双曲线[教师版].doc

专题复习十九

第19讲 双曲线
一、知识梳理：
1. 双曲线的定义
当时, 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为以为端点的两条射线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程

性

质
焦点
，

焦距

范围

顶点

对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率

渐近线

与双曲线共渐近线的双曲线系方程为： ；与双曲线共轭的双曲线为；等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.；
3.学习要点
1.定义中一定要注意两定点的距离与常数的关系；
2.双曲线上的点到两焦点的连线的有关问题，常用“定义”求解.
3.求双曲线方程时要注意焦点的位置

二、基础检测：
1. 一动圆与两定圆和都外切，则动圆圆心轨迹为
A.椭圆 B. 双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线
2. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是.
3.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A． B．12 C． D．24
解析： ① 又②
由①、②解得
直角三角形，故选B。
4.如图2所示，为双曲线的左
焦点，双曲线上的点与关于轴对称，
则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] ，选C
5. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，
由圆的切线性质知，
6.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
[解析]设双曲线方程为，当时，化为，，
当时，化为，，
综上，双曲线方程为或
7. 以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为
8. 已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（x > 0） D．
[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B
9.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
[解析]当时，，，当时，，，或
10. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）
A． B．2 C．或2 D．不存在
[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则，，，
11. 双曲线的渐近线方程是 ( )
A. B. C. D.
[解析]选C
12.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A． B． C． D．
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
13.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
A. 　　 B. 　　 C. 　　　 D.
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系
[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程
三、典例导悟：
14.已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组
[解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1. 又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决
[解析](方法1)由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．
(方法2) ，
双曲线上存在一点P使，等价于
(方法3)设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．
【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；
（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；
（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键
16. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程
[解析]（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，．
（2）设渐近线与直线交于A、B，则，，解得即，又，
双曲线的方程为
17. 已知曲线的离心率，直线l过A(a，0)、B两点，原点O到l的距离是。
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程。
解：（1）依题意， 由原点O到l的距离为，得 又
故所求双曲线方程为
（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx－1，则点M、N坐标（）、
（）是方程组 的解，消去y，得 ①
依设，由根与系数关系，知

===
∴=－23，k=±
当k=±时，方程①有两个不等的实数根故直线l方程为

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