的单元活动设计、以概念结构为框架的单元学习支架、以概念迁移为结果的单元学习评价路径，助推儿童数学概念性理解，促进儿童核心素养的发展。关键词 数学概念 数学单元学习群 概念理解 概念进阶 概念结构 概念迁移引用格式 庄惠芬.指向概念性理解的数学单元学习群设计策略 J.教学与管理，2023（23）：51-54.*该文为全国教育科学“十三五”规划 2020 年度教育部重点课题“指向学科核心素养的数学单元学习群的实践研究”（DHA200373）的研究成果52庄惠芬：指向概念性理解的数学单元学习群设计策略核心问题能够引领儿童探究学习内容的本质，在探究活动中体悟数学思想方法，在反思回顾整理中涵育数学思维方式，在过程的探索中积累数学活动经验。一方面，这一学段的学生基本上是第一次接触代数思想；另一方面，小学阶段的方程学习需要为中学的方程学习衔接做好准备。我们把这一单元的核心问题设为：“你能用字母表示事物之间的关系吗？方程到底有怎样的意义和价值呢？你能通过在事物之间建立等量关系解决实际问题吗？如何根据需要建立方程，体会方程的优越性？你会用方程解决生活中较为复杂的实际问题吗？”3.制定学习任务目标单元任务序列要对应单元核心问题，同时指向单元具体观念，以保证学习任务的目标指向内容的本质，指向学生的素养发展。在“简易方程”这一单元学习中我们设计了三个大任务：能用字母表示事物间的关系、能找出天平秤里的等量关系、能在生活场景中找到等量关系。三大任务聚焦概念本质，指向方程的意义和本质，可以发展儿童的思维和能力。围绕学习目标三大任务可以分解形成具体的子任务：会用字母表示任意数、一类数、数量关系、特定的未知数等等，会通过不同情境中寻找等量关系理解方程的意义，会借助天平秤探究等式的性质，会用方程解决问题。数学单元学习群的教学设计与实施是基于单元具体观念的，而具体观念又是与核心问题密切关联的，核心问题要紧扣学习内容的核心本质，与单元具体观念对接。二、梳理图谱：以概念进阶为路线的单元活动设计对简易方程的理解直接影响小学后一阶段方程的学习，甚至影响着学生今后关于方程与函数的区分、认识与理解。因此，我们有必要关注教材的编排逻辑和学生认知层次，通过对不同版本教材的研究，重新设置例题的教学方式、内容呈现以及编排容量。1.以教材比对厘定概念的内在脉络天平是否反应方程的本质？“含有未知数的等式”这一定义是否表达的是方程的本质？这些问题如何突破，教师可以从不同版本教材的对比切入，从知识点的分布、方程概念的引入方式、模型结构的建立、解方程的依据和列方程解决实际问题的编排等方面入手，对比分析、类化整理，明晰“简易方程”的概念脉络。表 1“简易方程”教学内容的多版本教材对比版本分布方程概念方程模型解方程依据列方程解决问题苏教版五年级上册第八单元和五年级下册第一单元形式特征引入A-X=BAX=BaXbX=caXbc=d等式性质主体单元中与解方程结合，不单独列内容，与六年级正比例和解决问题的策略整合编排人教版五年级第十册共 1单元形式特征引入同上等式性质和倍、差倍、相遇问题北师版四五年级下册共 2单元等量关系引入同上等式性质邮票的张数（X+3 X）=180；相 遇 问 题70X+50X=840沪教版五年级上下册共 3个单元等量关系引入8 个例题包括等号两边有 X三数关系和差、差倍、和倍、追及问题、盈亏问题、相遇问题等通过对比，教师可以取长补短，从等量关系引入方程的概念并明确方程概念的本质属性，同时将“用字母表示数”与“认识方程”板块重组，在“用字母表示数”中降低学习起点，不把函数或对应关系作为教学材料。同时，强化学习重点，整体推进用字母表示一步运算和两级运算的数量关系，融入常见数量关系的代数式训练。在“认识方程”中利用不变量理解等量关系，重视等量题组情境变式，以等量关系作为建立方程概念的主要线索。2.以思维线索驱动概念的进阶过程对于方程的概念性理解，将“含有未知数的等式”这一形式化定义拓展为“方程表示已知数与未知数的等量关系”。把等量关系作为方程概念理解的核心，在真实情境中激发儿童的方程思维，凸显方程的价值与意义。对方程的概念理解，从找未知数开始，再到如何在已知数与未知数之间建立联系，突出“找等量关系”这一核心要素。