学而思讲义3.doc

一元二次方程的
判别式及根系关系
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习题1．
【解析】 ⑴由题意可知，原方程的判别式．
又，故．
⑵题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和
两种情形讨论．
当即时，，方程为一元一次方程，总有实根；当即时，方程有根的条件是：
，解得．
∴当且时，方程有实根．
综上所述：当时，方程有实根．
习题2．
【解析】 由题意知．
当时，，得，．符合题意．
当时，原方程化为，．
在第一个方程中，因为它的判别式，所以第一个方程有两个不同的实根．因此由题意知，第二个方程要么无实数解，要么它的解与第一个方程的解相同．
显然若两个方程有相同的解，则只有，而，所以，第二个方程无实数解，知，即．所以的取值范围是或．

习题3．
【解析】 设为方程的两个根，由韦达定理得：
所求方程的两个根为，．
∵，

∴所求方程为：．
习题4．
【解析】 由韦达定理，有，，，．
于是，
又由为方程的根，于是，
即；
同理
；
于是．
【教师备案】直接计算亦可．
习题5．
【解析】 有两种情况：
⑴若，则；
⑵若，根据题意，、是方程，即的根，
则．
习题6．
【解析】解法1：设方程的两根为，由韦达定理可知，，，则有
由可知，，，则有，，
故，
由题意可知，时，，时，

又，为整数，故，
又原方程有两个实数根，故
故，．
当时，，此时满足；
当时，，但此时由知，，矛盾；
当时，，又，故，矛盾；
当时，，又，故，矛盾．
综上，，．
另外，也可由建立不等式，
!
点评：这个隐含的结论非常重要，如果没有考虑到这一点，将会多出很多解．
解法2：设，则有
或
由韦达定理可知，，故，故，．
这个解题的技巧，能够避免复杂的讨论和多余的解，是一种非常好的方法！

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