第二讲---函数.docx

屈原一中
第二讲 函数
一、函数的图像的作法
(一)基本函数的图像
基本函数是指：
1、正比例函数 2、一次函数3、反比例函数 4、二次函数
例题1 作出下列函数的简图：
(1)y=x; (2)y=-x; (3)y=2x+1; （4）y=x2; (5)y=x2+1; (6))y=(x-1)2-1;

(7); (8); (9） （10）；（11）；

（12）；（13）；

(二) 作限制自变量取值范围的基本函数图像
例2 作出下列函数的图像：
(1)y=x2-4x+3,x[0,3]; (2)y=x2-4x+3,x[-1,1]; (3)y=x2-4x+3,x[3,5].

(三)作分段函数的图像
例3 作出函数y=|x-1|+|x+1|的图像.

(四)平移法作函数图像
函数y=f(xa)b的图像可由函数y=f(x)的图像进行左右或上下平移得到
例4 作出下列函数的图像：
(1) y=; (2).

(五)对称法作函数图像
函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称，
函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称.
例5 已知f(x)=x2-6x+5,
(1)作出函数y=-f(x)的图像；(2)作出函数y=f(-x)的图像.

(六)翻折法作图
函数y=|f(x)|的图像可由函数y=f(x)的图像把x轴下方部分向上翻折而得到；
函数y=f(|x|)的图像关于y轴对称，而且其在y轴右侧的图像与函数y=f(x)在y轴右侧的图像完全相同.
例6 已知函数f(x)=-x2-2x+3,
(1)作出函数y=|f(x)|的图像；(2)作出函数y=f(|x|)的图像.
二、函数图像的应用
（一）求函数的值域
例7 求出下列函数的值域：
(1)y=|x-3|+|x-5|; (2)y=-x2+6x-5,x[0,7]; (3)y=,x[-1,0)∪(0,1].

(二)求函数的单调区间
例8 求下列函数的单调区间：
(1)y=; (2)y=;
(3)y=-x2+8x-7,x[1,6];(4)y=x2-3|x|+2; (5)y=|x2-4x+3|.

三、求函数的解析式常见题型与方法
(一)换元法
例9 已知f(x+1)=x2-2x-15,求f(x). 例10 已知求f(x).

(二)待定系数法
例11 一次函数f(x)满足f[f(x)]=2x+1,求f(x).

(三)赋值消元法
例12 已知函数f(x)满足，求f(x)的解析式.

例13 已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=2x,求f(x).

四 抽象函数定义域问题
抽象函数是指未给出函数解析式的函数.
(一)已知f(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域
例14 已知f(x)的定义域是[-1,4],求f(x2-2x-4)的定义域.

(二)已知f[h(x)]的定义域，求f(x)的定义域
例15 已知函数f(2x-1)的定义域是[1,2],求函数f(x)的定义域.

(三)已知f[h(x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域
例16 若f(x+1)的定义域是[-1,2],求函数f(2x-1)的定义域.
五 二次函数在闭区间上的最值问题
(一)定区间定对称轴型
例17 已知f(x)=x2+2x-1,x[1,],求函数f(x)的最大值与最小值.

例18 函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a＞0)在区间[2,3]上的最大值为5最小值为2，求a,b的值.

(二)定轴动区间型
例19 设二次函数f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t),求g(t)的解析式.

(三)动轴定区间型
例20 已知函数f(x)=x2+ax+3在区间[-2,2]上的最大值为g(a),求g(a).

六 抽象函数的单调性
(一)利用单调性求最值
例21 已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x),对任意x1，x2R都有f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2),且x>0时，f(x)<0,f(1)=-2,求f(x)在区间[-3,3]上的最值.

例22 函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意x1，x2（0，+∞）都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),当x>1时，f(x)>0,且f(2)=2,求f(x)在区间[8,16]上的最大与最小值.

(二)利用单调性解不等式或比较大小
例23 已知函数f(x)是定义在（-1,1）上的增函数，且f(t-1)<f(1-2t),求实数t的取值范围.

例24 已知函数f(x)定义域为（0，+∞），且对任意的x1，x2（0，+∞）都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),
且当x>1时，f(x)>0,又知f(4)=1.
(1)求证：f(1)=0; (2)求f(); (3)解不等式f(3)+f(x-1)≤1.

七 抽象函数的奇偶性
(一)奇偶性的判定
例25 已知函数f(x)定义域为R,且对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证函数f(x)为奇函数.

例26 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a,b R都有f(ab)=bf(a)+af(b).
(1) 求f(1),f(-1);(2)判断f(x)的奇偶性.

八 函数单调性与奇偶性综合
例27 已知函数f(x)为定义在[-5,5]上的奇函数，
且在[0.5]上单调递减，比较f(-)与f(3)的大小.

例28 定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)为减函数，且f(a)+f(a-1)>0,求实数a的取值范围.

九 分段函数的单调性与奇偶性
例29 求证函数f(x)=在R上是增函数.

30 判断函数f(x)=的奇偶性.

例31 已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数，且当x [0,3]时，f(x)=-2x+1，求函数f(x)的解析式.

例32 已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)-g(x)=-x2+3x-2,求f(x),g(x)的解析式.

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