例1某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.doc

例1某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

解 ：（1）当销售单价为每千克55元时，月销售量为：（千克），所以月销售利润为：（元）.
（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为千克，而每千克的销售利润是：元，所以月销售利润为：

∴y与x的函数解析式为
.
（3）要使月销售利润达到8000元，即，则有
，
即，
解得
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：（千克），
月销售成本为：（元）；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：（千克）
月销售成本为：（元）；
由于，而月销售成本不能超过10000元，
所以销售单价应定为每千克80元.
说明：本题是一道用二次函数知识解决的应用题．这样的问题是中考的热点，一般题目较长，所以要仔细审题，弄清题目中的数量关系，根据需要列出方程或函数关系式
数学思想之分类讨论
分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．

一、代数
（一）数、式
1、若x的相反数为3，＝5，则x＋y的值为（ ）．（D）
（A）－8 （B）2 （C）8或－2 （D）－8或2
2、若（C）
A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1
3、已知│x│=4，│y│=，且xy<0，则=_______．（－8）
4、已知_______．（±1）
5、若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则的值是______．（0或－2）
6、已知的值为（ ）（B）

7、化简．（10－2x或8或2x－10）
8、已知：数3、6、x，三个数中的一个数是另两个数的比例中项，求x．（，12，±）

（二）函数、方程
1、在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（ ）（A）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
2、一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则kb值为（ ）（D）
A．14 B．－6 C．－4或21 D．－6或14
3、已知关于x的方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．（m≥－）

二、几何
（一）锐角与钝角
1、已知：△ABC中，∠A=40°，AB、AC边上的高所在直线相交于H，求∠BHC．(140°或40°)
2、等腰三角形面积是2，腰长是，求底角的正切值．（2或）
3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与直线AC相交所得的锐角为50°，则底角∠B的大小为__________．（20°或70°）
4、△ABC中，AB＝AC＝2，BD为AC边上的高，BD＝，∠ACB的度数是__ _____．（300或600）
5、△ABC中，AB=AC，CH是AB上高，CH=AB，BC=，求（1）tgB；（2）若正方形DEFG内接于△ABC，使D在AB上，G在AC上，E、F在BC上，求正方形边长．（tgB=3或tgB=；或）
6、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=15，AD=8，CD=13，sinB=，求BC．（22或12）

（二）等腰三角形
1、等腰三角形的两条边分别为5cm，6cm，则周长为 cm．（16或17）
2、等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）（A）
A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．不确定
3、若等腰三角形的一个内角为50°，则其他两个内角为（ ） （D）
A．50°，80° B．65°， 65°
C．50°，65° D．50°，80°或 65°，65°
4、等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．（70°或40°）
5、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．（6，8或9，5）
6、已知：在平面直角坐标系中有两点A（－1，1），B（3，2），在x轴上找出点C，使△ABC为等腰三角形．（（3，0）（－5，0）（±+3，0）（，0））
7、直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于B，求（1）∠BAO的余弦值；（2）是否存在点C，使△ABC是底角为30°的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点C坐标；若不存在，请说明理由．（（1）cos∠BAO=；（2）（－，0）或（0，3））
8、在等腰三角形中，如果有两条中线的长分别为3厘米和3厘米，那么这个等腰三角形的周长为 厘米．（8+2或2+4）
9、为了美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边．（①当10为底边时，另两边为，；②当10为腰且三角形为锐角三角形时，另两边为10，2；③当10为腰且三角形为钝角三角形时，另两边为10，6）
10、在△ABC中，正方形DEFG的顶点D、E在BC边上，顶点F、G分别在AC、AB边上，如果△ABC是等腰三角形，且腰长为10cm，底边长为12cm，求正方形DEFG的边长．（或）

（三）直角三角形
1、已知Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．（5或）
2、已知直角三角形的两边长分别为和，则斜边上的高为________．（或）
3、Rt△ABC中，sinA=，c=10，求b．（6或）

