对数函数中常见错误.doc

第13期 对数与对数函数 QQ：84284316
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对数函数中常见错误
湖北省襄城区高级中学：刘杰
对数函数是高一接触到的一个全新的函数,是高中不易掌握的函数之一.在解题时很容易犯错误,现对作业中一些常见的错误进行剖析，希望同学们警惕.
一、不考虑真数大于0
例1.求函数y=log2(x2-2x-3)的单调增区间.
错解:令u=x2-2x-3,可得y=log2u.
∵2＞1 ∴函数y=log2u是增函数.
又∵函数u=x2-2x-3,当x∈[1,+∞)时,单调增;
∴当x∈[1,+∞)时,y=f(u)与u=g(x)都是增函数,
∴函数y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为[1,+∞).
剖析:研究复合函数的单调性通常使用这用复合代换法.但这位同学在解题时忽略了对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),即真数必须大于0.
正解:令u=x2-2x-3,可得y=log2u.
∵u=x2-2x-3>0,∴x>3或x<-1,
即函数y=log2(x2-2x-3)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).
∵2＞1,∴函数y=log2u,当u∈(0,+∞)时,单调增;
又∵函数u=x2-2x-3当,x∈(3,+∞)时,单调增.
∴当x∈(3,+∞)时,y=f(u)与u=g(x)都是增函数,
∴函数y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+∞).
二、不考虑底数的范围
例2.已知f(x)=loga(a>0,且a≠1),求使f(x)>0时x取值范围.
错解:要使函数有意义,必须>0,即-1<x<1.
∵f(x)=loga>0,∴>1,∴-1<x<0.
∴使f(x)>0时x取值范围为-1<x<0.
剖析:这里考虑到了真数大于0,再根据loga1=0求出了x的取值范围.但却忽略了对数函数单调性:当a>1时,函数y=logax在定义域(0,+∞)为增函数;当0<a<1时函数y=logax在定义域(0,+∞)为减函数.没有考虑底数的范围.
正解: 要使函数有意义,必须>0,即-1<x<1.
当a>1时, ∵f(x)=loga>0 ∴>1,解得-1<x<0.
∴当a>1时,使f(x)>0时x取值范围为-1<x<0;
当0<a<1时, ∵f(x)=loga>0,∴0<<1,解得0<x<1.
∴当0<a<1时,使f(x)>0时x取值范围为0<x<1.
三、真数范围分析错误
例3.已知函数f(x)=log2(kx2-2x+k)的值域是(-∞,+∞),求k的取值范围．
错解:∵函数f(x)=log2(kx2-2x+k)的值域是(-∞,+∞)，∴kx2-2x+k>0恒成立.
∴,即,解得k>1.
∴当k>1时,函数f(x)=log2(kx2-2x+k)的值域是(-∞,+∞).
剖析:如果此题使函数定义域为(-∞,+∞)就对了.但此题是要求值域为(-∞,+∞),这就必须要求真数可以取任意正数,即k=0或.
正解:∵函数f(x)=log2(kx2-2x+k)的值域是(-∞,+∞),∴或k=0,
即或k=0,解得.
∴当时,函数f(x)=log2(kx2-2x+k)的值域是(-∞,+∞).