第三章一元一次方程学案.doc

第三章 一元一次方程
《3.1.1 一元一次方程》导学案NO:34
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1. 初步学习如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；
2．在对实际问题情景的分析过程中感受方程模型的意义。
二、自主学习
1、请同学们阅读P79 至P80第4段，然后用算术方法解此问题，列算式为 ； 然后用设未知数列方程的数学思想来解决此问题，设王家庄到翠湖的路程为千米，可列方程为：
像上面含有未知数的等式，叫 （读三遍）。
2、自学P80例1至P81归纳部分，根据下列问题，设未知数并列出方程．　　
（1）用一根长20cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？　　
分析：设正方形的边长为（cm），那么周长为 （cm），列方程： ．　　
（2）某校女生占全体学生数的61℅，比男生多61个，这个学校有学生多少个？
分析:设这个学校有学生个人，则女生数为 ，男生数为 ，列方程是 ；
（3）一台计算机已使用1200小时，预计每月再使用123小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2612小时？(自主分析并列出方程)
像上面（1）、（2）、（3）所列的方程，只含有一个 数，并且未知数的次数都是 ，这样的方程叫做 元 次方程（读三遍）。
注意：“ 一元”是指一个未知数；“一次”是指未知数的指数是一次（理解）。
上面的分析过程归纳如下：
（1）分析实际问题中的 关系，利用 关系列出方程（一元一次方程），是用数学解决实际问题的一种方法。
（2）列方程经历的几个步骤
A、设 数；B、找出题中的 关系； C、列出含有未知数的等式——（ ）。
3、阅读P81，理解列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以求出未知数。
当=6时，4值是24。这时，方程4=24等号左右两边相等，所以=6，叫做方程4=24 的解；同样，当x=10时，2x+3=23,这时方程2x+3=23等号两边 相等，所以，x=10叫做方程2x+3=23的 ；像这样，解方程就是求出使方程中等号左右两边 的未知数的值，这个值就是方程的 （读三遍）。
思考：x=4与x=3中，哪一个是方程7x+1=15的解？答： 。
4、自学检测
（1）判断下列式子 （填序号）是方程：
① 5=0； ②24÷6=4； ③=+3； ④=0； ⑤+9＜0； ⑥；
（2）方程①；② ；③；④；⑤；中是一元一次方程的是 ；（注：分母中含有未知数的方程，不是一元一次方程）
（3）快速完成P82练习
三、合作探究
1、根据题意列方程：（设某数为x）
①某数的5倍是30；其列方程为
②某数减去6,其差是25；其列方程为
③某数的6倍比该数的2倍大12；其列方程为
④某数的一半加上4，比该数的5倍小13；其列方程为
2、若是一元一次方程，则m=
3、关于x的方程的解是x=2，则a=
4、下列方程是一元一次方程的是（ ）
A、x+x=0 B、x+y=0 C、 D、4x-6=0
四、达标检测
1、下列方程中，解为x=3的是（ ）
A、 B、5x+6=10 C、 D、
2、设未知数，列出方程。
（1）甲、乙两车分别从相距360千米的两城同时出发，相向而行，刚好4小时相遇，已知甲的速度比乙车的速度快10千米/小时，求乙车的速度。

