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正多边形的镶嵌规律(学生小论文)
(2009-04-27 22:10:48)
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杂谈
分类：学生作品
                               鹿城区临江中学   程健力
学习了《美妙的镶嵌》，我知道镶嵌的两个基本特征：(1)拼接点处的各个角之和等于360度.(2)拼接边相等.课后老师布置了作业——请同学们设计一个镶嵌图形.
这是一个非常好的作业，老师没有规定用什么图形进行镶嵌，可以任意选择图形.于是课堂上老师给我们展示了许多美丽的镶嵌图形，便浮现在我的脑海中.

    这些镶嵌图形，有的是单一多边形进行镶嵌，也有的几种多边形进行镶嵌；有的是一般多边形进行镶嵌，有的是正多边形进行镶嵌.到底是怎样的正多边形可以进行镶嵌呢？
一、探索单种正多边形镶嵌问题.
    能够镶嵌的条件之一是，拼接点处的几个角的和为360°。用单一正多边形进行镶嵌，就是要求几个正多边形的内角的和为360°.如下表：

    通过上表，我发现：要使正多边形能够进行镶嵌，必须是整数.而且我们说几个多边形能够镶嵌，当然是至少有3个多边形进行镶嵌，3个以下是不可能的.因为，多边形(这里一般是指凸多边形)的内角都是锐角，小于180度.于是：≥3
两边同时乘以n-2(∵n>2，∴n-2>0)得，2n≥3(n-2)
解得，n≤6
这样看来，表格中六边形以上的多边形是不可能进行单独镶嵌的，而能够进行单独镶嵌的多边形只有三种：
(1)6个正三角形；
(2)4个正四边形；
(3)3个正六边形.
二、探索两种正多边形镶嵌问题.
镶嵌的关键是内角的度数，所以对正多边形的内角度数必须要有所了解.为了弄清n取何值时中是整数，我在Excel中输入公式，输出60度到179度之间的正多边形内角度数，结果表示如左表，取其中内角度数是整数的多边形内角度数，结果表示成右表：

由表格可知中，当n是3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，时，是整数，共22个.
在上述的22种正多边形中可以两个组合进行镶嵌,共有以下几种:
(1)正三角形与三边以上的正多边形镶嵌.
1×60+1×300；→1×60+2×150；→1个正三角形，2个正12边形.(√)
2×60+1×240；→2×60+2×120；→2个正三角形，2个正6边形.(√)
3×60+1×180；→3×60+2×90； →3个正三角形，2个正4边形.(√)
4×60+1×120；→4×60+1×120；→4个正三角形，1个正6边形.(√)
5×60+1×30；(小于60度舍去)
(2)正四边形与四边以上的正多边形镶嵌.
1×90+1×270；→1×90+2×135；→1个正四边形，2个正8边形.(√)
2×90+1×180；→2×90+2×90；(等于90度舍去)
(3)正五边形与五边以上的正多边形镶嵌.
1×108+1×252；→1×108+2×126；→1×108+3×84；(小于108度舍去)
2×108+1×144；→2×108+1×144；→2个正五边形，1个正10边形.(√)
3×108+1×36；(小于108度舍去)
(4)正六边形与六边以上的正多边形镶嵌.
1×120+1×240；→1×120+2×120；(等于120度舍去)
设六边以上的正多边形的内角是x(x>120),所要镶嵌的图形共有n个(n≥3)则:
由      120+(n-1)x=360得,n=240/x+1
再由 n≥3得, 240/x+1≥3,
解得 x≤120
显然,对于六边以上的正多边形是无法用2种图形进行镶嵌.
因此，两种正多边形进行镶嵌只有六种：
来源：( - 正多边形的镶嵌规律(学生小论文)_春暖花开_新浪博客
(1)1个正三角形，2个正12边形；
(2)2个正三角形，2个正6边形；
(3)3个正三角形，2个正4边形；
(4)4个正三角形，1个正6边形；
(5)1个正四边形，2个正8边形；
(6)2个正五边形，1个正10边形.
三、探索三种正多边形镶嵌问题.
根据探索二的结论，可以将探索二中的正多边形分成两个不相同的正多边形，组成三种正多边形的镶嵌.
由探索二中的(1)变化出如下:
(1)1×60+2×150→1×60+2×90+1×120→1个正三角形,2个正4边形,1个正6边形；
(2)1×60+2×150→1×60+1×135+1×165→1个正三角形,1个正8边形,1个正24边形；
(3)1×60+2×150→1×60+1×140+1×160→1个正三角形,1个正9边形,1个正18边形；
(4)1×60+2×150→1×60+1×144+1×156→1个正三角形,1个正10边形,1个正25边形.
由探索二中的(2)变化出如下:
(1)2×60+2×120→2×60+1×90+1×150→2个正三角形,1个正4边形,1个正12边形.
由探索二中的(3)(4)无法变化.
由探索二中的(5)变化如下:
(1)1×90+2×135→1×90+1×108+1×162→1个正4边形,1个正4边形,1个正20边形；
(2)1×90+2×135→1×90+1×120+1×150→1个正4边形,1个正6边形,1个正12边形；
由探索二中的(6)无法变化.
因此, 三种正多边形进行镶嵌只有七种：
(1)1个正三角形，2个正4边形，1个正6边形；
(2)1个正三角形，1个正8边形，1个正24边形；
(3)1个正三角形，1个正9边形，1个正18边形；
(4)1个正三角形，1个正10边形，1个正25边形；
(5)2个正三角形，1个正4边形，1个正12边形；
(6)1个正4边形，1个正4边形，1个正20边形；
(7)1个正4边形，1个正6边形，1个正12边形.
四、探索四种或以上正多边形镶嵌问题.
根据上面的方法，我突然想到——是否还有四种正多边形进行镶嵌？或者说还有五种，甚至于六种呢？
回答是否定的,因为正三角形、正四边形、正五边形、正六边形中，四个图形的角之和为：60°+90°+108°+120°=378°>360°。
所以不可能镶嵌。
五、未能完成的探索.
当我为自己探索出16种正多边形的镶嵌而高兴时，我在网络上偶尔发现关于正多边形镶嵌的问题.
网络却给我一个很大的打击：用正多边形进行镶嵌，有17种可能.而我却只能找出16种，我无法肯定按我的这种方法，是否会遗漏某种可能.
网上介绍，这17种能镶嵌的正多边形情况，早在1924年，已被波尔亚发现.更为甚者在波尔亚之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止.
17种可能镶嵌的正多边形如下：

    在这里，我不得不承认古人的聪明，他们在100年前研究过的东西，我还是找不出来.我所探索的16种可能镶嵌的正多边形情形当中，还遗漏了内角度不是整数的一种情况：
    1个正三角形，1个正7边形，1个正42边形.这是我事先所没有考虑到的.正7边形的内角是900/7度，正42边形的内角是1200/7度，它们的和正好是300度.
    探索永无止境，虽然我没有真正弄清正多边形的镶嵌问题，但是我所经历过探究过程，给我留下永久的记忆，我会继续努力……