思科数学第2讲命题及其关系、充要条件.doc

第2讲命题及其关系、充要条件基础梳理1命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件用集合的观点，看充要条件设集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，则有：(1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假这就是常说的“正难则反”双基自测1(2011南通调研)命题“若实数a满足a2，则a24”的否命题是_命题(填“真”“假”之一)解析否命题为“若实数a满足a2，则a24，是真命题答案真2(2011镇江调研)“x1”是“x2x”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”之一)解析由x2x，得x0或x1，因此由x2x推不出x1，但由x1可推出x2x，所以“x1”是“x2x”的充分不必要条件答案充分不必要3(2011扬州调研)“”是“sin ”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析由sin sin ，反之，由sin /.答案充分不必要4(2011盐城调研)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”之一)解析当a，b，c成等比数列时，b，而对于非零实数，若b，则a，b，c成等比数列答案必要不充分5(2011宿迁市联考)给出如下四个命题，其中不正确的命题的个数是_若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若x2且y3，则xy5”的否命题为“若x2且y3，则xy5”；四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要不充分条件是adbc；在ABC中，“A45”是“sin A”的充分不必要条件解析“pq”为假命题，p，q至少有一个为假命题，不正确否命题为“若x2或y3，则xy5”，不正确当abcd0时，adbc也成立，但a，b，c，d不成等比数列正确取A150，则A45，但sin A，不正确因此仅有是真命题答案3考向一四种命题及其关系【例1】设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假审题视点 分清命题的条件与结论，再结合不等式的性质判断真假解“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc.因此它的逆命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；否命题：当c0时，若ab，则acbc.它是真命题；逆否命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手【训练1】 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是_，命题的否定是_解析命题“若p则q”的否命题是“若綈p则綈q”，否定是“若p则綈q”答案若一个数不是负数，则它的平方不是正数若一个数是负数，则它的平方不是正数考向二充分、必要条件和充要条件的判断【例2】(2011天津改编)设集合AxR|x20，BxR|x0，CxR|x(x2)0，则“xAB”是“xC”的_条件审题视点 结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和结论的关系解析化简得Ax|x2，Bx|x0，Cx|x0，或x2ABC，“xAB”是“xC”的充要条件答案充分必要条件 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.【训练2】 若集合P1,2,3,4，Qx|0x5，xR，则“xP”是“xQ”的_条件解析由于原命题与它的逆否命题等价，所以只要判断“xQ”是“xP”的什么条件，因为PQ，所以“xQ”是“xP”的必要不充分的条件答案必要不充分考向三充要条件的探求【例3】使得关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件的a的取值范围是_审题视点 应考虑a0和a0两种情况解析当a0时，原方程变形为一元一次方程2x10，有一个负实根，当a0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是44a0，即a1，设两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2，当有一负实根时，a0，有两个负实根时，综上所述，a1.答案(，1 (1)解决此类问题一般是把充要条件等价转化为方程根的问题，根据判别式以及根与系数的关系列关于参数的不等式(组)求解(2)p的充分不必要条件为q等价于pq，p/ q；p的必要不充分条件为q等价于pq，p/ q.【训练3】 关于x的方程x2(2a1)xa220至少有一个非负实根的充要条件是_解析设方程的两根分别为x1，x2，当有一个非负实根时，x1x2a220，即a；当有两个非负实根时，即a.综上，得a.答案a