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第3章 立体表面基本元素及基本体的投影

点、线、面是构成自然界中一切有形物体（简称形体）的基本几何元素，它们是不能脱离形体而孤立存在的。基本体是指形状简单且规则的形体，任何机件都可以看成是由若干个基本体组合而成的。因此，学习和掌握其投影特性和规律，能够为正确理解和表达形体打下坚实的基础。
3．1点的投影
点是最最基本的几何元素，为进一步研究正投影的规律，首先就要从点的投影开始谈起。
3．1．1点的三面投影及其规律
将空间点A放置在三投影面体系中，过点A分别作垂直于H面、V面、W面的投影线，投影线与H面的交点（即垂足点）a称为A点的水平投影（H投影）；投影线与V面的交点a′称为A点的正面投影（V投影）；投影线与W面的交点a″称为A点的侧面投影（W投影）。
在投影图中，统一规定：空间点用大写字母表示，其在H面的投影用相应的小写字母表示；在V面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示；在W面投影用相应的小写字母右上角加两撇表示。如图3-1a中，空间点A的三面投影分别用a、a′、a″表示。

图3-1 点的三面投影

按前述规定将三投影面展开，就得到点A的三面投影图，如图3-1b所示。在点的投影图中一般只画出投影轴，不画投影面的边框，如图3-1c所示。
在图3-1a中，过空间点A的两条投影线Aa和Aa′所构成的矩形平面Aaaxa′与V面和H面互相垂直并相交，因而它们的交线aax 、a′ax、OX轴必然互相垂直且相交于一点ax。当V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°而与V面在同一平面时，a′、ax、a三点共线，即a′axa成为一条垂直于OX轴的直线，见图3-1b。同理可证，连线a′aza″垂直于OZ轴。
在图3-1a中，Aaaxa′是一个矩形平面，线段Aa表示A点到H面的距离，Aa=a′ax。线段A a′表示A点到V面的距离，A a′=aax；同理可得，线段A a″表示A点到W面的距离，A a″=aay。ay在投影面展开后，被分为ayH和ayw两个部分，所以aaYh⊥OYH, a″ayw⊥OYW。
通过以上的分析，可得出点的投影特性如下：
（1）点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
a′a⊥OX，即A点的V和H投影连线垂直于X轴；
a′a″⊥OZ，即A点的V和W投影连线垂直于Z轴；
aaYh⊥OYH，a″ayw⊥OYW，oaYh=oayw
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
aax= a″az= A a′,反映A点到V面的距离；
a′ax= a″ayw=Aa, 反映A点到H面的距离；
a′az= aaYh=Aa″, 反映A点到W面的距离；
根据上述投影特性可知：由点的两面投影就可确定点的空间位置，故只要已知点的任意两个投影，就可以运用投影规律求出该点的第三个投影。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″，如图3-2a所示。
解: 作图步骤如下
（1）过a′引OZ轴的垂线a′az，所求a″必在这条延长线上。
（2）在a′az的延长线上截取az a″= aax，a″即为所求。或以原点O为圆心，以aax为半径作弧，在向上引线，如图3-2d箭头所示；也可以过原点O作45°辅助线，过a作aaYH⊥OYH并延长交所作辅助线于一点，过此点作OYW轴垂线交a′az于一点，此点即为a″，如图3-2e箭头所示。

图3-2 求点的第三投影

3．1．2点的投影与其直角坐标的关系
若将三面投影体系中的三个投影面看作是直角坐标系中的三个坐标面，则三条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。如图3-3所示：空间点Ｓ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示，即：
空间点Ｓ到Ｗ面的距离，等于点Ｓ的Ｘ轴坐标，即
空间点Ｓ到Ｖ面的距离，等于点Ｓ的Ｙ轴坐标，即
空间点Ｓ到Ｈ面的距离，等于点Ｓ的Ｚ轴坐标，即

