正余弦定理经典题型.docx

正余弦定理 15道经典基础例题例1、（共5分，2分钟）在ABC中,若A=60,B=45 ,BC=32 ,则AC=（）A43 B23 C3 D.32 解答:由正弦定理,可得ACsin45=BCsin60所以AC=323222=23可得答案B考点: 考点：正弦定理, 难度：例2、（共5分，2分钟）在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a2+b2=2c2，则sinC的最小值为（ ）A. 32 B. 22 C. 12 D. -12 解答：cosC=a2+b2-c22ab=2c2-c22abc2a2+b2=12可得答案C考点：余弦定理，基本不等式，难度： 例3、（共5分，3分钟）在ABC中，AC，BC2，B60,则BC边上的高等于( )A. B. C. D.解答：设ABc，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2c2BC22BCccos 60，即7c244ccos 60，即c22c30，c3(负值舍去)又hcsin 603，故选B.可得答案B 考点：余弦定理，难度：例4、（共5分，3分钟）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c,C=2B ，则cosC= ( )A.725 B.-725 C.725 D.2425解答：由8b=5c,C=2B及正弦定理得， 8sinB=5sinC,sinC=sin2B,又由正弦公式知sin2B=2sinBcosB,整理可得 8sinB=10sinBcosB,cosB=45,sinB=35， cosC=cos2B=cos2B-sin2B=725 可得答案A考点：正弦定理，二倍角公式，难度：例5、（共5分，2分钟）在ABC中，AB=6,A=75,B=45，则AC= .解答:由正弦定理可知：ABsin180-75+45=ACsin456sin60=ACsin45AC=2 可得答案:AC=2考点：正弦定理,难度：例6、（共5分，2分钟）在ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2AsinC= .解答：sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2acb2+c2-a22bc=1可得答案sin2AsinC=1 考点：正弦定理、余弦定理，难度：例7、（共5分，3分钟）若锐角ABC的面积为103，且AB=5，AC=8,则BC等于_解答：由已知得的ABC面积为12ABACsinA=20sinA=103，sinA=32，A0，2，可知A=3由余弦定理得AB2+AC2-2ABACcosA=49，解得BC=7 可得答案BC=7考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：例8、（共5分，2分钟）设ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c若a=3，sinB=12,C=6，则b= . 解答：由sinB=12且B0， B=6或56，又C=6，则B=6 可得A=-B-C=23，又a=3 由正弦定理asinA=bsinB,代入可得b=1 可得答案b=1 考点：正弦定理，难度：例9、（共5分，2分钟）设ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a,b,c,若a+b-ca+b+c=ab，则角C= . 解答：由a+b+ca+b-c=a2+b2-c2+2ab=ab 得a2+b2-c2=-ab 由余弦定理cosC=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12,C=23 可得答案C=23 考点：余弦定理，难度：例10、（共5分，2分钟）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .解答： 由正弦定理知2b=3c,解得b=3c2,a=2c.则由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=-14可得答案cosA=-14考点：三角形面积公式，余弦定理，难度：例11、（共5分，3分钟）在ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为315,b-c=2, cosA=-14,则a的值为 .解答：因为0A，所以sinA=1-cos2A=154,又SABC=12bcsinA=158bc=315，bc=24解方程组b-c=2bc-24 得b=6,c=4由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=64, 所以a=8可得答案a=8考点：同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理，难度：例12、（共5分，3分钟）在ABC中，B=120，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_.解答：由正弦定理得ABsinADB=ADsinB,即 2sinADB=3sin120 ,解得sinADB=22，ADB=45，从而BAD=15=DAC ,即C=30 ,AC=2|AB|cos30=6. 可得答案AC=6考点：正弦定理, 难度：例13、（共12分，8分钟）ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=a,3b与n=cosA，sinB平行，（I）求A;（II）若a=7，b=2，求ABC的面积解答：（I）由m与n平行，则asinB-3bcosA=0,由正弦定理，得sinAsinB-3sinBcosA=0又sinB0 ,从而tanA=3由于0A0所以c=3故ABC的面积为12bcsinA=332可得答案（I）3;（II）332.考点：平行向量的坐标运算，正弦定理，3、余弦定理，4、三角形的面积公式，难度：例14、（共12分，8分钟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin Asin B)ysin Bcsin C上(1)求角C的值；(2)若a2b26(ab)18，求ABC的面积解答:(1)由题意得a(sin Asin B)bsin Bcsin C，由正弦定理，得a(ab)b2c2，即a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，结合0C0, sinA=1-cos2A=535cosC=sinB=sinA+C=sinAcosC+sinCcosA=53cosC+23sinC整理得：tanC=5()由图辅助三角形知：sinC=56又由正弦定理知： asinA=csinC故C=3. (1)对角A运用余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc=23, (2)解(1) (2)得： b=3或b=33(舍去)ABC的面积为：S=52可得答案 ()5；()52考点：三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积，难度：