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第十一章 影响线及其应用
本章主要内容
影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，多跨静定梁的影响线，间接荷载作用下的影响线，利用影响线求量值，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。简支梁的绝对最大弯矩和包络图。
目的要求
1. 掌握影响线的概念
2. 熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。
3. 掌握用影响线求量值和最不利荷载位置的确定。
4. 掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。
§11-1 概 述
1．移动荷载作用下结构计算特点
固定荷载、移动荷载。
在移动荷载作用下，结构的反力、内力及位移都将随荷载位置的移动而变化，它们都是荷载位置的函数。结构设计中必须求出各量值(如某一反力、某一截面内力或某点位移)的最大值。因此，寻求产生与该量值最大值对应的荷载位置，即最不利荷载位置，并进而求出该量值的最大值，就是移动荷载作用下结构计算中必须解决的问题。
2．影响线的概念
工程结构中所遇到的荷载通常都是由一系列间距不变的竖向荷载组成的。由于其类型很多，不可能对它们逐一加以研究。为了使问题简化，可从各类移动荷载中抽象出一个共同具有的最基本、最简单的单位集中荷载F=1，首先研究这个单位集中荷载F=1在结构上移动时对某一量值的影响，然后再利用叠加原理确定各类移动荷载对该量值的影响。为了更直观地
图11-1 图11-2
描述上述问题，可把某量值随荷载F=1的位置移动而变化的规律(即函数关系)用图形表示出来，这种图形称为该量值的影响线。
由此可得影响线的定义如下：当一个指向不变的单位集中荷载(通常其方向是竖直向下的)沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。
若某量值的影响线绘出后，即可借助于叠加原理及函数极值的概念，将该量值在实际移动荷载作用下的最大值求出。下面首先讨论影响线的绘制。
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
绘制影响线有两种方法，即静力法和机动法。静力法是以移动荷载的作用位置x为变量，然后根据平衡条件求出所求量值与荷载位置x之间的函数关系式，即影响线方程。再由方程作出图形即为影响线。
1．简支梁的影响线
（1）支座反力影响线
要绘制图11-3(a)所示反力FA的影响线，可设A为坐标原点，荷载F=1距A支座的距离为x，并假设反力方向以向上为正，
由平衡方程ΣMB=0，得
上式称为反力FA的影响线方程，它是x的一次式，即FA的
影响线是一段直线。为此，可定出以下两点：
当x=0时， FA=1
当x=l时， FA=0
图11-3
即可绘出反力FA的影响线，如图11-3(b)所示。
绘影响线图形时，通常规定纵距为正时画在基线的上方，反之画在下方。并要求在图中注明正、负号。根据影响线的定义，FA影响线中的任一纵距yk即代表当荷载F=1移动至梁上K处时反力FA的大小。
绘制FB的影响线时，利用平衡方程ΣMA=0，可得
它也是x的一次式，故FB的影响线也是一条直线，如图11-3(c)所示。
由上可知反力影响线的特点：跨度之间为一直线，最大纵距在该支座之下，其值为1；最小纵距在另一支座之下，其值为0。
作影响线时，由于单位荷载F=1为量纲是一的量，因此，反力影响线的纵距亦是量纲是一的量。以后利用影响线研究实际荷载对某一量值的影响线时，应乘上荷载的相应单位。
（2）弯矩影响线设要绘制任一截面C(如图11-4(a)所示)的弯矩影响线。仍以A点为坐标原点，荷载F=1距A点的距离为x。当F=1在截面C以左的梁段AC上移动时(0≤x≤a)，为计算简便起见，可取CB段为隔离体，并规定使梁的下侧纤维受拉的弯矩为正，由平衡方程ΣMC=0，得
可知MC影响线在AC之间为一直线。并且
当x=0时， MC=0
当x=a时， MC=
