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函数方程思想的应用举例
函数方程思想是中学数学中最基本、最重要的数学思想，也是历年高考的重点。
函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学问题。具体来说，即先构造函数，把给定问题转化为研究辅助函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、图象的交点个数、最值、极值等）问题，研究后得出所需要的结论。函数方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题。通过解方程（或方程组）或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决。函数与方程思想是密切相关的，函数，当时，就转化为方程或看作方程；而方程的解是函数图象与x轴交点的横坐标。函数与不等式也可以相互转化，对函数，当时，就是不等式，而求的解则可比较函数图象位置而得到。
一. 构造函数思想
例1. 证明不等式
分析：由所证不等式很容易想到比商法，但a、b的正负无法确定，即使分类后，当a、b都为正数时，其商也无法与1比大小，思路受阻。再观察不等式两边形式类似，稍加变形即为，即可联想到函数，就只需证了，利用函数单调性，问题得以巧妙解决。
解：令
在上，
则在上为增函数
则，即
所以。
点评：应用函数性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能方便地判断函数的有关性质。
例2. 已知，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的范围。
分析：我们习惯上把x当作自变量，构造函数，于是问题转化为：当时，恒成立，求x范围，但要解决这个问题要用到二次函数以及二次方程的区间根原理。相当复杂。而如果把m看作自变量，x视为参数，原不等式化为，构造函数为m的一次函数，在上恒大于0，这样就非常简单。
解：因为，
所以，
即
原不等式可化为恒成立，又
所以，令为m的一次函数，问题转化为在上恒大于0的问题。
则只需
解得或
即。
点评：注意到本题有两个变量x、m，且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为m的一次函数，大大简化了运算。在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数。
二. 构造方程思想
例3. 已知，则有（ ）
A. B.
C. D.
分析：原式变为，则是实系数一元二次方程的一个实根，故，故选C。
点评：通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程思想使问题迎刃而解。
例4. 已知，且，则a的范围为_______。
解：由平方得
又，则，
由此得到启示与都可用a表示，
故b、c是关于x的一元二次方程的两根。
故
解得。
点评：当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决。
三. 函数方程统一思想
例5. 已知三次方程恰有三个相异实根，求实数m的范围方程的根，即函数图象与x轴交点横坐标，由题意函数应与x轴有三个不同产点，因三次曲线连续且光滑，故只需函数极大值与极小值异号即可。
解：令
则
令，得
为使与x轴交于不同的三个点。
只须
即。
点评：方程函数互相转化，为得到方程根的情况，用函数图象特点，特别用导数法求得极值点，用限制极值的方法使图象穿x轴三次，问题解决。利用函数图象交点个数及交点位置，使方程满足其根的某限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想，借助图象特点，能直观又准确地看到方程根的情况.