图3-3 点的投影与其直角坐标的关系

由此可见，若已知点的直角坐标，就可以作出点的三面投影。而点的任何一面投影都反映了点的两个坐标，点的两面投影即可反映点的三个坐标，也就确定了点的空间位置。因而，若已知点的任意两个投影，就可以作出点的第三个投影。
【例3-2】 已知点A(50,40，45)，作其三面投影图。
解:作图步骤如下：
（1）方法一 如图3-4a所示。
1) 在投影轴OX、OYH和OYW、OZ上，分别从原点O截取50、40、45mm,得点ax、ayH和ayW、az。
2) 过ax、ayH、ayW、az点，分别做投影轴OX、OYH、OYW、OZ的垂线，就交得A点的三面投影a、a′、a″。
（2）方法二 如图3-4b所示。
1）在OX轴上，从O点截取50mm,得ax点。
2）过ax点作OX轴的垂线，在此垂线上，从ax点向下截取40mm,得a点，从 ax点向上截取45mm，得a′点。
3）在OYH和OYW轴之间作45°辅助线，从a点作OYH的垂线与45°线交得ao点，过ao作OYW轴垂线，过a′作OZ轴垂线，与过ao点作出的OYW的垂线交得a″点。

图3-4 已知点的坐标及其三面投影

3．1．3特殊位置点的投影
1．投影面上的点
当点的三个坐标中有一个坐标为零时，则该点在某一投影面上。如图3-5a所示，A点在H面上，B点在V面上，C点在W面上。对于A点而言，其H投影a与A重合，V投影a′在OX轴上，W投影a″在OYW轴上。同样可得出B、C两点的投影，如图3-5b所示。

图3-5 投影面上的点

2．投影轴上的点
当点的三个坐标中有两个坐标为零时，则该点在某一投影轴上。如图3-6a所示，D点在X轴上，E点在Y轴上，F点在Z轴上。对于D点而言，其H投影d、V投影d′都与D点重合，并在OX轴上；其W投影d″与原点O重合。同样可得出E、F两点的投影，如图3-6b所示。

图3-6 投影轴上的点

3．1．4两点的相对位置
空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。
空间两点的相对位置可以根据其坐标关系来确定：x坐标大者在左，小者在右；y坐标大者在前，小者在后；z坐标大者在上，小者在下。也可以根据它们的同面投影来确定：V投影反映它们的上下、左右关系，H投影反映它们的左右、前后关系，W投影反映它们的上下、前后关系。
若要知道空间两点的确切位置，则可利用两点的坐标差来确定。
如图3-7a所示，已知A、B两点的三面投影。xA﹥xB表示A点在B点之左，yA﹥yB表示A点在B点之前，zA<zB表示A点在B点之下，即A点在B点的左、前、下方, 如图3-7b所示。若已知A、B两点的坐标，就可知道A点在B点左（右）方xA-xB处(负数为反方向)，A点在B点前（后）方yA-yB处(负数为反方向)，A点在B点上（下）方zA-zB处(负数为反方向)。反之如果已知两点的相对位置，以及其中一点的投影，也可以作出另一点的投影。

图3-7 根据两点的投影判断其相对位置

当两个点处于某一投影面的同一投影线上，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合，这个重合的投影称为重影，空间的两点称为重影点。

表3-1 在投影面的重影点

在表3-1中，当A点位于B点的正上方时，即它们在同一条垂直于H面的投影线上，其H投影a和b重合，A、B两点是H面的重影点。由于A点在上，B点在下，向H面投影时，投影线先遇点A，后遇点B,所以点A的投影a可见，点B的投影b不可见。为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字母加括号表示，如重影点a(b)。点A和点B为H面的重影点时，它们的x、y坐标相同，z坐标不同。
同理，当C点位于D点的正前方时，它们是相对于V面的重影点，其V投影为c′(d′)。当E点位于F点的正左方时，它们是相对于W面的重影点，其W投影为e″(f″)。
3．2直线的投影
两点可以决定一直线，直线的长度是无限延伸的。直线上两点之间的部分（一段直线）称为线段，线段有一定的长度。本书所讲的直线实质上是指线段。
3．2．1直线的三面投影
直线的投影在一般情况下仍是直线，在特殊情况下，其投影可积聚为一个点。直线在某一投影面上的投影是通过该直线上各点的投射线所形成的平面与该投影面的交线。作某一直线的投影，只要作出这条直线两个端点的三面投影，然后将两端点的同面投影相连，即得直线的三面投影。如图3-8所示：

图3-8 直线的三面投影

3．2．2直线上点的投影
如果点在直线上，则点的三面投影就必定在直线的三面投影之上。这一性质称之点的从属性。
一直线上的两线段之比，等于其同面投影之比。这一性质称之点的定比性。
如图3-9所示，已知AB的两投影，C点在AB上且分AB为AC：CB=2：5，求N点的两投影。