据此，可绘出F=1在AC之间移动时MC的影响线，如
图11-4(b)所示。 图11-4
当荷载F=1在截面C以右移动时，为计算简便，取AC段为隔离体，由ΣMC=0，得
上式表明，MC的影响线在截面C以右部分也是一直线。
当x=a时， MC=
当x=l时， MC=0
即可绘出当F=1在截面C以右移动时MC的影响线。MC影响线如图11-4(b)所示。MC的影响线由两段直线组成，呈一三角形，两直线的交点即三角形的顶点就在截面C的下方，其纵距为。通常称截面C以左的直线为左直线，截面C以右的直线为右直线。
由上述弯矩影响线方程可知，左直线可由反力FB的影响线乘以常数b所取AC段而得到；而右直线可由反力FA的影响线乘以常数a并取CB段而得到。这种利用已知量值的影响线来作其他未知量值影响线的方法，常会带来很大的方便，以后常用到。弯矩影响线的纵距的量纲是长度的量纲。
（3）剪力影响线
设要绘制截面C(如图11-4(a)所示)的剪力影响线。当F=1在AC段移动时(0≤x＜a)，可取CB部分为隔离体，由ΣFY=0，得
FSC+FB=0
FSC=-FB
由此可知，在AC段内，FSC的影响线与反力FB的影响线相同，但正负号相反。因此，可先把FB影响线画在基线下面，再取其中的AC部分。C点的纵距由比例关系可知为。该段称为FSC影响线的左直线，如图11-4(c)所示。当F=1在CB段移动时(a<x≤l)，可取AC段为隔离体，由ΣFy=0，得
FA- FSC =0
FSC=FA
此式即为FSC影响线的右直线方程，它与FA影响线完全相同。画图时可先作出FA影响线，而后取其CB段，如图11-4(c)所示。C点的纵距由比例关系知为。显然，FSC影响线由两段互相平行的直线组成，其纵距在C处有突变(由变为)，突变值为1。当F=1恰好作用在C点时，FSC的值是不确定的。剪力影响线的纵距为量纲一的量。
2．伸臂梁的影响线
（1）支座反力影响线
图11-5(a)所示伸臂梁，取A支座为坐标原点，
x以向右为正。由平衡条件可求得反力FA和FB
的影响线方程为
当F=1在A点以左时，x为负值，故以上 图11-5
两方程在全梁范围内均适用。由于方程与相应简支梁的反力影响线方程完全相同，故只需将简支梁反力影响线向两伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的反力影响线，如图11-5(b)、(c)所示。
（2）跨内截面内力影响线
为求两支座间任一截面C的弯矩和剪力影响线，首先应写出影响线方程。当F=1在截面C以左移动时，取截面C以右部分为隔离体，由平衡条件得
MC=FB·b， FSC =-FB
当F=1在截面C以右部分移动时，取截面C以左部分为隔离体，由平衡条件得
MC=FA·a， FSC =FA
由此可知，MC和FSC的影响线方程和简支梁相应截面的相同。因而与作反力影响线一样，只需将相应简支梁截面C的弯矩和剪力影响线的左、右两直线向两伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的MC和FSC影响线，如图11-5(d)、(e)所示。
（3）伸臂截面的内力影响线
为了求伸臂部分任一截面K(如图11-6(a)所示)的内力影响线，为计算方便，可取K点为坐标原点，x仍以向右为正。当F=1在K点以左移动时，取截面K的右边为隔离体，由平衡方程得
MK=0
FSK=0
当F=1在K点右边移动时，仍取截面K的右边为隔离体，得
MK=-x (0≤x≤d)
FSK=+1
图11-6
由此可作出MK和FSK的影响线，如图11-6(b)、(c)所示。
绘支座两侧截面的剪力影响线时，应分清是属于跨内截面还是伸臂部分截面。例如，支座B的左侧截面剪力FSBL的影响线，可由跨内截面C的FSC影响线(见图11-5(e)所示)使截面C趋近于支座B的左侧而得到，如图11-6(e)所示。而支座B右侧截面的剪力FSBR的影响线可由FSK的影响线使截面F趋近于B支座右侧而得到，如图11-6(d)所示。
最后需要指出，对于静定结构，由于其反力和内力影响线方程均为x的一次式，故影响线都是由直线所组成的。
3．影响线与内力图的比较
