4.第四节--换元积分法.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第四节 换元积分法,第五章,不定积分,一、第一类换元法,二、第二类换元法,即 是 的一个原函数,。,设 ，则由复合函数的求导法则,一、第一类换元法,定理1,设,具有原函数 ，可导，,则有,证：,所以有,上面的定理告诉我们，在求 时，如果被积表达式,可以化为,而,的原函数 可以求出,，则可设 ，于是,不定积分,显然不等于 ，这是因为,。,从上述可知：第一类换元法的基本思想就是将被积函数凑出一个微分，使凑微分后的被积函数易于求出其原函数,。,例1,求,解：,但被积表达式可以整理为,且,因此，设 ，于是,令,，于是,例2,求,解：,例3,求,因此，令 ，于是,由于,解：,例4,求,因此，设 ，于是,类似地可得,解：,由于,例5,求,因此，令,，,于是,在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量,u,。,解：,由于,例6,在上例中，实际上已经用了变量代换 ，并,在求出积分 之后，将 代回，只是没,有把这些步骤写出来。,解：,例7,求,解：,例8,求,解：,例9,求,解：,例10,求,所以,由于 ，,解：,例11,求,解：,类似地，可求出,例12,解：,二、第二类换元法,上面讲的第一类换元法是通过凑微分,的途径，把积分,化为积分,，其中,。如果 可以求出，,原积分就可以求出。,但是，我们也常常会遇到相反的情形，即对于,不易求出,，但适当选择变量代换,，,得,而 的原函数可以求出，设为 ，,即,这种积分方法称为,第二类换元法,。,如果 存在反函数 ，则有,由假设 ，,又由复合函数及反函数微分法，,有,定理2,设 单调可微,，且 ，若,，则,。,其中,是 的反函数,。,即 是 的一个原函数，于是,证：,这个定理告诉我们：对于积分 ，可以作变量代换 化为积分变量为,t,的积分,，积分后再用,的反函数,回代即可。,设 ，即,，,则,，,于是,例1,求,解：,例,2,求,设 ，,即 ，则,，,于是,解：,为了消去根号，可以设 ，则,例,3,求,于是,解：,将 ，,，,代入上式，即得,（其中 ）。,为了消去根号，可以设,，,则,，,例4,求,解：,可以作辅助三角形,便有,，,所以,例5,求,则 ，,于是,解：,与上两例类似，也是为了消去根号，可以设,为了把结果换成,x,的函数，可以根据,作辅助三角形，,（其中 ）。,从而有 所以，,