设计模拟滤波器通常是给定幅度函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,设计模拟滤波器通常是给定幅度函数,标，由此得到物理可实现系统函数,技术指,1、模拟滤波器模平方函数,可由系统冲激响应表示为,3.8 模拟滤波器(AF)设计,模拟滤波器系统函数,模拟滤波器系统频响,第1页,是实函数时，频响为,第2页,对应,L,T,是,o,o,定义幅度平方函数：,关系：零、极点是象限对称。,与,零、极点,零、极点,第3页,不论设计何种模拟（高通、带通、带阻）滤波器，都,能够先设计得到模拟低通滤波器,换，得到所需要,，再经频率变,。通常把,低通滤波器（或模拟低通原型），所以我们只讨论模,拟低通滤波器设计方法,称为模拟原型,2、AF技术要求,讨论低通AF设计方法。,低通AF技术指标是由容限图给出。,第4页,确定模拟低通参数有：,，通带允许误差,阻带允许误差,阻带截止频率,通带截止频率,0,1,第5页,通带截止频率,通带允许最大衰减,普通,是由衰减表示。,由衰减表示普通容限图参数有,阻带截止频率,阻带允许最小衰减,30dB,3dB,0,第6页,式中,定义衰减函数,为AF输出功率；,为AF输入功率；,功率传输比,若用,表示，则,输入输出电压（或电流）变换。,第7页,例3-30 已知一模拟低通AF,试求通、阻带误差,（衰减越大，输出越靠近零）。,以上信号不能顺利经过，衰减大于30dB,超出,3dB,，能够是单调，也能够是波纹。,以下信号能够顺利经过，其衰减不,指标说明,阻带允许最小衰减,阻带下限频率：,通带允许最大衰减,通带截止频率：,第8页,通带,或,第9页,阻带,得到振幅函数改变范围：,第10页,当给定滤波器技术指标后，设计任务就是要找到,一个符合要求,或,。不过,不轻易用多项式或有理式表示，所以要找到一个能够用,多项式或有理式迫近函数。这个函数被称为特征函数，,用,表示。并将功率比表示为,3、滤波器对逼近方法,第11页,这么我们得到用,表示衰减函数为,为自变量多项式或有理式。,等于以,迫近方法是设,，或,是设法用某种方法迫近,，我们任务就,或,假如给定了所希望衰减,第12页惯用,函数有,这是巴特沃思迫近特征函数。,式中,这是切比雪夫迫近特征函数。,下面详细介绍由这两个,器与切比雪夫滤波器。,函数组成巴特沃思滤波,(3-106),(3-107),(1),(2),第13页,巴特沃思滤波器也称最平响应特征滤波器。(3-106)式,是其特征函数。,3.8.1 Butterworth滤波器设计,1、巴特沃思滤波器数学模型,模频特征为,其中：,N,是滤波器阶数。,第14页,Butterworth滤波器模频特征,1,0.707,第15页,Butterworth滤波器幅度平方函数图,1,0.5,第16页,时,(1),是滤波器半功率点或幅频特征,所以,（-3dB）点。,增加，通带边缘改变加紧，幅频特征越迫近理,伴随,为多少，幅频特征都经过,点。,想特征。但不论,第17页,都是平直，即为“最平响应”滤波器由来。,附近幅频特征,，而且在,时，,(3)模频改变是单调，相位特征很好。,要设计一个符合性能指标要求巴特沃思滤波器，可知,阻带内,越迫近理想特征，通带内,且,数 。,首先要确定参数有两个：-3dB截止频率 及系统阶,(2),第18页,2,确定,、,1,两个方程，两个未知数，,能够解出。,第19页,(3-115),为改进阻带指标,(3-116a),或为改进通带指标,(3-116b),第20页,所以,3、求,即,将,因为,思绪：由,第21页,极点,为奇数时，分母为,当,解出,实轴上有极点。,圆上，而且,为间隔，分布在半径为,极点是以,第22页,为偶数时，分母为,当,解出,圆上，实轴上没有极点。,极点是以,为间隔，起点在,分布在半径为,第23页,由右半平面极点组成。,由左半平面极点组成,其中：,为偶数时，实轴上没有极点。,有极点；当,对称虚轴，虚轴上无极点；当,为奇数时，实轴上,为半径，等间隔分布；,个极点，以,特点：,有,第24页,例,第25页,例,第26页,时，,极点。,点，做,依据因果稳定系统要求，我们选出左半平面,N,个极,所以,求,因为,令,由,第27页,可解出,则,(3-122),第28页,各滤波器幅频特征不一样，为使设计统一，能够作归一,化后,表示为,化处理。假如采取对-3dB截止频率,归一化，归一,(3-123a),或,(3-123b),第29页,为归一化极点，表示为,式中,(3-124),(3-125),，则(5)式 变为,令,、,第30页,归一化后巴特沃思滤波器普通也称归一化巴特沃思,原型低通滤波器。将(3-124)式分母多项式制成对应,表 3-3 巴特沃思多项式表,1,2,3,表格如表3-3所表示，这么多项式称巴特沃思多项式。,第31页,4,5,6,7,第32页,4、设计步骤,(1)由,，及(3-115)式确定滤波器阶数,入(3-124)式得归一化系统函数。,(4)去归一化，得到实际滤波器系统函数,(3)用（3-116）式确定2)由,查表3-3或由(3-125)式确定归一化极点,，代,第33页,，设计满足条件巴特沃思低通滤波器。,例3-31、已知通带截止频率,，通带最大衰减,，阻带截止频率,，阻带最小衰减,解,第34页,函数,为改进阻带指标,取,取正整数，所以,。