影响线与内力图是截然不同的，初学者容易将两者混淆。尽管两者均表示某种函数关系的图形，但各自的自变量和因变量是不同的。现以简支梁弯矩影响线和弯矩图为例作比较如下：
图11-7
图11-7(a)表示简支梁的弯矩MC影响线，图11-7(b)表示荷载F作用在C点时的弯矩图。两图形状相似，但各纵距代表的含义却截然不同。例如D点的纵距，在MC影响线中yD代表F=1移动至D点时引起的截面C的弯矩的大小。而弯矩图中yD代表固定荷载F作用在C点时产生的截面D的弯矩值MD。其他内力图与内力影响线的区别也与上相同。
§11-3 间接荷载作用下的影响线
1．间接荷载
在桥梁及房屋建筑中的某些主梁计算时，常假定纵梁简支在横梁上，横梁再简支在主梁上，荷载直接作用在纵梁上，通过横梁传给主梁，如图11-8 (a)所示。主梁只在放横梁处(结点处)受到集中力作用。对主梁而言，这种荷载称为间接荷载(或称结点荷载)。
2．纵横梁系中主梁内力的影响线
下面讨论在间接荷载作用下，主梁各种量值影响线的作法。现以主梁上截面C的弯矩影响线为例说明如下：
首先，当荷载F=1移动到各结点处，如A、D、E、F、B处时，则与荷载直接作用在主梁上的情况完全相同。因此，荷载直接作用在主梁上时MC影响线(如图11-8(b)所示)中各结点处的纵距yA、yD、yE、yF、yB也是主梁在间接荷载作用下各结点处MC影响线的纵距。
其次，当荷载F=1在任意两相邻结点D、E之间的
纵梁上移动时，主梁将只在D、E两点处分别受到结点荷
载及的作用，如图11-8(c)所示。由影响线的定
义及叠加原理可知，在上述两结点荷载共同作用
下MC值应为：
图11-8
这便是F=1在纵梁DE段时，主梁DE段的影响线方程。
上式是x的一次式，表明在DE段内MC的影响线是一直线。且由
当x=0时， y=yD； 当x=d时，y=yE
可知此直线是联结纵距yD及yE的直线，如图11-8(b)所示。同理，当F=1在其他各纵梁上移动时，主梁对应的各段的影响线也应是各段两结点处影响线纵距的联线。
综上所述，可得出如下结论：
(1) 主梁上结点处影响线量值等于直接荷载作用下的量值。
(2) 两结点之间影响线呈直线变化。
由此，可总结出绘制间接荷载下主梁某量值影响线的方法：
(1) 首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线，确定各结点处的纵距。
(2) 在每一根梁段范围内，将各结点处纵距联成直线，即为该量值的影响线。
按上述方法，不难绘出主梁截面C的剪力影响线，如图11-8(d)所示。图11-9所示为间接荷载作用下主梁影响线的另一例子。
图11-9
§11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线
机动法作影响线是以虚位移原理为依据的，它把求内力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。下面先以绘制图11-10(a)所示简支梁的反力FA影响线为例，说明用机动法作影响线的概念和步骤。
为求反力FA，应将与其相应的联系去掉，代之以正向的反力FA，如图11-10(b)所示。此时原结构变成为具有一个自由度的几何可变体系。然后给体系沿FA正向以微小虚位移，即AB梁绕B支座作微小转动，并以δA和δP分别表示在FA和F的作用点沿其作用方向上的虚位移。梁在FA、F、FB共同作用下处于平衡状态。根据虚位移原理，它们所作的虚功总和应等于零。虚功方程为：
FA·δA+F·δP=0
作影响线时，因F=1，故得：
FA =-δP/δA
式中δA为反力FA的作用点沿其方向上的位移，在
图11-10
给定的虚位移下它是常数；δP则为在荷载F=1作用点沿其方向上的位移，由于F=1是在梁上移动的，因而δP就是沿着荷载移动的各点的竖向虚位移图。可见，FA的影响线与位移图δP成正比，将位移图δP的纵距除以δA并反号，就得到FA的影响线。为方便起见，可令δA=1，则上式成为FA=-δP，亦即此时的虚位移图即代表FA的影响线，只是符号相反。但是虚位移δP应是与力F=1方向一致为正，即以向下为正。因而可知，当δP向下时，FA为负；当δP向上时，FA为正，这与影响线的纵距正值者画在基线上方恰好一致，从而可得FA的影响线如图11-10(c)所示。由A支座反力FA影响线的绘制过程，可总结出机动法作影响线的步骤如下：
