图上非线性波动方程解的爆破_刘璐璐.pdf

DOI:1019392/jcnki1671-7341202318007图上非线性波动方程解的爆破刘璐璐韩 柳吕家鑫*王浩东张雪丽新疆理工学院理学院新疆阿克苏843000摘要:图作为一种离散结构，可以通过一些有意义的连接来表示离散对象的相互关系，因此，在实际应用中可以将理论模型离散化，是数学、生物学、社会学等领域运用数值模拟解决实际问题的重要工具。图上的偏微分方程可应用于图像分割、动力系统等领域，是人们所关注的热点话题。而图上偏微分方程解的存在性、唯一性和渐近行为等一些性质已经受到众多学者的关注，并得到了大量的研究成果。本文在相关学者研究的基础上用能量方法证明了图上非线性波动方程解的爆破现象，并得出解的爆破时间的上界估计。关键词:图上;非线性;波动方程;爆破中图分类号:O175文献标识码:AAbstract:As a discrete structure，the graph can represent the interrelationship of discrete objects through some meaningfulconnections，so the theoretical model can be discretized in practical applications，and it is an important tool for using numericalsimulation to solve practical problems in mathematics，biology，sociology and other fieldsThe partial differential equations on thegraph can be applied to image segmentation，dynamical systems and other fields，and are a hot topic of concernSome propertiessuch as the existence，uniqueness and asymptotic behavior of partial differential equation solutions on graphs have attracted the at-tention of many scholars and obtained a large number of research resultsIn this paper，based on the research of relevant scholars，the explosion phenomenon of the solution of the nonlinear wave equation on the graph is proved by energy method，and the upperbound estimate of the burst time of the solution is obtainedKeywords:On the graph;Nonlinear;Wave equation;Blow-up1 概述偏微分方程最早在 18 世纪研究微积分对弦振动的相关力学问题当中提出，经过多年的研究，偏微分方程在理论和研究方面都取得了丰硕的成果。在最初的发展过程中，偏微分方程在经典意义下的解需具备该方程的各阶连续偏导数，这在物理应用中有许多局限，所以 Schwartz 建立了广义函数论上的偏微分方程理论，在此基础上推动偏微分方程的快速发展。在 20 世纪 60 年代，偏微分方程理论在其他数学分支中得到了推广和使用，并形成了以偏微分方程理论为基础的泛函分析等近代理论。图是作为了解离散型对象的重要工具，它在数学、生物学、计算机科学等领域具有重要的作用;著名的哥尼斯堡七桥问题、四色定理问题当中都包含了图论的相关内容。在现实生活中，各个学科领域都以图为桥梁，将理论问题离散化，进而进行数值模拟解决实际问题，因此，图上的偏微分方程问题的研究也称为一个热点话题。图上的偏微分方程可应用于图像分割、动力系统等领域，是人们所关注的热点话题，图上的偏微分方程解的存在性、唯一性等一些性质也逐渐引起众多学者的重视。2005 年，Chung S Y、Berenstein C A1 在图上函数的基础上引入了积分、方向导数、梯度等基本概念，并定义离散型拉普拉斯算子，从而讨论了 Laplacian 方程解的性质及其反问题。2007 年，Chung S Y、Chung Y S2 又研究了图上的热传导方程和波动方程，并利用 扩散核得出方程初边值问题解的性质。2008 年，Elmoataz A、Lezoray O和 Bougleux S3 从图上的能量泛函的极小化出发，引入了图上的 Laplacian 算子并将其应用于图像去噪问题。Wojciechowski K4 研究了无限局部有限连通图上热核的随机完备性。Chung Y S、Lee Y S、Chung S Y5 证明了图上半线性热方程解在初值为非负且边界值消失的情况下方程非平凡解的大时间行为，并给出方程的物理解释。王坤、辛巧6 研究了图上的pLaplacian 算子 Cauchy 问题解的性质，给出了一个图上的 pLaplacian 方程的解析解论证了理论上的结果;并对另一个图上的 pLaplacian 方程进行数值模拟验证理论结果。王坤、辛巧在文献 7中讨论了图上带有可变指数吸收项的热方程解的性质，并得到了变指数 q(x)1 时，方程解在有限时间熄灭，变指数q(x0)1 时方程解有严格正性，其中 x0是图上的内部顶点。辛巧、许璐、王安平8 研究了无限图上带有吸收项的热方程解的性质，利用能量方法和比较原理证明了带吸收项的热方程在 q1 解熄灭，q1 时保持严格正性;同时还讨论了非平凡解的大时间行为。