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课后作业(三)
一、选择题
1．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝0，b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2≠0，a，b∈R，则a≠0或b≠0
B．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
C．若a＝0或b＝0，则a2＋b2＝0
D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
3．(2013·佛山质检)已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“NM”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．(2013·佛山质检)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
7．(2013·潮州模拟)已知p：1≤x≤5，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是________．
8．“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充要条件是________．
三、解答题
9．“|a|＞”是“方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3”的必要条件吗？这个条件是充分条件吗？为什么？
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
11．设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝ 的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．
解析及答案
一、选择题
1． 【解析】 若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
【答案】 A
2．
【解析】 “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又“a＝0，b＝0”的否定为“a≠0或b≠0”，故所求逆否命题为“若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0”．
【答案】 D
3．
【解析】 ∵a＋b＝0，∴a＝－b，∴a∥b，∴a＋b＝0a∥b，即充分性成立．而由a∥b，∴a＝λb(λ∈R)，必要性不成立．
【答案】 A
4．
【解析】 因为“a＝1”，即N＝{1}，满足“NM”；反之“NM”，则N＝{a2}＝{1}或N＝{a2}＝{2}，不一定有“a＝1”．
【答案】 A
5．
【解析】 关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R，则Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，由集合的包含关系可知选A.
【答案】 A
二、填空题
6．【解析】 由Δ＝1＋4m≥0得m≥－，故原命题及其逆否命题是真命题．
逆命题“若关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根，则m＞0”，是假命题；从而否命题也是假命题．
故共有2个真命题．
【答案】 2
7．【解析】 ∵p：1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.
q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴∴2≤m≤4.
【答案】 [2，4]
8．【解析】 当a＝1时，函数f(x)＝|x－1|在区间(－∞，1]上为减函数，在区间[1，＋∞)上为增函数．
因此函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数，必须且只需a≤1.
【答案】 a≤1
三、解答题
9．【解】 ∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，
则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.
设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，
则
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3，
∴|a|≥ ＞.
∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞.
但a＝2时，x＋x＝2≤3，
因此这个条件不是其充分条件．
10．
【解】 (1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
该命题是真命题，证明如下：
∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
∴否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.
真命题，可证明原命题为真来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
11．【解】 由x2－x－2＞0，得A＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，
B＝{x|－1≥0}＝(0，3]，
∴A∩B＝(2，3]．
设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈(－∞，－]．
∵α是β的充分条件，
∴(A∩B)C，则需满足3≤－p≤－6.
∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．
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