(1) 欲作某一量值S的影响线，应撤去与S相应的联系，代之以正向的未知约束力S。
(2) 使体系沿S的正方向发生单位虚位移(δ=1)，从而可得出荷载作用点的竖向位移图(δP图)，此位移图即是S的影响线。
(3) 注明影响线的正负号：在横坐标以上的图形为正，反
之为负。机动法的优点是不需经过计算即可绘出影响线
的轮廓。在工程中，当仅需要知道影响线的轮廓，用以确
定最不利荷载位置时，用机动法特别方便。此外，还可
用机动法来校核用静力法作出的影响线。现按上述步
骤，用机动法作图11-11 (a)
所示简支梁截面C的弯矩和剪力影响线。
1．弯矩影线 图11-11
首先撤去与MC相应的联系，即将截面C改为铰结，沿MC的正方向加一对等值反向的力偶MC代替原有联系的作用，。由图可以看出与MC相应的位移是铰C两侧截面的相对转角(α+β)。由于(α+β)是微小的，可知AA1=a(α+β)，由比例关系知CC1=ab/l(α+β)。若令(α+β)=1，即可求出影响线顶点处的纵距为ab/l。从而可绘出MC影响线。
2．剪力影响线
撤去与FSC相应的联系，即将截面C处改为用两根水平链杆相联(这样，该截面不能抵抗剪力但仍能承受弯矩和轴力)，同时加上一对正向剪力FSC代替原有联系的作用。再令该体系沿FSC正方向发生虚位移。由虚功原理有，
得
此时(CC1+CC2)为C左右两截面的相对竖向位移，令(CC1+CC2)=1，则所得的虚位移图即为FSC影响线。由于截面C处只能发生相对竖向位移，不能发生相对转动和水平移动，故在虚位移图中AC1和C2B两直线为平行线，即FSC影响线的左、右两直线是相互平行的。
§11-5 多跨静定梁的影响线
与作单跨静定梁影响线一样，作多跨静定梁的影响线也有静力法和机动法。
1．静力法作多跨静定梁的影响线
用静力法作多跨静定梁的影响线，首先要分清基本部分和附属部分以及各部分之间的传力关系。再将多跨静定梁的每个梁段看作是一个单跨梁，然后利用单跨静定梁的已知影响线，则可绘出多跨静定梁的影响线。
例如图11-12(a)所示多跨静定梁，图(b)为其层叠图。现要作弯矩MK的影响线。当F=1在AC段上移动时，CE段为附属部分而不受力，故MK的影响线在AC段内的纵距恒为零；当F=1在CE段上移动时，此时MK的影响线与CE段单独作为伸臂梁时相同；当F=1在EG段上移动时，CE梁则承受一个作用位置不变、而大小变化的力FEy的作用。若以E点为坐标原点，写出FEy的影响线方程为，可见，FEy是x的一次式。由这个反力所引起的CE梁内指定截面的内力也是x的一次式，如 。这说明MK的影响线在
图11-12
EG段内是一直线。画出直线只需定出两点，当x=0时，；当x=l时，MK=0。MK影响线在全梁的变化图形如图(d)所示。
由上述分析可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：
(1) 当F=1在所求量值所在的梁段上移动时，该量值的影响线与相应单跨静定梁影响线相同。
(2) 当F=1在对于该量值所在的梁段来说是附属部分的梁段上移动时，量值的影响线是一直线，可根据支座处纵距为零，铰处的纵距为已知的两点绘出。
(3) 当F=1在对于该量值所在的梁段来说是基本部分的梁段上移动时，该量值影响线的纵距为零。
按上述方法，即可作出FSBL、FSBR和FF的影响线，如图11-12(e)、(f)、(g)所示。2．机动法作多跨静定梁的影响线
用机动法作多跨静定梁影响线的步骤与单跨梁完全相同。与静力法相比较显得更方便。首先去掉与所求量值S相应的联系，代之以未知力S，然后使该体系沿S的正方向发生单位位移，此时根据每一段梁的位移图应为一直线，以及在支座处竖向位移为零，便可很方便地绘出各部分的位移图。现用机动法校核图11-10(a)所示多跨静定梁MK、FSBL、FSBR和FF影响线，绘于图11-13中。
图11-13
§11-6 桁架的影响线