图3-9 求直线上点的投影

3．2．3各种位置直线的投影特性
按直线与三个投影面之间的相对位置，将空间直线分为两大类：即特殊位置直线和一般位置直线。特殊位置直线又分为投影面平行线和投影面垂直线。直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线对H面、V面、W面的倾角分别用希腊字母α、β、γ表示。
1．投影面平行线
平行于一个投影面而与另外两个投影面都倾斜的直线，称为投影面平行线。投影面平行线可分为以下三种：
(1)平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线称为水平线，如表3-2中AB线。
(2)平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线称为正平线，如表3-2中CD线。
(3)平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线称为侧平线，如表3-2中EF线。

表3-2 投影面平行线

下面以水平线为例说明投影面平行线的投影特性。
在表3-2中，由于水平线AB平行于H面，同时又倾斜于V、W面，因而其H投影ab与直线AB平行且相等，即ab反映直线的实长。投影ab倾斜于OX、OYH轴，其与OX轴的夹角反映直线对V面的倾角β的实形，与OYH轴的夹角反映直线对W面的倾角γ的实形，AB的V面投影和W面投影分别平行于OX、OYW轴，同时垂直于OZ轴。同理可分析出正平线CD和侧平线EF的投影特性。
综合表3-2中的水平线、正平线、侧平线的投影规律，可归纳出投影面平行线的投影特性如下：
（1）投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映空间直线与另外两个投影面的倾角。
（2）其余两个投影平行于相应的投影轴，长度小于实长。
2．投影面垂直线
垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线，它分为三种：
(1)垂直于H面的直线称为铅垂线，如表3-3中AB直线。
(2)垂直于V面的直线称为正垂线，如表3-3中CD直线。
(3)垂直于W面的直线称为侧垂线，如表3-3中EF直线。
下面以铅垂线为例说明投影面垂直线的投影特性。
在表3-3中，因直线AB垂直于H面，所以AB的H投影积聚为一点a(b)；AB垂直于H面的同时必定平行于V面和W面，所以由平行投影的显实性可知a′b′=a″b″=AB，并且a′b′垂直于OX轴，a″b″垂直于OYW轴，它们同时平行于OZ轴。

表3-3 投影面垂直线

综合表3-3中的铅垂线、正垂线、侧垂线的投影规律，可归纳出投影面垂直线的投影特性如下：
(1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
(2)直线的另外两个投影平行于相应的投影轴，且反映实长。
【例3-3】 已知直线AB的水平投影ab，AB对H面的倾角为30°，端点A距水平面的距离为10，A点在B点的左下方，求AB的正面投影a′b′，如图3-10a所示。

图3-10 作正平线的V面投影

解：
(1)作图分析
由已知条件可知，AB的水平投影ab平行于OX轴，因而AB是正平线，正平线的正面投影与OX轴的夹角反映直线与H面的倾角。A点到水平面的距离等于其正面投影a′到OX轴的距离，从而先求出a′。
(2)作图步骤
1)过a作OX轴的垂线aax，在aax的延长线上街去a′ax=10，如图3-10b所示。
2)过a′作与OX轴成30°的直线，与过b作OX轴垂线bbx的延长线相交，因A点在B点的左下方，故所得交点即为b′，连接a′b′即为所求，如图3-10c所示。
3．一般位置直线
与三个投影面都倾斜（即不平行又不垂直）的直线称为一般位置直线，简称一般线。
从图3-11可以看出，一般位置直线具有以下的投影特性：
(1)直线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，其投影与相应投影轴的夹角不能反映其与相应投影面的真实的倾角。
(2)三个投影的长度都小于实长。

图3-11 一般位置直线

3．2．4两直线的相对位置
空间两直线的相对位置可分为三种：两直线平行、两直线相交、两直线交叉。前两种直线又称为同面直线，后一种又称为异面直线。其投影特点如下；
1. 平行两直线：
性质：其同面投影平行或重合。如图3-12所示。

图3-12 平行两直线的投影

2. 相交两直线：
性质：其同面投影相交或重合，且交点符合直线上点的投影规律。如图3-13所示，AB与CD的交点E的投影符合点的投影规律，其投影连线垂直于相应的投影轴。