（四）相似
1、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已有三角形框架甲，它的三边长分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）（C）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2、两个相似三角形的对应中线的比为2∶3，其中一个三角形的周长是20cm，则另一个三角形的周长为 cm．（30或）
3、在△ABC中，AB＝8厘米，AC＝6厘米，点D、E分别在边AB、AC边上，且以点A、D、E为顶点的三角形和以点A、B、C为顶点的三角形相似．如果AD＝2厘米，那么AE＝ 厘米．（或）
4、RtΔABC中，∠C=90º ，BC=8，AC=6，则其内接正方形的边长为 ．（或）
5、已知等腰梯形ABCD，AB∥CD，AD=BC=10，DC=13，tgA=0．75，E是AB上一点，如果△AED相似△BCE，求BE的长．（，25或4）
6、Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以C为圆心，BC为半径作圆交AB于D，如果点E在CB的延长线上，且△ABE与△ACD相似，求BE．（或6）
7、已知二次函数y=x2+x+的图像与x轴、y轴交于点A、B，一次函数y=－x+b图像经过B点，并与x轴交于点C，若D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图像经过B、D两点的一次函数解析式．（y=－x+或y=4x+）

（五）圆
1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________．（1cm或7cm）
2、已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________．（2cm或4cm）
3、若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（ ）（C）
A．2 B．8 C．2或8 D．1或4
4、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．（1或5）
5、若半径为1cm和2cm的两圆相外切，那么与这两个圆相切、且半径为3cm的圆的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 （A）
6、⊙O1与⊙O2相交于AB，且AB=24，两圆的半径分别为r1=15，r2=13，求两圆的圆心距．（14或4）
7、已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．（105°或15°）
8、已知O是△ABC的外心，∠A为最大角，∠BOC的度数为y°，∠BAC的度数为x°，求y与x的函数关系式．（y=2x（0<x<90）或y=360°－2x（90<x<180））
9、已知半径为3，5的两圆的两条公切线相互垂直，求圆心距．（8或2）
10、已知半径为2和的两圆相交于点A、B，且AB=2，求A、B与两圆心组成的四边形面积．（2±）
11、已知⊙O的直径AB=6cm，P为⊙O外一点，PA、PC切⊙O于A、C，C为弧AB的三等分点，求PC．（或3）

（六）位置
1、点A在x轴上，且点A到原点的距离为4，则点A的坐标为 ．（（4，0）或（－4，0））
2、线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC= ．（10cm或4cm）
3、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC= ，则AB的长为 ．（3+或4+2）
4、平面上A、B两点到直线k距离分别是2－与2＋，则线段中点C到直线k的距离是 ．（2或）
5、已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为 cm．（1cm或5cm）
6、已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．（或）
7、抛物线y＝ax2＋c与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．（y＝2x2＋3或y＝8x2－3）

8、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正弦值是，设梯形面积为y，梯形中较短的底边长为x，求y与x的函数关系．（y=－x2+x+4（0<x<6）或y=－x2+x+4（0<x<6））

9、已知，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB∶CD=6∶5，∠C、∠D的平分线都与AB交于N，M两点，且N，M把AB三等分，若梯形周长为76，求梯形中位线的
A
B
D
C
（第24题图）

长．（22或）

10、如图，路灯A的高度为7米，在距离
路灯正下方B点20米处有一墙壁CD，CD⊥BD，
如果身高为1.6米的学生EF站立在线段BD上
（EF⊥BD，垂足为F，EF<CD），他的影子的
总长度为3米, 求该学生到路灯正下方B点的
距离BF的长.（10.125米或18米）