对于单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应的单跨静定梁相同，故其反力影响线也与单跨静定梁支座反力影响线完全一样。下面只讨论桁架杆件内力的影响线。在桁架中，荷载一般是通过纵横梁系以结点荷载的形式而作用在桁架结点上，故前面讨论的关于间接荷载作用下影响线的性质，对桁架都是适用的。即桁架中任一杆件轴力影响线在相邻两结点之间应为一直线。
用静力法作桁架内力影响线时，与计算内力一样，采用结点法和截面法。现以图11-14(a)所示下弦承受单位荷载F=1的平行弦桁架为例，说明桁架杆件内力影响线的绘制方法。
1.上弦杆轴力F N 89的影响线
作截面Ⅰ-Ⅰ，当F=1在A、2段移动时，取截面右部分为隔离体，由ΣM2=0，得
FB·4d+F N 89·h=0
F N 89=-4d/h·FB (a)
图11-14
由(a)式可知，将反力FB的影响线乘以4d/h，并画在基线的下方，取其对应于A、2之间的一段，即可得到F N 89在该部分的影响线，称为左直线。
当F=1在3、B之间移动时，取截面Ⅰ-Ⅰ的左部分为隔离体，由ΣM2=0，得
FA·2d+ F N 89·h=0
F N 89=-2d/h·FA (b)
可知，将反力FA的影响线乘以2d/h，并画在基线下方，取其对应于3、B之间的一段，即可得F N 89影响线的右直线。
当F=1在2、3之间移动时，由间接荷载下影响线的性质可知，应为一直线。即将结点2、3处的纵距相联，可得F N 89的影响线，如图11-14(b)所示。由几何关系知，左、右两直线的交点恰好在矩心2的下面，其纵距为4d/3h。利用这一特点可对F N 89的影响线进行校核。
2.下弦杆轴力F N 23的影响线
与上弦杆内力影响线作法完全相同。仍用截面Ⅰ-Ⅰ，取结点9为矩心。影响线的顶点也在矩心9下面，纵距为3d/2h，如图11-14(c)所示。
3.斜杆轴力FN72的影响线
作截面Ⅱ-Ⅱ，用投影法求影响线方程。当F=1在A、1之间移动时，取截面Ⅱ-Ⅱ右部分为隔离体，由ΣFy=0，得
；
当F=1在2、B之间移动时，取截面Ⅱ-Ⅱ左部分为隔离体，由ΣFy=0，得
；
当F=1在1、2之间移动时，FN72的影响线为一直线。FN72影响线如图11-14(d)所示。
4.竖杆轴力N17的影响线
取结点1为隔离体，用平衡方程ΣFy=0，分别按F=1在该结点及不在该结点两种情况建立：
(1) 当F=1移动至结点1时，FN17=1；
(2) 当F=1作用在其他各结点时，FN17=0。然后根据影响线在各节间应为直线的性质，即可绘出FN17的影响线，如图11-14(e)所示。
图11-14(a)所示桁架，当F=1在上弦移动时，欲求FN17影响线，仍取结点1为隔离体，由ΣFY=0，可知不论荷载作用在上弦哪个结点上，FN17恒为零。FN17的影响线则与基线重合，如图11-14(f)所示。
综上所述，作桁架影响线时，应特别注意桁架是下弦承载(纵横梁系安置在桁架下面，简称下承)还是上弦承载(上承)。因为在两种情况下某些杆件的内力影响线是不同的。
§11-7 利用影响线求量值
1.集中荷载作用
如图11-15所示，设某量值S的影响线已绘出，现有一组集中荷载F1、F2、…、Fn作用在结构的已知位置上，其对应于S影响线上的纵距分别为y1、y2、…、yn。现要求利用量值S的影响线，求荷载作用下产生量值S的大小。由影响线的定义知，y1表示荷载F=1作用于该处时量值S的大小，若荷载不是单位荷载而是F1，则引起量值S的大小为F1y1。现有n个荷载同时作用，根据叠加原理，所产生的量值S为
S=F1y1+F2y2+…+Fnyn=ΣFiyi (11-1)
当影响线某一直线段范围内有一组集中荷载作用时(图11-16)，为简化计算，也可以用合力F来代替它们的作用。若将该段直线延长使之与基线交于O点，则有
S = F1y1+F2y2+…+Fnyn=( F1x1+F2x2+…+Fnxn)tanα
= tanαΣFixi
由于ΣFixi为各分力对O点力矩之和，根据合力矩定理，得
ΣFixi=FR
则 S= FRtanα= FR (11-2)
其中为合力FR所对应的影响线的纵距。
图11-15 图11-16
2.分布荷载作用
设有分布荷载作用于结构的已知位置上若将分布荷载沿其长度方向划分为许多无穷小的微段dx，可将每一微段上的荷载q(x)dx看成集中荷载(图11-17)，则在ab段内分布荷载产生的量值S为