在这个基础上，让学生比较不同情境背后等量关系的逻辑线索，然后抽象概括，剥离情境之后概括出方程的意义，建立方程的模型，其中包含两条交融推进的思维线索：一是让学生经历“设未知数找等量关系列出方程”这样的模型建构过程，二是让学生在方程建模过程经历观察、分析、比较、归纳、概括、建模等数学化过程，实现从形式到内涵的第二次嬗变，促进学生数学高阶思维的发展2。53庄惠芬：指向概念性理解的数学单元学习群设计策略3.以认知匹配深化概念的本质理解儿童在“简易方程”单元学习过程中存在的学习障碍主要包括：受算术思维定势影响过深、列方程局限于一种形式化的模仿、缺少整体的建模意识等方面。学生对方程的认识基于表层，并未感受到方程的出现是基于解决问题，很难构建与新内容相匹配的认知图式。究其原因，从两个学段的编排来看，第一学段缺少方程思想，多算术思想与逆向思维，数学教学没有为方程做好铺垫，扼杀了学生早期的代数萌芽；第二学段从逆向思维到顺向思维适应度不够，初学方程比较简单，造成学生对方程的学习动机不高、兴趣不大，逆向向顺向转化不适应。因此，为促进儿童的认知匹配，采用第一学段提前孕伏，在算术与代数的割裂处架起桥梁，如学生一二年级学习四则运算后设计一节“加减乘除的整理”的教学，通过加与乘、加与减、乘与除、除与减之间的关系比较，打通它们之间的内在联系，渗透关系性思维，为代数学习奠定基础；第二学段基于儿童的认知基础，叩问方程本质，如利用“单价、数量、总价”“路程、时间、速度”等常见数量关系建立等量概念，深入理解“把未知数与已知建立关系”基础上引出方程含义3，将等量关系的理解与刻画作为“方程的意义”的教学核心，创造性使用教材。三、贯通思想：以概念结构为框架的单元学习支架数学单元学习群是围绕基本概念进行的，可以帮助学生建构概念模型，使儿童获得主要概念的本质属性和概念性观念，从而发展儿童的概念理解力。教师可以采用纵向贯通和横向贯通的学习支架策略建立概念框架。1.纵向贯通策略数学知识点之间往往有纵向关系，这种纵向关系需要和儿童的经验联结，与数学概念理解的差异性相贯通。（1）从儿童经验与概念之间的差异中确定认识线索。儿童已有算术法经验是倒推着寻找线索，获得一个小结论再进一步倒推，直到获取真相。方程概念是顺着事件的发展顺序去梳理线索，找到线索之间的相互关联获得前因后果。求方程的解的过程又是一个体现了逆运算的过程。在分析学生的已有认知中，进一步联系学生已有知识经验与对数学概念理解之间的差异，在对比中体验二者的不同。比如区分“式”“等式”，厘清“量”“等量”，先要帮助学生建立“等量”的概念，之后建立“等式”概念。教师以对学生前期经验的了解和认知线索的设计为基础，提取出基本问题推动教学，为学生提供调整认知，建构并理解概念的机会，设计层层递进的认知线索以促进理解。（2）在数学问题与学习活动的对应中顺应思维过程。儿童对数学概念的深化理解，需要顺应其认知过程、思维方式并产生积极的反应，在对现实情境问题的探索中深化概念理解。苏教版数学教材中“用字母表示数”内容全面，但是对特定的未知数的认识不够深入，因此增加此内容方能为方程概念认识奠定基础；“等式性质”“解方程”和“列方程解决问题”的内容编排相对比较单一，因此，需增加等式两边均有未知数的内容，渗透消元、守恒思想。不仅要认识方程之“形”，还要领会方程之“神”，才能形成对方程本质的认识，进入学科认知体系，通过算术思维与代数思维的对比，体会代数思维的优越性。总体而言，在设计这些问题的时候要注意帮助学生检视原有观念、拓展经验，形成新的观念，从而促进学生对概念的真正理解。2.横向贯通策略概念之间除了纵向关系，还需要揭示知识之间的横向关系。数学概念横向贯通主要体现在三个维度。（1）“概念核”的析取。在一个概念系统中，有一些概念处于核心位置。在“简易方程”中“等量关系”就是概念核心，教师要重视等量题组情境的变化，以等量关系作为建立方程概念的主要线索，在已知数和未知数之间建立等量关系，突出代数“还原”和“对消”的本质，依据等式性质扩展“两边含有未知数”的解方程技能，从而为列方程解决问题扫清障碍。（2）“概念体”的结构。概念系统的结构性分析包括概念系统的成分及其组织方式4。在“简易方程”概念模式中，教师要强化“用字母表示特定未知数”的意义理解，整体推进用字母表示一步运算和两级运算的数量关系，进一步融入常见数量关系的代数式训练。