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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,设计模拟滤波器通常是给定幅度函数,标，由此得到物理可实现系统函数,技术指,1、模拟滤波器模平方函数,可由系统冲激响应表示为,3.8 模拟滤波器(AF)设计,模拟滤波器系统函数,模拟滤波器系统频响,第1页,是实函数时，频响为,第2页,对应,L,T,是,o,o,定义幅度平方函数：,关系：零、极点是象限对称。,与,零、极点,零、极点,第3页,不论设计何种模拟（高通、带通、带阻）滤波器，都,能够先设计得到模拟低通滤波器,换，得到所需要,，再经频率变,。通常把,低通滤波器（或模拟低通原型），所以我们只讨论模,拟低通滤波器设计方法,称为模拟原型,2、AF技术要求,讨论低通AF设计方法。,低通AF技术指标是由容限图给出。,第4页,确定模拟低通参数有：,，通带允许误差,阻带允许误差,阻带截止频率,通带截止频率,0,1,第5页,通带截止频率,通带允许最大衰减,普通,是由衰减表示。,由衰减表示普通容限图参数有,阻带截止频率,阻带允许最小衰减,30dB,3dB,0,第6页,式中,定义衰减函数,为AF输出功率；,为AF输入功率；,功率传输比,若用,表示，则,输入输出电压（或电流）变换。,第7页,例3-30 已知一模拟低通AF,试求通、阻带误差,（衰减越大，输出越靠近零）。,以上信号不能顺利经过，衰减大于30dB,超出,3dB,，能够是单调，也能够是波纹。,以下信号能够顺利经过，其衰减不,指标说明,阻带允许最小衰减,阻带下限频率：,通带允许最大衰减,通带截止频率：,第8页,通带,或,第9页,阻带,得到振幅函数改变范围：,第10页,当给定滤波器技术指标后，设计任务就是要找到,一个符合要求,或,。不过,不轻易用多项式或有理式表示，所以要找到一个能够用,多项式或有理式迫近函数。这个函数被称为特征函数，,用,表示。并将功率比表示为,3、滤波器对逼近方法,第11页,这么我们得到用,表示衰减函数为,为自变量多项式或有理式。,等于以,迫近方法是设,，或,是设法用某种方法迫近,，我们任务就,或,假如给定了所希望衰减,第12页,惯用,函数有,这是巴特沃思迫近特征函数。,式中,这是切比雪夫迫近特征函数。,下面详细介绍由这两个,器与切比雪夫滤波器。,函数组成巴特沃思滤波,(3-106),(3-107),(1),(2),第13页,巴特沃思滤波器也称最平响应特征滤波器。(3-106)式,是其特征函数。,3.8.1 Butterworth滤波器设计,1、巴特沃思滤波器数学模型,模频特征为,其中：,N,是滤波器阶数。,第14页,Butterworth滤波器模频特征,1,0.707,第15页,Butterworth滤波器幅度平方函数图,1,0.5,第16页,时,(1),是滤波器半功率点或幅频特征,所以,（-3dB）点。,增加，通带边缘改变加紧，幅频特征越迫近理,伴随,为多少，幅频特征都经过,点。,想特征。但不论,第17页,都是平直，即为“最平响应”滤波器由来。,附近幅频特征,，而且在,时，,(3)模频改变是单调，相位特征很好。,要设计一个符合性能指标要求巴特沃思滤波器，可知,阻带内,越迫近理想特征，通带内,且,数 。,首先要确定参数有两个：-3dB截止频率 及系统阶,(2),第18页,2,确定,、,1,两个方程，两个未知数，,能够解出。,第19页,(3-115),为改进阻带指标,(3-116a),或为改进通带指标,(3-116b),第20页,所以,3、求,即,将,因为,思绪：由,第21页,极点,为奇数时，分母为,当,解出,实轴上有极点。,圆上，而且,为间隔，分布在半径为,极点是以,第22页,为偶数时，分母为,当,解出,圆上，实轴上没有极点。,极点是以,为间隔，起点在,分布在半径为,第23页,由右半平面极点组成。,由左半平面极点组成,其中：,为偶数时，实轴上没有极点。,有极点；当,对称虚轴，虚轴上无极点；当,为奇数时，实轴上,为半径，等间隔分布；,个极点，以,特点：,有,第24页,例,第25页,例,第26页,时，,极点。,点，做,依据因果稳定系统要求，我们选出左半平面,N,个极,所以,求,因为,令,由,第27页,可解出,则,(3-122),第28页,各滤波器幅频特征不一样，为使设计统一，能够作归一,化后,表示为,化处理。假如采取对-3dB截止频率,归一化，归一,(3-123a),或,(3-123b),第29页,为归一化极点，表示为,式中,(3-124),(3-125),，则(5)式 变为,令,、,第30页,归一化后巴特沃思滤波器普通也称归一化巴特沃思,原型低通滤波器。将(3-124)式分母多项式制成对应,表 3-3 巴特沃思多项式表,1,2,3,表格如表3-3所表示，这么多项式称巴特沃思多项式。,第31页,4,5,6,7,第32页,4、设计步骤,(1)由,，及(3-115)式确定滤波器阶数,入(3-124)式得归一化系统函数。,(4)去归一化，得到实际滤波器系统函数,(3)用（3-116）式确定,。,(2)由,查表3-3或由(3-125)式确定归一化极点,，代,第33页,，设计满足条件巴特沃思低通滤波器。,例3-31、已知通带截止频率,，通带最大衰减,，阻带截止频率,，阻带最小衰减,解,第34页,函数,为改进阻带指标,取,取正整数，所以,。