思科数学第2讲命题及其关系、充要条件.doc

第2讲　命题及其关系、充要条件

基础梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

用集合的观点，看充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．
从逆否命题，谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．
双基自测
1．(2011·南通调研)命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是________命题(填“真”“假”之一)．
解析　否命题为“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．
答案　真
2．(2011·镇江调研)“x＞1”是“x2＞x”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”之一)．
解析　由x2＞x，得x＜0或x＞1，因此由x2＞x推不出x＞1，但由x＞1可推出x2＞x，所以“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．
答案　充分不必要
3．(2011·扬州调研)“α＝”是“sin α＝”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．
解析　由α＝⇒sin α＝sin ＝，反之，由sin α＝/⇒α＝.
答案　充分不必要
4．(2011·盐城调研)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b＝”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”之一)．
解析　当a，b，c成等比数列时，b＝±，而对于非零实数，若b＝，则a，b，c成等比数列．
答案　必要不充分
5．(2011·宿迁市联考)给出如下四个命题，其中不正确的命题的个数是________．
①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的否命题为“若x≥2且y≥3，则x＋y＜5”；
③四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要不充分条件是ad＝bc；
④在△ABC中，“A＞45°”是“sin A＞”的充分不必要条件．
解析　①“p∧q”为假命题，p，q至少有一个为假命题，①不正确．
②否命题为“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5”，②不正确．
③当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc也成立，但a，b，c，d不成等比数列．③正确．
④取A＝150°，则A＞45°，但sin A＝＜，④不正确．因此仅有③是真命题．
答案　3

考向一　四种命题及其关系
【例1】►设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
[审题视点] 分清命题的条件与结论，再结合不等式的性质判断真假．
解　“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc.因此它的逆命题：
当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b.它是真命题；
否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；
逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
【训练1】 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是________，命题的否定是________．
解析　命题“若p则q”的否命题是“若綈p则綈q”，否定是“若p则綈q”．
答案　若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
若一个数是负数，则它的平方不是正数．
考向二　充分、必要条件和充要条件的判断
【例2】►(2011·天津改编)设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．
[审题视点] 结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和结论的关系．
解析　化简得A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜0}，C＝{x|x＜0，或x＞2}．∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
答案　充分必要条件
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.
【训练2】 若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则“x∉P”是“x∉Q”的________条件．
解析　由于原命题与它的逆否命题等价，所以只要判断“x∈Q”是“x∈P”的什么条件，因为P⊆Q，所以“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分的条件．
答案　必要不充分
考向三　充要条件的探求
【例3】►使得关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a的取值范围是________．
[审题视点] 应考虑a＝0和a≠0两种情况．
解析　当a＝0时，原方程变形为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根，
当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1，
设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
当有一负实根时，⇒a＜0，

有两个负实根时，综上所述，a≤1.
答案　(－∞，1]
(1)解决此类问题一般是把充要条件等价转化为方程根的问题，根据判别式以及根与系数的关系列关于参数的不等式(组)求解．
(2)①p的充分不必要条件为q等价于p⇐q，p⇒/ q；②p的必要不充分条件为q等价于p⇒q，p⇒/ q.
【训练3】 关于x的方程x2－(2a－1)x＋a2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件是________．
解析　设方程的两根分别为x1，x2，当有一个非负实根时，x1x2＝a2－2≤0，即－≤a≤；当有两个非负实根时，⇒
即≤a≤.综上，得－≤a≤.
答案　－≤a≤