（2）一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm，求上底。

五、拓展提高
若是关于x的一元一次方程，（1）求m的值；（2）请写出这个方程；（3）判断x=1 、x=2.5 、x=3是否是方程的解。

《3.1.2 等式的性质》导学案NO:35
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1．探索等式基本性质，会利用等式的性质把简单的方程转化为“x=a”的形式；
2．培养学生观察、分析、概括及逻辑思维的能力。
二、自主学习
1、默看P82至P83第二段，观察下面的这些不等式，并填空。
1+3=4； 2x+3x=5x
1+3+2011=4+ ； 2x+3x+6m=5x+ ；
1+3- =4-2010 ； 2x+3x- =5x-；
=4； ；相互交流一下答案。
由此你发现等式的什么性质？
等式性质1 （朗读三遍）
用式子表示： （默写三遍）
等式性质2 （朗读三遍）
用式子表示： （默写三遍）
你能用等式的性质解决下面的问题吗？
（1）从x=y能得到x+5=y+5吗？理由是：
（2）从x=y能得到x-5=y-5吗？理由是：
（3）若3x-2=7，那么3x=7+ , 你是根据等式性质 得到的.
（4）若-6x=18，那么x= ， 你是根据等式性质 得到的.
2、自学P83例1至P84第七行，尝试运用等式的性质解一元一次方程。
思路点击：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x= ？”，因此我们需要把方程转化为“x=a（a为常数）”的形式。
（1）x+2=5
解：方程的两边同时 ，得
于是，x= ； 反思：这道题你应用了等式性质 来解决。
（2）-3x=15
解：方程的两边同时 ，得
于是，x= 。 反思：这道题你应用了 来解决。
（3）3-x=9
解：方程的两边同时减去 ，得
化简，得 ；方程的两边同时乘以 ，得x=
反思：这道题你引用了等式性质 与 来解决。
3、自学检测：快速完成P84练习
三、合作探究
1、（1）若3+5=8, 则3=8-5，根据是
（2）-4x=12， 则 x=-3，根据是
2、将等式3a-2b=2a-2b变形，过程如下：
因为3a-2b=2a-2b，
所以 3a=2a （第一步）
所以 3=2 (第二步) 上述过程中，第一步的依据是
第二步得出错误的结论，其原因是
3、由等式能得到x=1，则必须满足的条件是 ；理由是
4、下列变形中，错误的是（ ）
A、若2x+6=0，则2x=-6 B、若=1-x ，则x+3=2-2x
C、若ax=b，则x= D、若=4, 则x=16
5、下列方程中，解是2的方程是（ ）
A、3x-2=2x B、4x-1=2x+3 C、3x+1=2x-1 D、5x-3=6x-2
6、列方程：（1）某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班有多少人？
解:设这个班共有x个人，则女生有 ，列方程
（2）植一批树，若每人种10棵，则剩6棵树苗未种；若每人种12棵，则缺6棵树苗，问有多少人种树苗？
四、达标检测
1、若a=b,则下列等式成立的是
（1）a+1=b (2) a+2=b-2 （3）a+3=b+5 (4) =
2、用等式的性质求x的值
（1）x+12=19 (2)x+3= (3)2-x= （4）x+3=6-2x

五、拓展提高
已知关于x的方程3-x=+3的解是2，求的值。

《3.2解一元一次方程（1）合并同类项、移项》
导学案NO：36
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1．学会用移项的方法解方程；
2．学会合并同类项，会解“”类型的方程。
二、自主学习
1、请同学们看书P88至P89第八行，然后完成书上的填空，同时初步学习解决此问题的方法。对于方程x+2x+4x=140, 如何解此方程呢?主要是把等式左边含x的项进行合并，合并后为 ，然后利用 的性质求出x的值。你学会了吗？请看例题
例1、解方程6x-2x+3x-9x=2×(-3)×4
解：合并同类项，得-2x= （合并同类项的法则）
把x的系数化成1，得x= （等式的性质 ）
练习（解方程）
（1）5x-2x=12 (2)=7 (3)7x-4.5x=2.5×3-5

2、请同学们看课本上P89问题2至P91第七行，然后完成书上的填空，学会解决此问题的方法。
对于方程 ：3x+20=4x-25，如何解此方程呢?
分析：为了使方程的右边没有含x的项，等号两边同时减去4x；为了使方程左边没有常数项，等号两边同减20。利用等式性质1，于是得3x-4x=-25-20，
对比上边两个方程，相当于把原方程左边的20变为 移到右边，把右边4x变为 移到左边，像这样，把等式一边的某项 后移到另一边，叫做移项（默记三遍）。
注意：移项必须改变符号，如3x-1=9x+5 把“9x”移到等号的左边就变为“-9x”，把“-1”移到等号的右边就变为“1”了，即“3x-9x=5+1 ”。
例2、解方程7x-3=2x+6
解：移项得7x 2x=6 3 （填“符号”，注意：移项必须改变该项的符号）
合并同类项得 =9
把x的系数化成1得x=
解此方程的步骤是：移项（ 即把含未知数的项移到等式的 边，不含未知数的项移到等式的 边）、 合并 项、未知数的系数化为 ，最终把方程变为“x= ”的形式，注意：移项必须改变符号。
练习（解方程）
（1）9x-7=4x-5 （2）9-3y=5y+5 （3）3x+5=4x+1
三、合作探究
1、方程3x=5+2x，移项得3x =5, 合并得x=
2、当x= ，代数式3x+3与 5x-2的值相等。
3、若-2x+1=7,则x= ；若5x-2=3x-3，则x=
4、解方程2x-4=3x+5, 移项正确的是（ ）
A、2x+3x=5-4 B、2x+3x=5+4 C、2x-3x=5-4 D、2x-3x=5+4
5、解方程
（1）5x+3x+6x=45-3 (2)x+x=3 (3)x-7=5+x