图3-13 相交两直线的投影

3．交叉两直线：
性质：其同面投影相交或平行，且交点不符合直线上点的投影规律。如图3-14所示。

图3-14 交叉两直线的投影

3．3平面的投影
3．3．1平面的表示方法
1．用几何元素表示平面
平面可用下列任何一组几何元素来确定其空间位置:
(1)不在同一直线上的三点[A、B、C]，如图3-15a。
(2)一直线和该直线外一点[BC、A]，如图3-15b。
(3)相交两直线[AB×AC]，如图3-15c。
(4)平行两直线[AB∥CD]，如图3-15d。
(5)任意平面图形[△ABC]，如图3-15e。
在投影图上可以用上述任何一组几何元素的投影表示平面。

图3-15 平面的表示方法

以上五种表示平面的方式可以互相转化，第一种是最基本的表示方式，后四种都是由其演变而来的，因为我们知道：在空间不属于同一直线上的三点能唯一地确定一个平面。对同一平面来说，无论采用哪一种方式表示，它所确定的空间平面的位置是始终不变的。需要强调的是：前四种只确定平面的位置，第五种不但能确定平面的位置，而且能表示平面的形状和大小，所以一般常用平面图形来表示平面。
2．用迹线表示平面
平面的空间位置还可以由它与投影面的交线来确定，平面与投影面的交线称为该平面的迹线。如图3-16a所示，P平面与H面的交线称为水平迹线，用PH表示； P平面与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；P平面与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。

图3-16 平面的迹线表示法

一般情况下，相邻两条迹线相交于投影轴上，它们的交点也就是平面与投影轴的交点。在投影图中，这些交点分别用PX、PY、PZ来表示。如图3-16a所示的平面P,实质上就是相交两直线PH与PV所表示的平面，也就是说三条迹线中任意两条可以确定平面的空间位置，其投影如图3-16b所示，。
由于迹线位于投影面上，它的一个投影与自身重合，另外两个投影与投影轴重合，通常用只画出与自身重合的投影并加标记的办法来表示迹线，凡是与投影轴重合的投影均不标记。特殊位置平面中有积聚性的迹线两端用短粗实线表示，中间用细实线相连，并标出迹线符号。
3．3．2各种位置平面的投影特性
根据平面与投影面的相对位置的不同，将空间平面分为两大类：即特殊位置平面和一般位置平面。特殊位置平面又分为投影面平行面和投影面垂直面。
1．投影面平行面
平行于一个投影面（同时必然垂直于另外两个投影面）的平面称为投影面平行面，它分为三种：
(1)平行于H面的平面称为水平面，如表3-4中的平面P。
(2)平行于V面的平面称为正平面，如表3-4中的平面Q。
(3)平行于W面的平面称为侧平面，如表3-4中的平面R。
在表3-4中，水平面P平行于H面，同时与V面、W面垂直。其水平投影反映图形的实形，V投影和W投影均积聚成一条直线，且V投影平行于OX轴，W投影平行于OYW轴，它们同时垂直于OZ轴。同理可分析出正平面、侧平面的投影情况。
综合表3-4中水平面、正平面、侧平面的投影规律，可归纳出投影面平行面的投影特性如下：
(1)平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；
(2)平面在另外两个投影面上的投影积聚为一直线，且分别平行于相应的投影轴。

表3-4 投影面平行面

2．投影面垂直面
垂直于一个投影面，并且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。它也分为三种情况：
(1)垂直于H面，倾斜于V面和W面的平面称为铅垂面，如表3-5中的平面P。
(2)垂直于V面，倾斜于H面和W面的平面称为正垂面，如表3-5中的平面Q。
(3)垂直于W面，倾斜于H面和V面的平面称为侧垂面，如表3-5中的平面R。