Xin Q、Xu L、Mu C 在文献91科技风 2023 年 6 月科教论坛 9 中又讨论了具有 Dirichlet 边界条件和反应项的图上-热方程的爆破现象。国内外其他学者也对图上偏微分方程解的渐近行为有多方面的研究，具体可参考文献 10-13。综上所述，图上的偏微分方程受到国内外许多学者的关注，并得出理论成果，而偏微分方程中非线性波动方程解的爆破行为以及爆破时间也是人们所感兴趣的话题，Glassey T 在文献 14 中讨论了非线性函数 f(u)在足够光滑的条件下波动方程解的爆破现象，并建立一个特征函数得出爆破时间的上界估计。本文在文献 14 的基础上讨论图上的非线性波动方程解的爆破行为，utt(x，t)u(x，t)=f(u)(x，t)S 0，T)u(x，t)=0(x，t)S 0，T)u(x，0)=u0(x)，ut(x，0)=u1(x)xS(1)并得出解的爆破时间的上界估计。本文将引用文献 1中图上微积分的符号，设 G 是有限、简单的连通图，V 表示图 G 的顶点集，它是由顶点集的内部 S 与顶点集的边界S 组成，即 V=SS，E 表示图 G的边集。将图上的积分定义为Vu(x)=xVu(x)，其中u(x)C(V)，C(V)表示定义图 G 的顶点集 V 上的全体函数;用 表示 Laplacian 算子，u(x，t)=yV(x，y)(u(y，t)u(x，t)，其中 表示图 G 边上的权重函数，即 VV 0，)，并满足下面三个条件:(1)对任意的 xV，(x，x)=0;(2)对任意的 x，yV，若(x，y)E，则(x，y)=(y，x)0;(3)若(x，y)E，则(x，y)=0。注:文献 14 作者研究了连续型波动方程解的爆破性质，本文将文献 14的结果推广到图上的波动方程，并得出方程解的爆破性质以及爆破时间的上界估计。2 波动方程解的爆破为了方便讨论解的爆破现象，我们先引出下面三个引理。引理 115 设 (x)是一个特征函数，且 (x)=(x)+(x)=0，xS(x)=0，xS，函数具有 N 个非负的实特征根 i，其中每个特征根对应的特征函数表示为 i(x)0，xS。引理 214 令 uC2，为非负常数，则(1)对任意的 xS，u(x，0)，ut(x，0)，其中=S(x)u(x，0)dx，=S(x)ut(x，0)dx;(2)设 f(s)的下界是一个局部的 Lipschitz 函数，凸函数 g(s)满足 g(s)s0，且 s;当 s+时，g(s)快速增长使得 T0=2+2s2+2sg()d12ds 收敛。引理 3 设(t)C2，满足(t)h(t)，(t0)，且(0)=0，(0)=0，对任意的 s 有 h(s)0，当t 0，T)，则(1)(t)存在，并且(t)0;(2)t(t)2+2sh()d12ds。T 为(t)的存在时间。证明:假设(1)不成立，令 t=t1为且(t1)=0，通过微分不等式可得:(t)(0)+t0h(s)ds使得 0=(t1)+t10h(s)ds。从定义中的 t1可得(s)，其中 0 s t1。这与引理3 条件矛盾，故(1)得证。为了能够证明(2)，利用(1)的结果并将不等式两边同乘以(t)可得:(t)(t)(t)h()，将上式变形可得ddt12(t)2(t)h()d()0。因此，(t)22+2(t)h()d。又因为(t)0，通过变量分离和积分可得(2)。定理 1 设 uC2，当(1)的初值条件足够大时，方程在有限时间内爆破，即 sup0tT0u(x，t)=+。证明:将(x)标准化，使得(x)dx=1，令(t)=S(x)u(x，t)dx，由格林公式可得:(t)=Sutt(x，t)dx=Sudx+Sf(u)dx。(2)首先，先计算上述右式第二项Sf(u)dx，由 Jensen 不等式可得:Sf(u)dxSg(u)dxg(Sudx)=g()(3)再对(2)右边第一项进行计算，可得:xSu(x，t)(x)=xSyV(x，y)(u(y，t)u(x，t)(x)=xSyS(x，y)(u(y，t)u(x，t)(x)+xSyS(x，y)(u(y，t)u(x，t)(x)=xSyS(x，y)(u(y，t)u(x，t)(x)xSyS(x，y)u(x，t)(x)=12xSyS(x，y)(u(x，t)u(y，t)(y)+12xSyS(x，y)(u(y，t)u(x，t)(x)02科教论坛科技风 2023 年 6 月xSyS(x，y)u(x，t)(x)=12xSyS(x，y)(u(y，t)u(x，t)(y)(x)xSyS(x，y)u(x，t)(x)=xSyS(x，y)u(x，t)(y)(x)xSyS(x，y)u(x，t)(x)=xSyS(x，y)u(x，t)(y)(x)+xSyS(x，y)u(x，t)(y)(x)=xSyV(x，y)u(x，t)(y)(x)=xS(x)u(x，t)=xS(x)u(x，t)=(t)(4)联立(2)、(3)、(4)式可得+g()接下来，令 h()=+g()，利用引理 3 的(2)中可得t(t)2+2sh()d12ds=(t)2s2+2+2sg()d12ds(0)=，0(0)=，0 从而(t)是有限时间t0T0的奇点，且T0=2+2s2+2sg()d12ds，方程在有限时间内 T T0爆破。最后，由(t)0 可知(t)=(t)=S(x)u(x，t)dx supxVu(x，t)S(x)dx=supxVu(x，t)所以，方程在有限时间内发生爆破现象。本文主要讨论了图上波动方程解的爆破行为，并给得出解的爆破时间的上界估计。通过本文的问题还可进一步讨论波动方程解的爆破时间的下界估计，以及解的具体表达式研究。参考文献:1Chung S Y，Berenstein C Aharmonic functionsand inverse conductivity problems on networksJ SIAM 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