11、设方程的两根为x1、x2，且x1<x2，（1）求出x1、x2的值；（2）若A（x1，0），B（x2，0），C（0，x2），D（－x1，x2+1），点O为坐标原点，在△AOC、△BOC、△CDB、△ACB中是否有相似三角形．如果有，指出哪几对并证明；（3）若E是y轴上点，且满足它与A、B、C三点组成的四边形面积，恰好等于四边形ABDC的面积，求点E的坐标．（（1）x1=－1，x2=3；（2）△AOC∽△DCB；（3）（0，）或（0，））
12、已知直线y=－x+，与x轴相交于点A，并经过B点，已知OB=2，（1）求A、B的坐标；（2）若点E在线段OA上，点F在线段EA上，EF=2，分别过E、F作OA垂线EM、FN，点M、N在△OAB的边上，设OE=x，那么x为何值时，在△OAB内且夹在直线EM与FN之间的面积为△OAB面积的一半．（（1）A（4，0），B（1，）；（2）（舍））
三、综合题（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参考）
（一）等腰三角形
1、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个
动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持
不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x, GP=y求y关于x的函数解析式,并写出函数定义城；
（3）如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH长.
（答案：（1）GH=2；（2）y=（0<x<6）；（3）或2）

2、已知，在中，.
（1）求的长（如图a）；
（2）、分别是、上的点，且，连结并延长，交的延长线于点，设（如图b）.
①求关于的函数解析式，并写出的定义域；
②当为何值时，是等腰三角形？

27.（1）BC=4
（2）①
②若，，，矛盾∴不存在. …1分
若，则,，矛盾
∴不存在.………………………………………………… 1分
若，过点作,垂足为点.
………………………………………………………1分
………………………………………………1分
整理得，又，解得（舍）……1分
∴当时，是等腰三角形. …………………………………1分

3、如图5，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E．
（1） 求证：△AOB∽△BDC；
图5
（2） 设大圆的半径为，CD的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域．
（3） △BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．
25．解：（1）略；（2）函数解析式为，定义域为．
（3）当EB=EC时，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，∴EBEC．
当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．………………………………（1分）
当BC=BE时，∠BEC=∠ECB=∠OBC，则△BCE∽△OCB．………………（1分）
则设OC = x,则CE=,,(负值舍去).
∴OC=.…………………………………………………………………（1分）
综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或．

（二）直角三角形
A
B
P
C
M
1、如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B．
（1）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出
函数的定义域．
（2）当△PCM为直角三角形时, 求点P、B之间的距离．
（答案：（1）y=（0<x<8）；（2）或4）

2、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，AD＝6，BC＝12，点E在
AD边上，且AE：ED＝1：2，连接CE，点P是AB边上的一个动点，（P不与A，B重合）
过点P作PQ∥CE，交BC于Q，设BP＝x，CQ＝y，
（1）求CosB的值；
（2）求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）连接EQ，试探索△EQC有无可能是直角三角形，若可能，试求出x的值，若不能，请简要说明理由。
A E D
P

B Q C

25．解：（1）过点A作AH⊥BC，则BH=3，从而cosB=。…………（3分）
（2）过点E作EF∥AB，则BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10，
又BP=x，BQ=12-y,
不难得△BPQ∽△FEC，∴，即，…………（6分）
∴， …………（8分）
（3）显然 ∠ECQ≠90°，且tg∠ECQ=，CE=，cos∠ECQ=，…（9分）
若∠EQC=90°，则 CQ=7，即y=7, 从而 x=；…………（11分）
若∠QEC=90°，则 cos∠ECQ==，即，
y=， 从而 x=；…………（（13分）
综上，x=或x= …………（14分）

D
A
O

B
图4
（三）相似
1、如图4：一次函数y=－x+m的图象与二次函数y=ax2+bx－4的
图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（－2，0）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设二次函数y=ax2+bx－4的对称轴为直线x=n（n<0），n是
方程2x2－3x－2=0的一个根，求二次函数的解析式；
（3）在（2）条件下，设二次函数交轴于点D，在轴上有一
点C，使以点A、B、C组成的三角形与ADB相似.试求出C点的
坐标.
（答案：（1）y=－x－2；（2）y=2x2+2x－4；
（3）若点C在点A的右边，由（1）得：OA=OB，∠CAB=45
而没有一个角等于45，所以这种情况不存在；1，
若点C在点A的左边，
由（1）（2）可知：点B、D的坐标分别为、 1，
∴AB= BD=2　 OA=2　∠ABD=∠CAB=135
∴1）当时， ∴OC=4 点C的坐标为 1，
2）当时， ∴OC=6 点C的坐标为 1，
∴点C的坐标为或.）