表3-5 投影面垂直面

平面与投影面的夹角称为平面的倾角，平面与H面、V面、W面的倾角分别用α、β、γ标记。在表3-5中，平面P垂直于水平面，其水平面投影积聚成一倾斜直线p，倾斜直线p与OX轴、OYH轴的夹角分别反映铅垂面P与V面、W面的倾角β和γ，由于平面P倾斜于V面、W面，所以其正面投影和侧面投影均为类似形。
综合分析表3-5中的平面Q和平面R的投影情况，可归纳出投影面垂直面的投影特性如下：
(1)平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，此直线与相应投影轴的夹角反映该平面对另外两个投影面的倾角；
(2)平面在另外两个投影面上的投影为原平面图形的类似形，面积比实形小。
以上两种特殊位置的平面如果不需表示其形状和大小，只需确定其位置，可用迹线来表示，且只用有积聚性的迹线即可。如图3-17a所示为铅垂面P，不需如图3-17b所示那样把所有迹线都画出，只需画出PH就能确定空间平面P的位置，如图3-17c所示。

图3-17 特殊位置平面的迹线表示法

【例3-4】 如图3-18a所示，已知正方形平面ABCD垂直于V面以及AB的两面投影，求作此正方形的三面投影图。

图3-18 求作正方形的三面投影

解：
(1)作图分析
由已知条件得知，正方形ABCD为一正平面，因而AB、CD边是正平线，AD、BC边是正垂线，a′b′长即为正方形各边的实长。
(2)作图步骤 如图3-18b所示。
1)过a、b分别作ad⊥ab、bc⊥ab,且截取ad=bc= a′b′。
2)连接dc即为正方形ABCD的水平投影。
3) 正方形ABCD的正面投影积聚为直线a′b′，再根据投影关系分别求出a″、b″、c″、d″，并连线，即为正方形ABCD的侧面投影。
3．一般位置平面
与三个投影面都倾斜（即不平行又不垂直）的平面称为一般位置平面，简称一般面。
如图3-19所示，△ABC是一般位置的平面，由平行投影的特性可知，△ABC的三个投影仍是三角形，但面积均小于实形。
一般位置平面的投影特性如下：
(1)三面投影都不反映空间平面图形的实形，都是原平面图形的类似形，面积比实形小；
(2)三面投影都不反映该平面与投影面的倾角。

图3-19 一般位置平面

3．3．3平面上的点和直线的投影
1．平面上的点
点在平面上的几何条件为：若点在平面内的任一已知直线上，则点必在该平面上。
2．平面上的直线
直线在平面上的几何条件为：若一直线经过平面上的两个已知点，或经过一个已知点且平行于该平面上的另一已知直线，则此直线必定在该平面上。
【例3-5】 如图3-20所示，已知平面ＡＢＣ上点Ｅ的正面投影e’，求点Ｅ的水平投影　。

图3-20 补全平面上点的投影

3．平面上的投影面平行线
平面上的投影面平行线，有平面上的水平线、正平线和侧平线三种，它们既具有平面上的直线的投影特性，又具有投影面平行线的投影特征，如图3-21a所示的直线EF，就是平面ＡＢＣ上的一条水平线, 如图3-21b所示的直线GH，就是平面ＡＢＣ上的一条正平线。平面的迹线是平面上特殊的投影面平行线,是平面与投影面的交线。

图3-21 平面上的投影面平行线的投影

3．4基本体的投影
前三节我们讨论了立体表面几何元素（点、直线和平面）的投影规律以及定位和度量问题，这是画法几何的基础。本节将用所学的知识去研究有关立体的投影问题。在生产实践中，我们会接触到各种形状的机件，这些机件的形状虽然复杂多样，但都是由一些简单的立体经过叠加、切割或相交等形式组合而成的，如图3-22所示。我们把这些形状简单且规则的立体称为基本几何体，简称为基本体。

图3-22 机件的组成
基本体的大小、形状是由其表面限定的，按其表面性质的不同可分为平面立体和曲面立体。表面都是由平面围成的立体称为平面立体（简称平面体），例如棱柱、棱锥和棱台等。表面都是由曲面或是由曲面与平面共同围成的立体称为曲面立体（简称曲面体），其中围成立体的曲面又是回转面的曲面立体，又叫回转体，例如圆柱、圆锥、球体和圆环体等。
3．4．1平面立体的投影
平面立体主要有棱柱和棱锥两种，棱台是由棱锥截切得到的。其基本形体如图３-2３所示。平面立体上相邻两面的交线称为棱线。因为围成平面立体的表面都是平面多边形，而平面图形是由直线段围成的，直线段又是由其两端点所确定。因此，绘制平面立体的投影，实际上就是画出各平面间的交线和各顶点的投影。在平面立体中，可见棱线用实线表示，不可见棱线用虚线表示，以区分可见表面和不可见表面。

