线性代数在经济学中的应用.doc

线性代数解决生活中实际问题举例

专业：经济学专业
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在现代社会中，数学起着非常重要的作用，处理算数以外，线性代数是应用最为广泛的数学分支之一。线性代数是代数这个学科的一个重要的分支。

线性代数中有一个重要的概念是线性空间，它的元素被称为向量。也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理，试想，如果能把一些看似不相关的问题化归为一类问题，把本来凌乱不堪的线索都井井有条的整合起来，那我们做起事来不是就更加的会事半功倍吗？线性代数的作用就是这个。

接下来我们要谈一下线性代数的具体应用。线性代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是现行代数最基本的概念，矩阵的运算是线性代数的基本内容。矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果你抽象出某种变化的规律，你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。在日常生活中，矩阵无时无刻不出现在我们的身边，例如班级中学生各科目的考试成绩，商场销售产品的数量和单价，超市物品配送路径等等。

线性代数的运算在实际问题中经常会出现，下面给出关于它应用的具体的例子。

例 1（用矩阵表示产品的售价和重量）
设某个电器厂向三个商店（甲商店，乙商店，丙商店）发出四种产品（空调，冰箱，洗衣机，彩电）的数量为
空调 冰箱 洗衣机 彩电
甲商店 30 20 50 20
A = 乙商店 0 7 10 0
丙商店 50 40 50 50
这四种产品的售价（百元）和重量（千克）的数表为
售价 重量
空调 30 40
B = 冰箱 16 30
衣机 22 30
彩电 18 20
则这个电器公司向每个商店出售的产品的总价格和总重量，恰好可以用矩阵AB来表示
售价 数量
甲商店 2680 3700
AB = 乙商店 332 510
丙商店 4140 5700

例2（用方程组求解分析一个简单城市的交通流量）
问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。并且针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。
请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi（i=1,2,3,4）
交通量的图示如下

解：根据已知条件，得到各节点的流通方程如下

整理后得到如下的方程组

计算结果为U= 1 0 0 -1 0
0 1 0 -1 109
0 0 1 -1 37
0 0 0 0 0
具体分析：由于U的最后一行全为零，方程组中只有三个有效方程，所以有无穷组解。以X4为自由变量，其解为

近些年来，随着科技突飞猛进的发展，线性代数已经深入到经济，金融，信息，社会等各个领域。以上两个例子详细的说明的线性代数在我们的现实生活中应用之广泛，除此之外线性代数还在药物配制问题，人口迁徙问题，情报检索模型，信号流图模型，产品成本计算，编译保密码，空运航线路径，平板稳态温度计算，化学方程配平，飞行器外形设计比例，卫星遥感图像处理，等方面有着重要的应用。