第三课时两圆的公切线.docx

第三课时 两圆的公切线（三）
教学目标 ：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．
教学难点 ：
综合知识的灵活应用和综合能力培养．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念．
（2）切线的性质，弦切角等有关概念．
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠BAC=90°
证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O．
∵OA、OB是⊙O1的切线，
∴OA=OB．
同理OA=OC．
∴ OA=OB=OC．
∴∠BAC=90°．
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．
例2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．
求证：∠APC＝∠BPD．
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线．
证明：过P点作两圆的公切线MN．
∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，
∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，
即∠APC＝∠BPD．
反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点．
是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．
答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．
（三）练习
练习1、教材145练习第2题．
练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点．
求证：PA·PB=PD·PC．
证明：过点P作两圆的公切线EF
∵ AB是小圆的切线，C为切点
∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A
又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB
∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB
∴PA·PB=PD·PC
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．
（三）总结
学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形． 
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．
（四）作业 教材P151习题中15，B组2．
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D．
(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜想∠EAF与∠CBD的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．
(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．

提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．证明略（如图作辅助线）．
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩?a href= target=_blank>数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为∠CAD＝90°．
数学教案－两圆的公切线