图3-23 常见平面立体中的基本形体

1．棱柱
棱柱分直棱柱（侧棱与底面垂直）和斜棱柱（侧棱和底面倾斜）。棱柱上、下底面是两个形状相同且互相平行的多边形，各个侧面都是矩形或平行四边形，上下底面是正多边形的直棱柱，称为正棱柱。下面以六棱柱为例：
（1）安放位置 安放形体时要考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面。为此，将如图所示的3-24a正六棱的上、下底面平行于Ｈ面放置，并使其前后两个侧面平行于Ｖ面，则可得正六棱柱的三面投影图。
（2）投影分析 图3-24b是它的三面投影图。因为上、下两底面是水平面，前后两个棱面为正平面，其余四个棱面是铅垂面，所以它的水平投影是个正六边形，它是上、下底面的投影，反映了实形，正六边形的六个边即为六个棱面的积聚投影，正六边形的六个顶点分别是六条棱线的水平积聚投影。六棱柱的前后棱面是正平面，它的正面投影反映实形，其余四个棱面是铅垂面，因而正面投影是其类似形。合在一起，其正面投影是三个并排的矩形线框。中间的矩形线框为前后棱面反映实形的重合投影，左、右两侧的矩形线框为其余四个侧面的重合投影。此线框的上、下两边即为上、下两底面的积聚投影。它的侧面投影是两个并排的矩形线框，是四个铅垂棱面的重合投影。
（3）投影图的作图步骤
1）布置图面，画中心线、对称线等作图基准线。
2）画水平投影，即反映上下端面实形的正六边形。
3）根据正六棱柱的高，按投影关系画正面投影。
4）根据正面投影和水平投影，按投影关系画侧面投影。
5）检查并描深图线，完成作图。

图3-24 六棱柱的投影

2．棱锥
棱锥的底面为多边形，各侧面为若干具有公共顶点的三角形。当棱锥的底面是正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。下面以三棱锥为例：
（1）安放位置 将正三棱锥的底面平行于Ｈ面放置，并使其后面棱面垂直与Ｗ面，则可得三棱锥的三面投影图。
（2）投影分析 因为底面是水平面，所以它的水平投影是一个正三角形（反映实形），正面投影是一条直线（有积聚性）。连接锥顶和底面三角形各顶点的同面投影，即为三棱锥的正面和侧面投影。其中，水平投影为三个三角形的线框，它们分别表示三个棱面及底面的投影。正面投影是两个并排的三角形，它是三棱锥前面棱面的与后面棱面的重合投影。侧面投影是一个三角形，它是前面左右两棱面的重合投影，右边侧棱面是不可见的，而后面棱面因与侧立投影面垂直，其投影积聚为一条直线。
（3）作图步骤
1）布置图面，画中心线、对称线等作图基准线。
2）画水平投影。
3）根据三棱锥的高，按投影关系画正面投影。
4）根据正面投影和水平投影按投影关系画侧面投影。
5）检查、描深图线，完成作图。

图3-25 三棱锥的投影

【例3-6】 作四棱台的正投影图，如图3-26所示。
解：
（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。
2）上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。
3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小的类似形。
4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小的类似形。
5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
（2）作图
1）先作出正立面投影，向下“长对正”引铅垂线，向右“高平齐”引水平线。
2）按物体宽度作出水平投影，并向右“宽相等”引水平线至45º线，转向上作出侧面投影。
3）加深图形线。
注意作图时一定要遵守“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。

图3-26 四棱台的投影

3．平面立体上点和直线的投影
平面立体的表面都是平面多边形，在其表面上取点、取线的作图问题，实质上就是平面上取点、取线作图的应用。其作图的基本原理就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上。由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现表面投影的相互重叠，从而产生各表面投影的可见与不可见问题，因此对于表面上的点和线，还应考虑它们的可见性，判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。
立体表面取点、取线的求解问题一般是指已知立体的三面投影和它表面上某一点（线）的一面投影，要求该点（线）的另两面投影，这类问题的求解方法有：
（1）从属性法 当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的投影上，既可利用线上点的“从属性”求解。
（2）积聚性法 当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。
如图3-27a所示，在五棱柱后棱面上给出了A点的正面投影a′,在上底面上给出了B点的水平投影b′。可以利用棱面和底面投影的积聚性直接作出A点的水平投影B点正面投影，再进一步作出另外一面的投影，见图3-27b所示。