S=q(x)·y·dx (11-3)
图11-17 图11-18
若q(x)是均布荷载q时(图11-18)，则上式为
S=qy·dx=q·Aω (11-4)
式中Aω表示均布荷载长度范围内影响线图形的面积。若在该范围内影响线有正有负，则Aω应为正负面积的代数和。
例11-1 试利用影响线求图11-19 (a)所示简支梁在荷载作用下截面C的剪力。
解： 首先作出FSC影响线，并求有关纵距值，如图11-19(b)所示。其次由叠加原理，可得
图11-19
FSC= FyD+q·Aω
= 60×0.4+20×1/2×(0.2+0.6)×2.4-1/2×(0.2+0.4)×1.2〕= 36 kN。
§11-8 铁路和公路的标准荷载制
铁路上行驶的机车、车辆，公路上行驶的汽车、拖拉机等，规格不一，类型繁多，载运情况也相当复杂。结构设计时不可能对每一种情况都进行计算，而是按照一种制定出的统一的标准荷载进行设计。这种荷载是经过统计分析制定出来的，它既能概括当前各种类型车辆的情况，又必须考虑到将来交通发展的情况。
1．铁路标准荷载制
我国铁路桥涵设计使用的标准荷载，称为“中华人民共和国铁路标准活载”，简称为“中—活载”。它包括普通活载和特种活载两种，其形式如图11-20所示。一般设计时采用普通活载，它代表一列火车的重量，前面五个集中荷载代表一台机车的五个轴重，中部一段30m长的均布荷载代表煤水车和与其相联挂的另一台机车与煤水车的平均重量。后面任意长的均布荷载，代表车辆的平均重量。特种活载代表某些机车、车辆的较大轴重。特种活载虽轴重较大，但轴数较少，故仅对小跨度桥梁(约7m以下)控制设计。
图11-20
使用中—活载时，可由图式中任意截取，但不得变更轴间距。列车可由左端或右端进入桥涵，视何种方向产生更大的内力为准。图11-21所示为单线上的荷载，若桥梁是由两片主梁组成，则单线上每片主梁承受图11-20所示荷载的一半。
2．公路标准荷载制
我国公路桥涵设计所使用的标准荷载有计算荷载和验算荷载两种。计算荷载以汽车车队表示，分别为汽车-10级、汽车-15级、汽车-20级及汽车-超20级四个等级。车队中的汽车有两种，一种是主车，如汽车-10级中主车载重为100kN，轮压分别为30kN和70kN(图11-21)。另一种车是重车，重车的载重超过该级中主车的载重量，在汽车-10级中重车载重150kN，轮压分别为50kN及100kN。
各级汽车车队的纵队排列情况如图11-21所示。各车辆之间的距离可随计算需要任意变更但不得小于图示车辆之间的距离。在每个车队中主车的数目亦可随计算需要任意布置，但重车只能安排一辆。设计中究竟选用哪一汽车等级，应根据结构设计任务而定。
图11-21
验算荷载以履带车、平板挂车表示。关于履带车及平板挂车的纵向排列和横向布置，详见中华人民共和国交通部部颁标准《公路工程技术标准》，编号JTJ001-97(1997年人民交通出版社)。
§11-9 最不利荷载位置
在移动荷载作用下，结构上某一量值S是随着荷载位置的变化而变化的。在结构设计中，需要求出量值S的最大正值Smax和最大负值Smin(也称最小值)作为设计的依据。为此，必须首先确定产生某一量值最大值(或最小值)时的荷载位置，亦即该量值的最不利荷载位置。最不利荷载位置确定后，即可按本节前述方法计算出该量值的最大值(或最小值)。影响线最主要的应用就在于用它来确定最不利荷载位置。
下面讨论在不同的荷载作用下，最不利荷载位置的确定方法。
1．单个集中荷载
此时，可凭直观得出：Smax=Fymax, Smin=Fymin(图11-22)。
图11-22 图11-23
2．可任意分割的均布荷载(如人群、货物)
由式(11-4)可知S=q·Aω，显然，将荷载布满影响线所有正面积的部分，则产生Smax；反之，将荷载布满对应影响线所有负面积的部分，则产生Smin(图11-23)。
3．行列荷载
行列荷载是指一系列间距不变的移动集中荷载(也包括均布荷载)。如中—活载、汽车车队等，其最不利荷载位置难以由直观得出，只能通过寻求S的的极值条件来解决求Smax的问题。一般分两步进行：
1) 求出使量值S达到极值的荷载位置。该荷载位置叫做荷载的临界位置。
