三角函数式的化简与求值.doc

三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.例1已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值.解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=例2sin220+cos280+ sin20cos80的值.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220+cos280+sin20cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，则x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.例3设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=2,+故2a1=，解得：a=1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2k，kZ，ymax=5.例4已知函数f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)当2x+=2k，即x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2.锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1给角求值，2给值求值，3给式求值，4求函数式的最值或值域，5化简求值.2.技巧与方法：1要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4求最值问题，常用配方法、换元法来解决.歼灭难点训练1.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是 .2.已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_.3.设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_.4.求值:5.已知cos(+x)=，(x)，求的值.6.已知=，且k(kZ).求的最大值及最大值时的条件.7.如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.8.已知cos+sin=，sin+cos的取值范围是 .参考答案一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又、(,)、(,),则(,0),又tan(+)=整理得2tan2=0.解得tan=2.2.解析：sin=,(,),cos=则tan=,又tan()=可得tan=,3.解析：(),(0, ),又cos()=.答案：4.答案：21数列的前项和，则 482等差数列中，已知，则_26_3一个物体从490m的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m，以后每秒比前1秒多降落9.80m，经过_秒物体才能落到地面 104ABC中，下列判断不正确的是_（1）、（2）（1）有1解； （2）有1解；（3）有2解； （4）无解9设数列，且满足，则实数的取值范围是 10将正奇数排列如下表其中第行第个数表示 135791113151719，如，若，则 6015在中，为的面积，且（1）求；（2）当时，求的值解：在中，由正弦定理得：， ，16已知正项数列，其前n项的和满足，且成等比数列，求数列的通项公式解：， ，解之得=2或=3 又， 由一得，且数列是公差d=5的等差数列 当=3时，=13， =73，不成等比数列，3 天星教育网当=2时，=12，=72，有，满足题意17如图，正方形ABCD的边长为3a cm，分别取各边的三等分点得到正方形，再取正方形各边的三等分点得到正方形，如此重复操作，得到正方形，ABCC1A2D2C2B2D1B1A1D（1）求边，的长；（2）求正方形的边长.解：（1），；（2）18中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角。求最大角的余弦值； 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.解：设三边， 且， 为钝角， ，解得， 或，但时不能构成三角形应舍去，当时，；设夹角的两边为，所以，当时，（kZ）, （kZ）当即（kZ）时,的最小值为1.7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cos,sin)，则PS=sin.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sin.联立解之得Q(sin；sin)，所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)= sin(2+).0,2+.sin(2+)1.sin(2+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，=，点P为的中点，P().8.解：设u=sin+cos.则u2+()2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即D=1,1, 中，角所对的边分别为 且 （I）求角的大小；（II）若向量，向量，且，求的值解：（I），2分，或5分 7分（II） ，即8分又，即 10分 由可得， 13分又，14分已知（1）若，求的值；（2）若，且，求的值解：（1）（2）， =7 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且（1）求tanB的值；（2）若，求ABC的面积（1）解法一：因为所以由正弦定理，得，2分即所以，从而因为，所以4分又，于是有，解得6分由（1），得10分由正弦定理，得12分所以ABC的面积14分