图3-27 在五棱柱的表面定点

（3）辅助线法 当点所在的立体表面无积聚性投影时，必须利用作辅助线的方法来帮助求解。这种方法是先过已知点在立体表面作一辅助直线，求出辅助直线的另两面投影，再依据点的“从属性”，求出点的各面投影。
如图3-28a所示，在三棱锥的SEG棱面上给出了点A的正面投影a′，又在SFG棱面上给出了点B的水平投影b。为了作出A点的水平投影a和B点的正面投影b′，可以运用前面讲过的在平面上定点的方法，即首先在平面上画一条辅助线，然后在此辅助线上定点。
图3-28b说明了这两个投影的画法，图中过A点作一条平行于底边的辅助线，而过B点作一条通过锥顶的辅助线，所求的投影a、b′都是可见的，再依据投影原理作出整个立体及表面点的侧面投影。

图3-28 三棱锥表面上点的投影

【例3-8】 如图3-29所示，已知三棱锥的三面投影及其表面上的线段EF的投影ef，求出线段的其它投影。
解：
（1）分析
从已知投影可知，线段EF的投影ef为可见，所以EF必在左棱面△SAB上，△SAB为一般位置平面，故可以过EF作一辅助直线ⅠⅡ,根据从属关系求出E、F点的投影。
（2）作图
1）过ef作一辅助直线12。
2）求出1′2′、1″2″。从水平投影向上作铅垂线，向右作水平线至45°线，转向上得出1″2″，再向左得出1′2′，两投影均为可见。
3）求e′f′、e″f″。从水平投影ef向上作铅垂线，得出e′f′，再向右作水平线得出e″f″，两投影均为可见。

图3-29 三棱锥表面上线的投影

3．4．2 回转体的投影
回转体的曲表面是由一母线（直线或曲线）绕定轴回转一周而形成的回转面，圆柱、圆锥、圆球和圆环是工程上常见的回转体，其回转面都是光滑曲面。
1．基本概念
（1）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成的。若是作回转运动而形成的曲面则称为回转曲面，简称回转面。
由直线作回转运动而形成的曲面称为直线回转面。如圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成（图3-30a）。圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的（图3-30b）。
由曲线作回转运动而形成的曲面称为曲线回转面。如球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成（图3-30c）。

图3-30 曲面及常见的回转体

（2）素线与轮廓线
形成回转面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。如圆柱体的素线都是互相平行的直线；圆锥体的素线是汇集于锥顶S点的倾斜线；圆球体的素线是通过球体上下顶点的半圆弧线（如图3-30所示）；
我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓线也是可见与不可见的分界线。轮廓线的确定与投影体系及物体的摆放位置有关，当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重合，这种素线称为轮廓素线。在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最后边素线、最左边素线和最右边素线。
（3）纬圆
由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆既为纬圆，如图3-30所示。应首先画出它们的轴线（用点划线表示）。
2．圆柱
（1）安放位置
如图3-31a所示为一直圆柱体，其轴线垂直于水平投影面，因而两底面互相平行且平行于水平面，圆柱面垂直于水平面。
（2）投影分析
如图3-31a所示：
H面投影：为一圆形。它既是两底面的重合投影（实形），又是圆柱面的积聚投影。
V面投影：为一矩形。该矩形的上下两条边为圆柱体上下两底面的积聚投影，而左右两条边线则是圆柱面的左右两条轮廓素线AB、CD的投影。该矩形线框表示圆柱体前半圆柱面与后半圆柱面的重合投影。
W面投影：为一矩形。该矩形上下两条边为圆柱体上下两底面的积聚投影，而左右两条边线则是圆柱面的前后两条轮廓素线EF、GH的投影。该矩形线框表示圆柱体左半圆柱面与右半圆柱面的重合投影。
（3）作图步骤
如图3-31b所示：
1）用点划线画出圆柱体各投影的轴线、中心线；
2）有直径画水平投影圆；
3）由“长对正”和高度作正面投影矩形；
4）由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。
注意：圆柱面上的AB、CD两条素线的侧面投影与轴线的侧面投影重合，它们在侧面投影中不能画出；EF和GH两条素线的正面投影与轴线的正面投影重合，他们在正面投影中不能画出。也就是说非轮廓线的素线投影不必画出。