2) 从荷载的临界位置中找出荷载的最不利位置，亦即从S的极大值中找最大值，从极小值中找最小值。
（1）临界位置的判定
设某量值S的影响线如图11-24(a)所示为一折线形，各段直线的倾角分别为α1、α2、…αn。取坐标轴x向右为正，y轴向上为正，倾角α以逆时针转动为正。现有行列荷载作用于图11-24(b)所示位置，此时产生的量值S1为
图11-24
S1=FR1y1+FR2y2+…+FRnyn=ΣFRiyi
这里y1、y2、…yn分别为各段直线范围内荷载合力FR1、FR2、…FRn对应的影响线的竖标。当整个荷载组向右移动微小距离Δx(向右移动Δx为正)。则此时产生的量值S2为
S2=FR1(y1+Δy1)+FR2(y2+Δy2)+…+FRn(yn+Δyn)
量值S的增量为
ΔS=S2-S1=FR1Δy1+FR2Δy2+…+FRnΔyn
=FR1Δxtanα1+FR2Δxtanα2+…+FRnΔxtanαn
=ΔxΣFRitanαi
亦即
ΔS/Δx=ΣFRitanαi
由数学可知，函数的一阶导数为零或变号处函数可能存在极值，如图11-25所示。其中图11-25(a)是分布荷载的极值条件，后一种则用于集中荷载，此时，极值两边的导数必定符号相反。
可知，使S成为极大值的条件是：荷载自该位置向左或向右移动时，量值S均应减小或保持不变，即ΔS<0。由于荷载向左移动时Δx＜0，而向右移动时Δx＞0，故使S成为极大值的条件为
图11-25
荷载稍向左移： ΣFRitanαi>0
荷载稍向右移： ΣFRitanαi<0 (11-5)
同理，使S成为极小值的条件应为
荷载稍向左移： ΣFRitanαi<0
荷载稍向右移： ΣFRitanαi>0 (11-5’)
若只讨论ΣFRitanαi≠0的情况，可得如下结论：当荷载组向左或向右移动微小距离时，ΣFRitanαi必须变号，S才产生极值。
下面讨论在什么情况下ΣFRitanαi才有可能变号。由于tanαi是影响线中各段直线的斜率，是常数，并不随荷载位置而改变，因此，要使ΣFRitanαi改变符号，只有各段内的合力FRi改变数值才有可能。而要使FRi改变数值，只有当某一个集中荷载正好作用在影响线的某一顶点(转折点)处时，才有可能。当然，并不是每个集中荷载位于影响线顶点时都能使ΣFRitanαi变号。我们把能使ΣFRitanαi变号的荷载，亦即使S产生极值的荷载叫临界荷载。此时相应的荷载位置称为临界位置。这样，式(11-5)及式(11-6)称为临界位置的判别式。
一般情况下，临界位置可能不止一个，因此S的极值也不止一个，这时需要将各个S的极值分别求出，再从中找出最大(或最小)的S值。至于哪一个荷载是临界荷载，则需要试算，看将该荷载置于影响线某一顶点处是否能满足判别式。为了减少试算次数，可从以下两点估计最不利荷载位置：
(1) 将行列荷载中数值较大，且较密集的部分置于影响线的最大纵距附近。
(2) 位于同符号影响线范围内的荷载应尽可能的多。
（2）确定最不利荷载位置的步骤
由以上分析可知，确定最不利荷载位置的一般步骤如下：
1) 从荷载中选定一个集中力FRi，使它位于影响线的一个顶点上。
2) 令荷载分别向左、右移动(即当FRi在该顶点稍左或稍右)时，分别求ΣFRitanαi的数值，看其是否变号(或由零变为非零，由非零变为零)。若变号，则此荷载位置为临界位置。
3) 对每一个临界位置求出S的一个极值，再找出最大值即为Smax，找出最小值即为Smin。与产生该最大值及最小值所对应的荷载位置，即为最不利荷载位置。
例11-2 试求图11-26(a)所示简支梁在中—活载作用下截面C
的最大弯矩。
解： 首先作出MC影响线如图11-26(b)所示。由图求得各段
斜率为
tanα1=5/8,tanα2=1/8,tanα3=-3/8
其次，由式(11-5)通过试算确定临界位置。
1.先考虑列车从右向左开行时的情况。
(1) 将轮4置于影响线顶点E处试算，如图11-26(c)所示。
由判别式(11-5)，有
图11-26
荷载稍左移：ΣFRitanαi=220×5/8
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