正余弦定理经典题型.docx

正余弦定理 15道经典基础例题
例1、（共5分，2分钟）在∆ABC中,若∠A=60°,∠B=45° ,BC=32 ,则AC=（　　）
A．43 B．23 C．3 D.32
解答:由正弦定理,可得ACsin45°=BCsin60°
所以AC=3232×22=23
可得答案B
考点: 考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆
例2、（共5分，2分钟）在∆ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a2+b2=2c2，则sinC的最小值为（ ）
A. 32 B. 22 C. 12 D. -12
解答：cosC=a2+b2-c22ab=2c2-c22ab≥c2a2+b2=12
可得答案C
考点：余弦定理，基本不等式，难度：★☆☆☆☆☆
例3、（共5分，3分钟）在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°,则BC边上的高等于( )．
A. B. C. D.
解答：设AB＝c，BC边上的高为h.
由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即7＝c2＋4－4ccos 60°，
即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．
又h＝c·sin 60°＝3×＝，故选B.
可得答案B
考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例4、（共5分，3分钟）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c,C=2B ，则cosC= ( )
A.725 B.-725 C.±725 D.2425
解答：由8b=5c,C=2B及正弦定理得，
8sinB=5sinC,sinC=sin2B,
又由正弦公式知sin2B=2sinBcosB,整理可得
8sinB=10sinBcosB,cosB=45,sinB=35，
cosC=cos2B=cos2B-sin2B=725
可得答案A
考点：正弦定理，二倍角公式，难度：★★☆☆☆☆
例5、（共5分，2分钟）在∆ABC中，AB=6,∠A=75°,∠B=45°，则AC= .
解答:由正弦定理可知：
ABsin180°-75°+45°=ACsin45°⇒6sin60°=ACsin45°⇒AC=2
可得答案:AC=2
考点：正弦定理,难度：★☆☆☆☆☆
例6、（共5分，2分钟）在∆ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2AsinC= .
解答：sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2ac∙b2+c2-a22bc=1
可得答案sin2AsinC=1
考点：正弦定理、余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例7、（共5分，3分钟）若锐角∆ABC的面积为103，且AB=5，AC=8,则BC等于________．
解答：由已知得的∆ABC面积为12AB∙ACsinA=20sinA=103，
∴sinA=32，A∈0，π2，可知A=π3
由余弦定理得AB2+AC2-2AB∙ACcosA=49，解得BC=7
可得答案BC=7
考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例8、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c若a=3，sinB=12,C=π6，则b= .
解答：由sinB=12且B∈0，π
∴B=π6或5π6，又C=π6，则B=π6
可得A=π-B-C=2π3，又a=3
由正弦定理asinA=bsinB,代入可得b=1
可得答案b=1
考点：正弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例9、（共5分，2分钟）设∆ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a,b,c,若a+b-ca+b+c=ab，则角C= .
解答：由a+b+ca+b-c=a2+b2-c2+2ab=ab
得a2+b2-c2=-ab
由余弦定理cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12,C=2π3
可得答案C=2π3
考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例10、（共5分，2分钟）在∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c..已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .
解答： 由正弦定理知2b=3c,解得b=3c2,a=2c.
则由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=-14
可得答案cosA=-14
考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例11、（共5分，3分钟）在∆ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知∆ABC的面积为315,b-c=2, cosA=-14,则a的值为 .
解答：因为0<A<π，所以sinA=1-cos2A=154,
又S∆ABC=12bcsinA=158bc=315，∴bc=24
解方程组b-c=2bc--24 得b=6,c=4由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccosA=64, 所以a=8
可得答案a=8
考点：同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例12、（共5分，3分钟）在∆ABC中，B=120°，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.
解答：由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB,即 2sin∠ADB=3sin120° ,
解得sin∠ADB=22，∠ADB=45°，从而∠BAD=15°=∠DAC ,
即C=30° ,AC=2|AB|cos30°=6.
可得答案AC=6
考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆
例13、（共12分，8分钟）∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=a,3b与n=cosA，sinB平行，
（I）求A;
（II）若a=7，b=2，求∆ABC的面积．
解答：（I）由m与n平行，则asinB-3bcosA=0,
由正弦定理，得sinAsinB-3sinBcosA=0
又sinB≠0 ,从而tanA=3由于0<A<π ,所以A=π3
(II)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,
而a=7,b=2,A=π3, 得7=4+c2-2c
因为c>0所以c=3
故∆ABC的面积为12bcsinA=332
可得答案（I）π3;（II）332.
考点：平行向量的坐标运算，正弦定理，3、余弦定理，4、三角形的面积公式，难度：★☆☆☆☆☆
例14、（共12分，8分钟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋ysin B＝csin C上．
(1)求角C的值；
(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．
解答:(1)由题意得a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C，
由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2，
即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos C＝＝，
结合0<C<π，得C＝.
(2)由a2＋b2＝6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0，
从而得a＝b＝3，
所以△ABC的面积S＝×32×sin ＝.
可得答案(1) C＝,(2)S∆ABC=934.
考点：正弦定理,余弦定理,三角形面积公式, 难度：★☆☆☆☆☆
例15、（共12分，8分钟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为。已知cosA=23 ，sinB=5cosC.
（1）求tanC的值；
（2）若a=2，求△ABC的面积。
解答：(Ⅰ)∵cosA=23>0, ∴sinA=1-cos2A=53
5cosC=sinB=sinA+C=sinAcosC+sinCcosA=53cosC+23sinC
整理得：tanC=5
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC=56
又由正弦定理知： asinA=csinC
故C=3. (1)
对角A运用余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc=23, (2)
解(1) (2)得： b=3或b=33(舍去)．
∴∆ABC的面积为：S=52
可得答案 (Ⅰ)5；(Ⅱ)52．
考点：三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积，难度：★★☆☆☆☆