查表得滤波器归一化系统,第35页,去归一化，得到,去归一化计算较繁，能够借助MATLAB完成去归一化,工作。本例去归一化MATLAB程序及结果以下,b=0 0 0 0 0 0 1;%分子系数；,a=1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1;,bt at=lp2lp(b,a,2.1096)%去归一化分子、母系数；,分母系数；,第36页,1.0000 8.1509 33.2183 85.8267 147.8352,答案,bt=88.1456,at 分母系数,161.4373 88.1456,分子系数,第37页,去归一化后,因为实际频率,数值太大，受运算精度,影响，我们在MATLAB程序中用取,。,所以最终分子系数要乘以,，分母多项式系数结果,所以最终正确结果为,从第二项式要依次乘以,，,第38页,分子,分母,第39页,阶数比巴特沃思滤波器要低。代价是相位特征比巴特,巴特沃思滤波器是惯用一个滤波器，从它幅频特征,可见，它通带误差低端小高端大。为了确保滤波器,通带高端性能指标，滤波器阶数就会较高。,切比雪夫滤波器采取等波纹迫近理想特征，使通带内误,差分布均匀。这么在相同指标情况下，切比雪夫滤波器,沃思滤波器差，且设计相对复杂。,3.8.2 Chebyshev滤波器,第40页,0,1,Chebyshev,滤波器,特点,较差。,缺点：通带内相位特征,数较低，结构简单。,优点：相同指标下，阶,通带内单调，阻带等波纹（型）。,通带内等波纹，阻带单调（型）；,第41页,，则,是滤波器阶数，,式中,是波纹系数。,是第一类切比雪夫多项式，定义为,1、数学模型（迫近函数）,令：,第42页,递推,1、,令：,第43页,递推公式：,第44页,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,01,1,-1,1,特征曲线如图3-63所表示。,第45页,特点：,、,、,、,(1),时，,第46页,(3-129)式说明不论,为多少，模频特征在,时经过,点，所以定义,截止频率。,为切比雪夫滤波器,时，,(2),第47页,(3),时，,(4),伴随,增加，,时,波动增加，通带,波纹增加；,时，,增加紧，阻带衰减亦加,快。切比雪夫滤波器模频特征如图3-64所表示。,第48页,图3.8-9 切比雪夫滤波器模频特征,N=3,N=4,1,0,第49页,这时,确定,2、,(1),由截止频率确定,(3),N,由阻带指标确定,所以,因为,由通带允许波纹确定,(2),第50页,第51页,其中,第52页,有左半平面极点作为,极点。,个极点（全部极点是分布在一个椭圆上），取出所,3、确定,因为,2,N,，解出,由,即,其中,满足椭圆方程：,第53页,则,式中,第54页,圆分割点上，纵坐标落在大圆分割点上。,当,横坐标落在小,为奇数时，实轴上有极点。,在虚轴上没有极点。当,为偶数时，实轴上无极点，,极点分布特点,极点在大小圆上按等角间隔分布，对虚轴对称，而且,第55页,S平面,例三阶Chebyshev滤波器极点位置如图3-65所表示,第56页,2,、求,得到系统函数普通表示为,取Chebyeshev椭圆左半圆上极点作为,极点，,第57页,由其模平方函数还可推得,式中,是,多项式，最高阶次系数为,，由上式可解出,这么，切比雪夫滤波器系统函数为,第58页,与巴特沃斯滤波器一样，为使设计统一，可将,对,做归一化处理。归一化后系统函数表示为,归一化后切比雪夫滤波器普通也称切比雪夫低通原型,滤波器。,第59页,分母多项式制成各种,对不一样,，可将,表3-4列出了通带衰减为1dB时，阶数,表格，,与分,母多项式系数关系。,表3-4 切比雪夫低通原型滤波器分母多项式,（通带波纹误差为1dB，,）,第60页,2 1.1025 1.0977,6 0.0689 0.3071 0.9393 1.1.9308 0.9283,1 1.9652,3 0.4913 1.2384 0.9883,4 0.2756 0.7426 1.4539 0.9368,5 0.1228 0.5805 0.9744 1.6888 0.9368,第61页,4、设计步骤,(1)由待求滤波器通带截止频率,确定,，即,(2)由通带衰减指标确定波纹系数,(3)由波纹系数,、截止频率,及阻带衰减指标,、,确定系统阶数,。,第62页,查表3-4得归一化系统函数,(4)由,第63页,(5)去归一化，得到实际滤波器系统函数,，设计满足条件切比雪夫低,阻带最小衰减,例3-32指标同例3-31。,通带截止频率,，,通带最大衰减,，阻带截止频率,，,通滤波器。,第64页,解,第65页,查表3-4得到归一化系统函数,与巴特沃思滤波器指标相同，但阶数低。,去归一化，得到,第66页,能够借助MATLAB完成去归一化工作。去归一化,MATLAB程序及结果以下,式中,bt at=lp2lp(b,a,1.88495),b=0 0 0 0.4913;,a=1 0.9883 1.2384 0.4913;,第67页,1.0000 1.8629 4.4001 3.2904,at 分母系数,与巴特沃思去归一化相同，因为,bt=,3.2904,分子系数,第68页,所以最终分子系数要乘以,，分母多项式系数结果,正确结果为,考虑,数值太大，受运算精度影响，,我们在MATLAB程序中取,。,从第二项式要依次乘以,、,、,，所以最终,第69页,