三角函数式的化简与求值.doc

三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
［例1］已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,
sin(α+β)=－,求sin2α的值.
解法一：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.
π＜α+β＜,
∴sin(α－β)=

∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
∴sin2α=
［例2］sin220°+cos280°+ sin20°cos80°的值.
技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
解法一：sin220°+cos280°+sin20°cos80°
= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°
－sin220°
=1－cos40°－(1－cos40°)=
解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，
则x+y=1+1－sin60°=，
x－y=－cos40°+cos160°+sin100°
=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，
即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.
［例3］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.
解：由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得：
f(a)
∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞
故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，
y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.
［例4］已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；
解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)
∴f(x)的最小正周期T=π
(2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.
2°注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.
●歼灭难点训练
1.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－)，则tan的值是 .
2.已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)= ，
则tan(α－2β)=_________.
3.设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，
sin(+β)=，则sin(α+β)=_________.
4.求值:
5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，
求的值.
6.已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z).
求的最大值及最大值时的条件.

7.如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.

8.已知cosα+sinβ=，sinα+cosβ的取值范围是 .

参考答案

一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.
tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)
∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),
又tan(α+β)=
整理得2tan2=0.解得tan=－2.
2.解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－
则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,

3.解析：α∈(),α－∈(0, ),又cos(α－)=.

答案：
4.答案：2
1．数列的前项和，
则 ．48
2．等差数列中，已知，，
则_________．_26_
3．一个物体从490m的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m，以后每秒比前1秒多降落9.80m，经过______秒物体才能落到地面． 10
4．△ABC中，下列判断不正确的是_________．（1）、（2）
（1）有1解；
（2）有1解；
（3）有2解；
（4）无解．
9．设数列，且满足
，则实数的取值范围是 ．
10．将正奇数排列如下表其中第行第个数表示

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
……
，
如，若，
则 ．
60
15．在中，为的面积，且．
（1）求；（2）当时，求的值．
解：在中，由正弦定理得：
，
，
，，
，，
，
．

16．已知正项数列，其前n项的和满足
，且成等比数列，
求数列的通项公式．
解：， ①
，解之得=2或=3．
又， ②
由①一②得，
且
．
数列{}是公差d=5的等差数列
当=3时，=13， =73，，，不成等比数列，≠3．
天星教育网
当=2时，=12，=72，
有，满足题意．
．

17．如图，正方形ABCD的边长为3a cm，分别取各边的三等分点得到正方形，再取正方形各边的三等分点得到正方形，如此重复操作，得到正方形，…
A
B
C
C1
A2
D2
C2
B2
D1
B1
A1
D
（1）求边，，的长；（2）求正方形的边长.

解：（1），，；（2）

18．中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角。
①求最大角的余弦值；
②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

解：①设三边， 且，
∵为钝角， ∴，解得，
∵， ∴或，但时不能构成三角形应舍去，
当时，；
②设夹角的两边为，，
所以，，
当时，．

（k∈Z）, （k∈Z）
∴当即（k∈Z）时,的最小值为－1.
7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则
｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q(sinθ；sinθ)，
所以｜PQ｜=cosθ－sinθ.
于是SPQRS=sinθ(cosθ－sinθ)
=(sinθcosθ－sin2θ)=(sin2θ－)
=(sin2θ+cos2θ－)= sin(2θ+)－.
∵0＜θ＜,∴＜2θ+＜π.∴＜sin(2θ+)≤1.
∴sin(2θ+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，
此时，θ=，点P为的中点，P().
8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+()2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,
中，角所对的边分别为
且．
（I）求角的大小；
（II）若向量，向量，
且，，求的值．
解：（I）∵
∴，…2分
∴，
∴或…………5分
∴ ………7分
（II）∵ ∴，即………8分
又，∴，
即② ………10分
由①②可得，∴ ………13分
又
∴，∴…………14分

已知．
（1）若，求的值；
（2）若，且，
求的值．
解：（1）∵
∴
（2）∵∴，，

·
· ==7
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且．
（1）求tanB的值；
（2）若，求△ABC的面积．
（1）解法一：
因为所以由正弦定理，得
，……………………………2分
即．
所以，
从而．
因为，
所以．…………………………4分
又，于是有，
解得．………………………6分
由（1），得．…………10分
由正弦定理，得．…………12分
所以△ABC的面积
．…………………14分