6、用一根长60m的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，问长与宽各是多少？
解：设宽是m, 则长为1.5m, 由题意列方程 (1.5+)×2=60,
合并同类项得2.5x=
的系数化为1,得=
∴矩形的长为 ，宽为 ，答： 。
点拨：列方程的关键是：找出题中的相等关系。本题的相等关系是：矩形的周长=（长+宽）×2 。
四、达标检测
1．解方程： （1） -3x+12x-10x=(89-77)÷(-6) （2）x-6=x

2．某乡改良玉米为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高20﹪，今年人均收入比去年的1.5倍少1200元，问这个乡去年人均收入是多少元？

五、拓展提高
小明用红笔在一张日历上画了一个正方形，正方形里面有四个日期，这四个日期之和为76，你能推算出这四个日期吗？(注意日历的格式)

《3.2解一元一次方程（2）合并同类项、移项》
导学案NO：37
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1．巩固用合并同类项和移项的方法解方程；
2．通过具体问题的数量关系，形成方程模型，解决一些实际问题。
二、自主学习
1、请同学们自学或组内共学P91至P93归纳部分，组内可讨论3分钟，讨论这两个例题中的数量与等量关系（注意分析问题能力的培养），完成以下填空：
（1）分析例3：通过观察这一列数的规律是___________________，如果设一个娄为x，那么它后面与相邻的数是______________。根据这三个相邻数之和为-1701，得方程_____________________，请同学们用合并同类项解此方程得x=_______。
(注意思考：如果设这三个数中间的数为x，则得方程为_____________________)。
（2）分析例4：方式一计费=______________，方式二计费=______________；则通话200分钟的方式一计费为_______元，方式二计费为_______元；通话350分钟的方式一计费为_______元，方式二计费为_______元。如果某通话时间两种收费方式收费相等时，设累计通话x分钟，根据等量关系得方程_____________________，用移项的方法解此方程得x=_______。
2、例：把一些图书分给某班同学阅读，如每人分3本，则剩余20本；如每人分3本，则还缺25本，问这个班有多少学生？
分析：本问题中相等关系是_____________________，这批书的总数可用_______或_______来表示，它们是_______关系。设这个班有x名学生，如果每人分3本，这批书共有______本；每人分4本，这批书共______本，根据关系可得方程______________，解得方程得x=_______。
3、教师引导学生对归纳部分进行思考、阅读（各自理解一分钟），并初步形成对实际问题的方程建模。
4、自学检测
（1）、解方程:4x-20-x=6x-5+x

（2）、某人承包了一项零件加工任务，限期完成，若他每天生产13个，则到期还差20个零件；若每天生产16个，则到期还能多做16个零件，那么生产期限是多少天？承包加工的零件是多少个？

三、合作探究
1、关于y的方程5y-3=4y与ay-12=0的解相同，则y=_______。
2、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和是10，设个位上的数字是x，则这个两位数是
3、已知甲有图书80本，乙有图书48本，要使甲、乙两人的图书一样多，应从甲调给乙多少本图书？若设应调x本，则所列方程正确的是 （ ）
A.80+x=48-x B.80-x=48 C.48+x=80 D.48+x=80-x
(如解此题不用列方程，又如何分析与解答)
4、用一根长100m的绳子围成一个矩形，使它的长与宽之比为3：2，则此矩形的长和宽各是多少？

四、达标检测
1、完成课本P93第1题及第3题

2、某商场对超过25000元的物品提供分期付款服务，顾客可先付5000元，以后每月付2000元。李老师想用分期付款的方式购买一台价格为29000元的电视机，他需要用多长时间才能付清全部货款？

五、拓展提高
在有理数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=-b,试求（x*3）*2=1的解

《3.3解一元一次方程（3）去括号》导学案NO：38
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1．学会用去括号的方法解方程；
2．培养学生分析问题，解决问题的能力。
二、自主学习
1、请同学们自学P96至P97的问题，进行探索分析，其解决步骤如下：
（1）设未知数，上半年每月平均用电x度；
（2）找出相等关系： 上半年用电数+下半年用电数=全年用电数；
（3）根据相等关系列方程6x+(6x-2000)=150000；
（4）解方程，怎样使方程向x=a的形式转化？就是利用“分配律”先去括号，然后移项，合并同类项，把未知数的系数化为1；
（5）写出答案。
以上是列方程解应用题的常用步骤。
2、自学P97例1，并完成如下填空：
(1)解方程：3x+5(138-x)=540
解: 去括号得 3x+690- =540 （利用“ 律”）
移项得 3x-5x=540 （移项必须改变该项的 ）
合并同类项得-2x= （合并 的法则）
系数化为1，得x= . （利用 的性质）
(2)解方程6x+3(2x-4)=2-8(1+x）
解：去括号得6x+6x-12 =2 8 8x （填符号）
移项，得 6x+6x 8x=2 8 12 (移项必须改变该项的符号)
合并同类项得 =
系数化成1 ，得x=
1、 自学检测：
解方程 （1） 4x+3(2x-3)=12-（x+4） (2) 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)