2、抛物线y＝x2＋x＋6与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝kx＋b经过点A、C．点D（0，m）（其中m≤6）在y轴上，经过点B、D的直线与直线y＝kx＋b交于点M，
（1）求k和b的值；
（2）如果以点M、C、D为顶点的三角形与以点M、A、B为顶点的三角形相似，求点D、M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求△MCD与△MAB的面积比．
D
M
B
O
x
y
A
C
27、解：（1）k＝，b＝6．
（2）由上面的条件可以知道OA＝8，OB＝3，OC＝6 ．
当m≤0时，即点D（0，m）在y轴的负半轴上时，
设有△MCD∽△MBA， ∴∠MDC＝∠MAB，
∴Rt△OAC∽Rt△ODB．∴＝，
∴＝＝，∴OD＝4，∴点D（0，－4）．…………………………………………1
∴经过点B、D的直线为y＝－x－4，
A
B
M
C
x
y
O
D
联列y＝－x－4和y＝x＋6成为方程组，可以解得x＝－，y＝，
∴点M1（－，）．………………………………………………………………………1
当0＜m≤6时，即点D在线段OC上时，
设有△MCD∽△MBA，
∴∠MDC＝∠MAB， 即 ∠BDO＝∠CAO，
∴Rt△OAC∽Rt△ODB．∴＝，
∴＝＝，∴OD＝4，∴点D（0，4）．……1
∴经过点B、D的直线为y＝x＋4，
联列y＝x＋4和y＝x＋6成为方程组，可以解得x＝，y＝，
∴点M2（，）．…………………………………………………………………………1
（3）当m≤0时，S△MCD︰S△MAB＝（CD︰AB）2＝（10︰5）2＝4︰1 ．
当0＜m≤6时，S△MCD︰S△MAB＝（CD︰AB）2＝（2︰5）2＝4︰25 ．

3、（图七）
B
C
P
A
N
M
已知：如图七，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
＝6，AC＝8．点P是边AB的中点，以P为顶点，作
∠MPN＝∠A，∠MPN的两边分别与边AC交于点M、
N．
（1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长度；
（2）当∠MPN绕点P转动时，下列式子：（甲）CM·AN，（乙）CN·AM的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；
（3）连接BM，是否存在这样的点M，使得△BMP与△ANP相似？若存在，请求出这时CM的长；若不存在，请说明理由．
25．解：（1）显然∠MPN≠90°，若∠PMN＝90°，则CM＝4．…………………（1分）
若∠PNM＝90°，则PN＝3，CN＝4，MN＝，∴CM＝．…………………（2分）
（2）（甲）CM·AN 的值不确定（显然，CM可以为0，从而CM·AN的值为0）；
（乙）CN·AM的值保持不变，且CN·AM＝25．………………………………（2分）
证明如下：连CP，由已知：∠ACB＝90°，AB＝10，
∵点P是AB中点，∴CP＝AP＝5．…………………………………………………（1分）
∴∠PCA＝∠PAC＝∠MPN．∴∠PMA＝∠CPN．∴△CPN∽△AMP．………（2分）
∴CN︰AP＝CP︰AM，∴ CN·AM＝25．…………………………………………（1分）
（3）解：∵∠MPN＝∠A，
∴∠APN＋∠ANP＝∠APN＋∠BPM，∴∠ANP＝∠BPM．……………………（1分）
要使△BMP与△ANP相似，
① 若∠MBP=∠A，则BM=AM，又P是AB中点，∴ MP⊥AB，∴△AMP∽△ABC．
∴AM＝，从而 CM＝；………………………………………………………（2分）
② 若∠BMP＝∠A，则∠BMP＝∠MPN，∴△BMP∽△BAM．
∴BM＝5，从而 CM＝．……………………………………………… （2分）

（四）圆与圆位置关系（见之前上传至公共邮箱的《08中考题型训练》）
（五）点在直线（射线）上运动（见之前上传至公共邮箱的《08中考题型训练》）