（3）“概念域”的框架。利用概念域这种框架，可以分别研究相互联系的概念，如用字母表示运算定54庄惠芬：指向概念性理解的数学单元学习群设计策略律、平面图形的面积和周长公式等。一些学生列方程解决问题时不会设定未知数或设定未知数有困难，其根源就在于前期学习“用字母表示数”时缺乏识别未知量的训练。四、相似模块：以概念迁移为结果的单元学习评价单元学习群教学是否有成效，取决于评价的逆向设计，取决于是否让儿童在数学学习中更好地形成迁移能力，让学习的概念系统产生迁移、举一反三。数学素养评价框架可分为情境维度、内容维度、过程维度，课堂评价的关键因素是：以课堂活动为介质、以目标达成检验为环节、以在场性评价为方式，真正优化、促进学生学习。1.情境维度：运用课堂活动的评价介质在“简易方程”单元教学目标的指引下，先进行目标分类，再编拟评价指标体系，将目标导向的达成评价融入到课堂学习的全过程，让整个教学不偏离“简易方程”的单元教学目标，让嵌入评价植入儿童有序的学习活动中。学习评价必须以目标作为参考，比较学生学习的实际效果、人格发展与目标之间的一致性程度。通过思维导图、单元知识整理、核心素养量规的设计，确立方程的思想观念，并能在目标制定、活动探究、练习设计与反思整理中展示自己的学习成果并形成自己的学习方式。在单元学习群活动路径的新序列中，学生在用字母表示数的维度具有更强的运用字母参与运算的能力，具有更强的借助字母探索、表征规律的能力，能有效提高学生综合运用方程解决相关问题的能力。2.内容维度：把握素养目标的检验指向单元学习群的评价要强化对数学知识的本质理解，提炼出数学知识之间的关联性概念，发挥核心数学概念的作用，由此确立合适的学习主题。我们选取水平相当的班级作为研究对象，分为参照班和研究班，参照班用原教学序列展开教学，研究班采用新的单元学习群教学序列进行教学，并展开对照研究，“简易方程”的评价主题内容包括：用字母表示数侧重考查学生设定未知数、代入未知数并求值，以及使用字母参与运算的能力；解方程侧重考查学生对等式性质的理解以及运用等式性质采用消元、对应等方式灵活求解方程的能力；用方程解决实际问题侧重考查学生设定未知数、寻找等量关系、解方程，以及解决实际问题的能力。围绕“简易方程”数学学习主题制定素养评价量规，可以形成脉络清晰、条理分明、相互联系的数学知识体系。通过单元学习群，使学生形成简化的、本质的、内在逻辑性较强的数学基础知识结构。3.过程维度：采用逆向设计的评价方式基于单元学习群的学习评价，需要设计指向关键能力的有意义的表现性评价任务，围绕评价的目标要素要贯穿于课堂评价的每一个环节，通过评价过程中搜集的信息判断是否达成预设目标。以学习结果开启的逆向设计5，首先，确定学生在本单元需要达成的学习结果（即简易方程的意义、价值以及作用等）；其次，确定学生是否达成学习目标的评估要素、量规和方式（聚焦本单元内容，明确需要达成的关键能力与思维品质）；第三，设计相应的学习周期、情境活动和学习方法；第四，通过学习记录、思维可视化等方式呈现人人参与的表现性评价和结果性评价，最终指向数学概念的可迁移性，实现概念性理解。数学单元学习群主导下的学习活动是探究式的，它要求学生主动发现问题，主动探究、交流和讨论，进而获得数学概念性理解。在这一过程中，学生的探究能力、思维品质、数学情感等的发展是同步的。让儿童的数学学习从知识覆盖到观念统领，建立知识间的联系，促进新情境下的迁移。参 考 文 献1张丹，于国文.大观念的研究评介：以数学学科为例J.比较教育学报，2020（02）：137-149.2吴恢銮，沈美莲.从表面感悟走向本质理解：方程的意义教学设计与解读J.小学教学设计：数学，2017（Z2）：48-50.3李林婧.基于儿童立场的简易方程研读及思想方法剖析J.文山学院学报，2021，34（03）：114-117.4鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程M.上海：上海教育出版社，2009：116.5熊梅，王艳玲，邓勇，等.素养导向单元学习评价的意义、特征和策略J.中国教育学刊，2022（22）：81-87.责任编辑：陈国庆