三、合作探究
1．将方程7(2x-1）-3(4x-1)=11去括号正确的是（ ）
A、14x-7-12x+1=11 B、14x-7-12x-3=11
C、14x-7-12x+3=11 D、14x-1-12x+3=11
2.方程3(x+1)=5(2x-1)的解是 （ ）
A、 B、- C、 D 、-
3．x+2与x-7互为相反数，则x=
4. 3(y+3)与2(y-1)的差是4，则y=
5．解方程
（1） 2(x+8)=3(x-1) （2） 8x=-2(x+4)

6．甲、乙两人登山，甲每分钟登高10米，且比乙先出发30分钟，乙每分钟登高15米，结果两人同时登上山顶，甲用多少时间登山，这座山有多高？

四、达标检测
1．(1) 4(x+5)+x=17 （2） 6(x-4)+2x=7-(x-1)

2．一架飞机在两城之间飞行，若风速是24千米/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的飞行速度和两城之间的航程。

五、能力提升
已知x=是方程5a-3x=-14x的解
①求a 的值；②求关于y的方程ay+2=a(1-2y)的解。

《3.3解一元一次方程（4）去分母》导学案NO：39
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1．学会用去分母的方法解方程；
2．通过去分母解一元一次方程，让学生了解数学中的“等价转化”的数学思想；
二、自主学习
1、请同学们看书P99至P101第六行，通过自学，掌握解有分数系数的一元一次方程的一般步骤、依据、注意事项，具体内容见下表：
一 般 步 骤
依 据
注 意 事 项
A．去分母
（方程的两边同时乘以各个分母的最小公倍数）
等式的性质2
1．不要漏乘不含分母的项
2．若分子是含未知数的多项式，其作为一个整体应加上括号
B.去括号
分配律、去括号的法则
1．不要漏乘括号里的项
2．不要搞错符号
C．移项
移项法则
移项要变号
D．合并同类项
合并同类项的法则
1．系数相加
2．字母部分不变
E．系数化为1
等式的性质2
不要分子与分母搞颠倒
请同学们认真阅读、理解，有什么疑难请教老师。
2、例题：解方程—=1
解：去分母，得 2(x+3）-3(x+1)=6 （等式的性质 ）
去括号得2x+6-3x-3=6 （ 法则）
移项得2x-3x=6-6+3 （ 移项法则，即移项必须改变该项的 ）
合并同类项得-x=3 （ 法则）
系数化成1得x= （等式的性质 ）
3、自学检测：解方程（1）= （2）=1

三、合作探究
1．解方程-=1，去分母后得
2．若2(a-6）与的值互为相反数，则a=
3．当x= 时，式子= -1
4．解方程-= -4 ，去分母后得到的方程是( )
A、2(2x-1)-(1+3x) = -4 B、2(2x-1)-(1+3x)= -16
C、2(2x-1)-1+3x= -16 D 、2(2x-1)-= -4
5．解方程（1）= （2）-1=

四、达标检测
1．下列方程的解法中，正确的有（ ）个。
(1) y-=1,去分母得3y-2y-4=1
(2) 2-3(x+1)=4(x+3), 去括号得2—3x+3=4x+12 ，所以x=-1
(3)-=1,去分母，得3x-4x=1,所以x= -1
(4)-16x= -8两边都乘以，得x=2
A、0 B、1 C、2 D、3
2．解方程（1） +=2- （2）

五、拓展提高
m为何值时，方程2x+m=x-1的解满足2x+3=7?

