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结合函数图象解决“行程问题”
——数形结合的思想在函数章节的具体应用
李小俊

函数章节，是学生学习的难点，也是重点内容之一。有了函数的思想好多中考中的实际问题便能迎刃而解。学函数要掌握好函数的图像和性质，并能利用函数图像，解决实际应用问题，真正的体会到数形结合在函数章节的具体应用。下面剖析几个实例，让同学们清楚地认识到这一点。
例1 已知：如图1，A、B两地相距4千米，上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与所用的时间（分）之间的关系如图所示。由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（ ）
A. 8：30 B. 8：35 C. 8：40 D. 8：45

点拨：结合题意，甲、乙两人离A地的距离（千米）与所用的时间（分）之间的关系如图所示，可以推出：从原点出发的这条线段是甲的图象，另一条是乙的图象。
容易求得甲的解析式为：

当时，，
从而求出乙的速度为：
（千米/分），
则乙到达A地的时间为：（分），
故选C。

例2 如图2，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）

A. 2.5米 B. 2米 C. 1.5米 D. 1米
点拨：从图上分析可知，甲、乙相距12米，甲速度快，经过了8秒，甲追赶上了乙，两个人相遇。就可以得到：8秒甲比乙多走了12米，即每秒多走1.5米。
正确答案选C。

例3 图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停了0.5小时；③汽车在这个行驶过程中的平均速度为千米/小时；④汽车自出发后3~4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

点拨：从图象看出，汽车往返于120千米的两地，去时停留了0.5小时，共用了3个小时，回来用了1.5小时，所以汽车一共行驶了240千米；汽车在行驶途中停了0.5小时；汽车在这个行驶过程中的平均速度为（千米/小时）；车自出发后3~4.5小时之间行驶的平均速度为（千米/小时）。故选A。

例4 甲、乙两名同学进行登山比赛，图表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象的有关数据回答下列问题：

（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；
（3）在（2）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山；在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？
点拨：（1）。
（2）当甲到达山顶时，走了12千米，当时，代入，可得，此时乙距离山顶：
（千米），
即A点距山顶的距离为4千米。
（3）解法一：乙同学在一小时内走了2千米，距离山顶还有2千米时，甲同学下山，可以求出点D的坐标为（5，12）。
由题意可知道，甲与乙在点B处相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，所以B点的纵坐标为

代入，得，
即，所以直线DB的解析式为
，
由当时，t＝6，把t＝6代入
，所以乙到达山顶时，甲离山脚的距离是6千米。
解法二：乙同学在一小时内走了2千米，距离山顶还有2千米时，需要1小时可以到达山顶，由题意可得，乙走了0.5千米与甲相遇，用时为：
（小时），
到山顶还需要小时，可以求出甲下山的速度为：
（千米/小时）。
所以乙到达山顶时，甲离山脚的距离为
（千米）（相比之下方法二更简单，读懂图象是解决问题的关系）。
注意：这类型的题目，要读懂图象，数形结合，再结合行程问题中的相遇追及问题，便可迎刃而解，这是解决这类题目的关键。

例5 为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电视台摄制组乘船往返于丽水A青田B两码头，在A、B间设立拍摄中心C，拍摄沿江岸的景色。往返过程中，船在C、B处均不停留，离开码头A、B的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系如图所示。根据图象提供的信息，解决下列问题：

（1）船只从码头A→B，航行的时间为_________小时、航行速度为_________千米／小时；
船只从码头B→A，航行的时间为_________小时、航行速度为___________千米／小时；
（2）过点C作CH∥t轴，分别交AD、DF于点G、H，设AC＝x，GH＝y，求出y与x之间的函数关系式；
（3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处，摄制组在拍摄中心C分两组行动，一组乘橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头B后，立即返回。
①求船只往返C、B两处所用的时间；
②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心C有多远？
思路点拨：（1）从图象看出，从码头A→B是顺流，速度为25千米/小时，从码头B→A是逆流，速度为15千米/小时；
（2）因为CH∥t轴，
所以△DGH∽△DAF，
所以；
即
所以。
（3）①由图象看出：当x＝25时，y就是往返C、B两处所用的时间，代入，即船只往返C、B两处所用的时间为小时。
②根据已知得：
所以，设经过t小时相遇，则

所以
即相遇时船只离拍摄中心C处20千米。