函数与一元二次方程关系.doc

第21课时 用函数观点看一元二次方程（一）
朱红旗
一、学习目标
体会二次函数与方程之间的联系。理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，
二、学习过程
1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。
2.一元二次方程，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；
3.解下列方程（1） （2） （3）
4.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：
函数

图
象

交
点
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
4.对比第1题各方程的解，你发现什么？
归纳：⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程

与轴有 个交点

0，方程有 的实数根

与轴有 个交点；这个交点是 点

0，方程有
实数根

与轴有 个交点

0，方程 实数根.
例1 已知二次函数y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两点.求k的取值范围.
例2、画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；
(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系?
教学要点
（1）．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象。（2）．观察图象，图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)。6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解。
分析：二次函数与一元二次不等式有什么关系?
根据上面的图象回答下列问题。 (1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?
(当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?)
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
三、练习1. 二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．
2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；
3. 已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．
4．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．
第22课时 用函数观点看一元二次方程（二）
朱红旗
一、学习目标
1. 能根据图象判断二次函数的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
二、学习过程（主要是巩固上节课内容）
1、根据的图象和性质填表：（的实数根记为）
（1）抛物线与轴有两个交点 0；
（2）抛物线与轴有一个交点 0；
（3）抛物线与轴没有交点 0.
2.抛物线和抛物线与轴的交点坐标分别是
和 。抛物线与轴的交点坐标分别是 .
3、
抛物线
① 开口向上，所以可以判断 。
② 对称轴是直线= ，由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即 >0，已知 0，所以可以判定 0.
③ 因为抛物线与轴交于正半轴，所以 0.
④ 抛物线与轴有两个交点，所以 0；
4、⑴的符号由 决定：①开口向 0；②开口向 0.⑵的符号由 决定：① 在轴的左侧 ；② 在轴的右侧 ；③ 是轴 0.⑶的符号由 决定：①点（0，）在轴正半轴 0；②点（0，）在原点 0③点（0，）在轴负半轴 0.⑷的符号由 决定：
①抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
②抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
③抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
5、抛物线如图所示：看图填空：
（1）_____0；（2） 0；（3） 0;（4） 0 ;(5)______0；
（6）；（7）；（8）；（9）
6、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1，0)、(3，0)，求抛物线的对称轴.

7、画出函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答:
①方程x2-2x-3=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0;x取什么值时，函数值小于0？

8 已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。

9．利用函数的图象求下列方程的解。(1)、， (2)、

10．填空。(1)抛物线y＝x2－x－2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。
(2)抛物线y＝2x2－5x＋3与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______。
11．已知抛物线y＝x2＋x－k与直线y＝－2x＋1的交点的纵坐标为3。(1)求抛物线的关系式；(2)求抛物线y＝x2＋x－k与直线y＝－2x＋1的另一个交点坐标．

12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x－2相交于(m，－2)，(n，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x＝3，求函数的关系式。

13. 二次函数y＝x2－3x－18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。

14．已知函数y＝x2－x－2。(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象
(2)观察图象确定：x取什么值时，①y＝0，②y＞0；③y＜0。