《3.3解一元一次方程（5）去括号去分母》
导学案NO：40
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1．巩固用去分母与去括号的方法解方程；
2．通过具体问题的数量关系，形成方程模型，解决一些实际问题。
二、自主学习
1、请同学们自学P97至P98倒数第二段，讨论这两个例题中的数量与等量关系（注意分析问题能力的培养），完成以下填空：
（1）分析例2：顺流速度=_______+_______，逆流速度=_______-_______；
问题中的等量关系是：顺流速度____顺流时间____逆流速度____逆流时间；设船在静水中的平均速度为x千米/时，则根据关系列方程_____________________，用去括号、移项、合并同类项解得x=_______。
（2）分析例3：问题中的螺钉与螺母的配套关系是_____________________，则它们的数量关系是_______；设有x名工人生产螺钉，则列方程 ，解得x= 。
2、请同学们组内讨论学习P101例5，完成课本上的填空，注意课本的解题步骤与格式（记忆工作量计算常用的数量关系式：工作量=人均效率×人数×时间）。
3、自学检测
（1）解方程 ① 4x+3(2x-3)=12-(x+4) ② -1=-

(2) 小明在做作业时，不小心将墨水滴到了作业本上，有一道方程题被盖住了一个常数，这个方程是2x-=x-□，怎么办？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是x=- ，他很快补好这个常数项。小明补的这个数是 （ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
(3) 某车间18名工人生产螺钉与螺母，每人每天平均生产螺钉500个或者螺母1000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

三、合作探究
1、方程2(m+x)=5x-6的解是x=1，则m等于 （ ）
A．- B. C.- D.
2、设M=2x-1，N=2x+2且3M-N=1，则x的值是
3、解方程 ① x-=- ②2［x-(x-)］=x

4、已知船在静水中的速度是24千米/小时，水流的速度是2千米/小时，该船在甲、乙两地间行驶一个来回共用24小时，求甲到乙及从乙到甲航行各用了多少时间？甲乙两地的距离是多少？

5、整理一批数据，由一个人做需80小时完成。现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的。怎样安排参与整理数据的具体人数？

四、达标检测
1、完成课本P102第2、3题
2、某中学的学生整理操场，若让初一的学生单独工作，需要10小时完成；若让初二的学生单独完成，需要15小时完成。如果让初一与初二的学生一起工作5小时，再由初二的学生单独完成剩余的部分，还需几小时完成？

五、拓展提高
解方程：-=

《3.4实际问题与一元一次方程（1）》导学案NO:41
班级_______姓名_______小组_______小组评价_______教师评价_____
一、学习目标
1．会根据实际问题中的数量关系列方程，熟练地掌握一元一次方程的解法；
2．培养学生分析问题，解决问题的能力；
二、自主学习
（一）、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
(1) 审： 审题，分析问题中已知是什么，求什么，明确各个数量间的关系；
(2) 找：找等量关系；
(3) 设:设未知数（一般要求什么，就设什么为x）；
(4) 列：根据这个相等关系列出方程；
(5) 解：解出这个方程；
(6) 检：检验所求的解是否符合题意；
(7) 答：写出答案。
（二）、例题讲解
1．数字交换问题
解决本问题的关键是数字占的位置不同，代表的数值也不同，分析时要画出数位图，排列出原数与新数的代数式。
例1、一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原来少36，求新的两位数。
2.工程问题
解这类问题的关键是灵活运用两个公式：
①工作效率=； ②各个工作分量之和=工作总量。
(没有具体的工作量时常常把工作总量看做单位“1”。)
例2、整理一批图书，由一个人做要40小时，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，问先安排多少人做了4小时？
3.行程问题
灵活运用公式V=，有以下几种情况：
①相遇问题：S+S=S ； ②追击问题：S=S+S ；
③航空问题：V= V+ V； V=V-V ；
④行船问题：V=V+ V；V=V- V。
例3、甲、乙两站相距450千米，一列快车从甲站开出，每小时行85千米，一列慢车从乙站开出，每小时行65千米。
（1）两车同时相向而行过多少小时相遇？
（2）若两车同向而行，慢车开出2小时后，快车经过多少小时可追上慢车？

三、合作探究
1．已知关于x的方程3x-2(m+3)=4(m-1)+x的解是7，则m=
2．姐妹两人今年分别是15岁与19岁，若x年前姐姐年龄是妹妹年龄的2倍，则所列方程是
3．已知=-1的解与关于x 的方程解相同，则m=
4．解方程（1）2(2x+1）-10x-1=6 (2)-=1-

5．甲、乙两人骑车从相距82千米的A 、B两地相向而行，甲每小时行16千米，乙比甲每小时快4千米，甲比乙晚半小时出发，问乙出发后几小时两车相遇？

四、达标检测
1．若比小1，则的值是
2．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少1，十位上的数字与个位上的数字的和是这个数的，求这个两位数。

五、拓展提高
已知甲跑5步的时间，乙跑6步；乙跑4步的距离，甲要跑7步。现在甲先跑出55米，乙开始追甲。问甲再跑多少米，乙可以追上甲？