图3-31 圆柱体的投影

3．圆锥
（1） 安放位置
圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面,如图3-32a所示。

图3-32 圆锥体的投影

（2）投影分析
如图3-32a所示,圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的：
H面投影为一圆，它是圆锥底面和圆锥面的重合投影；
V面投影为一等腰三角形，三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影，三角形的腰s′a′和s′b′分别是圆锥面上最左边素线SA和最右边素线SB的V面投影；三角形框是圆锥面前半部分和后半部分（SA和SB将圆锥面分为前后两部分）的重合投影，前半部分可见，后半部分不可见；
W面投影亦为一等腰三角形，三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影，三角形的腰s″c″和s″d″分别是圆锥面上最前边素线SC和最后边素线SD的W面投影；三角形框是圆锥左半部分和右半部分（SC和SD可将圆锥面分为左右两部分）的重合投影，左半部分可见，右半部分不可见；
（3）作图步骤
如图3-32b所示：
1）用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线；
2）画出底面圆的三面投影。底面为水平面，水平投影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长度等于底圆直径；
3）依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影。
4）画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰。
圆锥面是光滑的，和圆柱面类似，当素线的投影不是轮廓线时，均不画出。
4．圆球
（1）圆球面的特性 圆球体是由圆球面所围成的。
由于通过球心的直线都可作旋转轴，故球面的旋转轴可以根据需要确定。
（2）投影分析：
如图3-33a所示，圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直径与球径相等。H面投影的圆a是球体上半部分的球面与下半部分球面的重合投影，上半部分可见，下半部分不可见；圆周a是球面上平行于H面的最大圆A的投影。V面投影的圆b是球体前半部分球面与后半部分球面的重合投影，前半部分可见，后半部分不可见；圆周b是球面上平行于V面的最大圆B的投影。W面投影的圆c是球体左半部分球面与右半部分球面的重合投影，左半部分可见，右半部分不可见；圆周c是球面上平行于W面的最大圆C的投影。
球面上A、B、C三个大圆的其他投影均与相应的中心线重合；这三个大圆分别将球面分成上下、前后、左右两部分。
（3）作图步骤
1）用点划线画出圆球体各投影的中心线；
2）以球的直径为直径画三个等大的圆，如图3-33b所示。

图3-33 圆球体的投影

5．圆环
圆环由环面围成，其三面投影中，两个投影为长圆形（内环面用虚线表示），一个投影为同心圆。圆环的三面投影及其表面上点的投影作图过程如图3-34所示。

图3-34 圆环的投影

6．回转体上点和线的投影
曲面立体表面上的点和线的投影作图，与在平面上取点、取线的原理一样。
（1）圆柱面上的点和线
1）圆柱面上点的投影
圆柱面上的点必定在圆柱面的一条素线或一个纬圆上。当圆柱面具有积聚投影时，圆柱面上点的投影必在同面积聚投影上。
【例3-9】 如图3-35a所示，已知圆柱面上的点M、N的正面投影，求另两面的投影。
解：
（1）分析
M点的正面投影可见，又在点划线的左面，由此判断M点在左、前半圆柱面上，侧面投影可见。
N点的正面投影不可见，又在点划线的右面，由此判断N点在右、后半圆柱面上，侧面投影不可见。
（2）作图
1）求点m、m〞。过m′作素线的正立投影（可以只作出一部分），即过m′向下引铅垂线交于圆周前半部m，此点就是所求的m点；再根据投影规则作出m〞，m〞点为可见点；
2）求点n、n〞。做法与M点相同，其侧面投影不可见。

图3-35 圆柱表面上取点和取线
2）圆柱面上线的投影
【例3-10】 如图3-35b所示，已知圆柱面上的AB线段的正面投影a′b′，求其另两面投影。
解：
（1）分析
1）圆柱的轴线垂直于侧面，其侧面投影积聚为圆，正面投影、水平投影为矩形。
2）线段AB是圆柱面上的一段曲线。求曲线投影的方法是画出曲线上，诸如端点、分界点等特殊位置点及适当数量的一般位置点，并把它们光滑连接即可。
（2）作图
1)求出端点A和B的投影。利用积聚性，求得侧面投影a″、b″，再根据投影关系求出a