查表得滤波器归一化系统,第35页,去归一化，得到,去归一化计算较繁，能够借助MATLAB完成去归一化,工作。本例去归一化MATLAB程序及结果以下,b=0 0 0 0 0 0 1;%分子系数；,a=1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1;,bt at=lp2lp(b,a,2.1096)%去归一化分子、母系数；,%分母系数；,第36页,1.0000 8.1509 33.2183 85.8267 147.8352,答案,bt=88.1456,at 分母系数,161.4373 88.1456,分子系数,第37页,去归一化后,因为实际频率,数值太大，受运算精度,影响，我们在MATLAB程序中用取,。,所以最终分子系数要乘以,，分母多项式系数结果,所以最终正确结果为,从第二项式要依次乘以,，,第38页,分子,分母,第39页,阶数比巴特沃思滤波器要低。代价是相位特征比巴特,巴特沃思滤波器是惯用一个滤波器，从它幅频特征,可见，它通带误差低端小高端大。为了确保滤波器,通带高端性能指标，滤波器阶数就会较高。,切比雪夫滤波器采取等波纹迫近理想特征，使通带内误,差分布均匀。这么在相同指标情况下，切比雪夫滤波器,沃思滤波器差，且设计相对复杂。,3.8.2 Chebyshev滤波器,第40页,0,1,Chebyshev,滤波器,特点,较差。,缺点：通带内相位特征,数较低，结构简单。,优点：相同指标下，阶,通带内单调，阻带等波纹（型）。,通带内等波纹，阻带单调（型）；,第41页,，则,是滤波器阶数，,式中,是波纹系数。,是第一类切比雪夫多项式，定义为,1、数学模型（迫近函数）,令：,第42页,递推,1、,令：,第43页,递推公式：,第44页,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,特征曲线如图3-63所表示。,第45页,特点：,、,、,、,(1),时，,第46页,(3-129)式说明不论,为多少，模频特征在,时经过,点，所以定义,截止频率。,为切比雪夫滤波器,时，,(2),第47页,(3),时，,(4),伴随,增加，,时,波动增加，通带,波纹增加；,时，,增加紧，阻带衰减亦加,快。切比雪夫滤波器模频特征如图3-64所表示。,第48页,图3.8-9 切比雪夫滤波器模频特征,N=3,N=4,1,0,第49页,这时,确定,2、,(1),由截止频率确定,(3),N,由阻带指标确定,所以,因为,由通带允许波纹确定,(2),第50页,第51页,其中,第52页,有左半平面极点作为,极点。,个极点（全部极点是分布在一个椭圆上），取出所,3、确定,因为,2,N,，解出,由,即,其中,满足椭圆方程：,第53页,则,式中,第54页,圆分割点上，纵坐标落在大圆分割点上。,当,横坐标落在小,为奇数时，实轴上有极点。,在虚轴上没有极点。当,为偶数时，实轴上无极点，,极点分布特点,极点在大小圆上按等角间隔分布，对虚轴对称，而且,第55页,S平面,例三阶Chebyshev滤波器极点位置如图3-65所表示,第56页,2,、求,得到系统函数普通表示为,取Chebyeshev椭圆左半圆上极点作为,极点，,第57页,由其模平方函数还可推得,式中,是,多项式，最高阶次系数为,，由上式可解出,这么，切比雪夫滤波器系统函数为,第58页,与巴特沃斯滤波器一样，为使设计统一，可将,对,做归一化处理。归一化后系统函数表示为,归一化后切比雪夫滤波器普通也称切比雪夫低通原型,滤波器。,第59页,分母多项式制成各种,对不一样,，可将,表3-4列出了通带衰减为1dB时，阶数,表格，,与分,母多项式系数关系。,表3-4 切比雪夫低通原型滤波器分母多项式,（通带波纹误差为1dB，,）,第60页,2 1.1025 1.0977,6 0.0689 0.3071 0.9393 1.1.9308 0.9283,1 1.9652,3 0.4913 1.2384 0.9883,4 0.2756 0.7426 1.4539 0.9368,5 0.1228 0.5805 0.9744 1.6888 0.9368,第61页,4、设计步骤,(1)由待求滤波器通带截止频率,确定,，即,(2)由通带衰减指标确定波纹系数,(3)由波纹系数,、截止频率,及阻带衰减指标,、,确定系统阶数,。,第62页,查表3-4得归一化系统函数,(4)由,第63页,(5)去归一化，得到实际滤波器系统函数,，设计满足条件切比雪夫低,阻带最小衰减,例3-32指标同例3-31。,通带截止频率,，,通带最大衰减,，阻带截止频率,，,通滤波器。,第64页,解,第65页,查表3-4得到归一化系统函数,与巴特沃思滤波器指标相同，但阶数低。,去归一化，得到,第66页,能够借助MATLAB完成去归一化工作。去归一化,MATLAB程序及结果以下,式中,bt at=lp2lp(b,a,1.88495),b=0 0 0 0.4913;,a=1 0.9883 1.2384 0.4913;,第67页,1.0000 1.8629 4.4001 3.2904,at 分母系数,与巴特沃思去归一化相同，因为,bt=,3.2904,分子系数,第68页,所以最终分子系数要乘以,，分母多项式系数结果,正确结果为,考虑,数值太大，受运算精度影响，,我们在MATLAB程序中取,。,从第二项式要依次乘以,、,、,，所以最终,第69页,
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