函数中的恒成立问题（公开课）.doc

函数中的恒成立问题
教学目标：1.了解恒成立常见的几种题型。
2.理解并掌握恒成立问题的常用解法。
活动一：引入：
(1) ∀x(1,2)时，恒成立，求a的取值范围。
(2) ∀x (1,2)时，，求a的取值范围。
(3) ∀x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。

活动二：∀x∈D，f(x)>C
例1 ：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．

变式：已知不等式对恒成立，求实数x的取值范围．

【小结：】解决恒成立问题的方法：

活动三：∀x∈D，f(x)>g(x)
例2：已知函数，，其中，．
对任意，都有恒成立，求实数的取值范围

活动四：∀x1，x2∈D，
例3：已知函数，，其中，．
对任意，都有恒成立，求实数的取值范围
解：

活动五：∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C
例4：已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值．

活动六：课堂检测：
1.函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1, 则满足f(x)≤t2+2at+1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的范围是________

2.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为

3.已知，当时，恒成立，则实数的取值范围 ．

4.已知是偶函数，当
恒成立，则的值是__

5. 已知,若对一切的恒成立，则实数a的取值范围为 ．

活动六课堂小结：

1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．
2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
(1)∀x∈D，f(x)>C；
(2)∀x∈D，f(x)>g(x)；
(3)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C；
(4)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|.

3．不等式恒成立问题的处理方法
(1)转换求函数的最值
①若不等式A<f(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上A<f(x)min⇔f(x)的下界大于A.
②若不等式B>f(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>f(x)max⇔f(x)的上界小于B.
(2)分离参数法
①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式；
②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；
③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．
(3)转换成函数图象问题
①若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方；
②若不等式f(x)<g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象下方．

函数中的恒成立问题
活动一：引入：
(1) ∀x(1,2)时，恒成立，求a的取值范围。
(2) ∀x (1,2)时，，求a的取值范围。
(3) ∀x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。
活动二：∀x∈D，f(x)>C
例1 ：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．
分析：思路1、通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即。
思路 2、通过分离变量，转化到解决，即。
思路3、通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方．

变式：已知不等式对恒成立，求实数x的取值范围．

【小结：】解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．

活动三：∀x∈D，f(x)>g(x)
例2：已知函数，，其中，．
对任意，都有恒成立，求实数的取值范围
解：由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．
活动四：∀x1，x2∈D，
例3：已知函数，，其中，．
对任意，都有恒成立，求实数的取值范围
解：
活动四：∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C
例4：已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值．
【解答】 (1)∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
根据题意，得即解得∴f(x)＝x3－3x.
(2)令f′(x)＝3x2－3＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1，

x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
－2
↗
极大值
↘
极小值
↗
2
∵f(－1)＝2，f(1)＝－2，∴当x∈[－2,2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有
|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，所以c≥4，即c的最小值为4.
活动五：课堂检测：
1.函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1, 则满足f(x)≤t2+2at+1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的范围是________
2.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为

3.已知，当时，恒成立，则实数的取值范围 ．
4.已知是偶函数，当
恒成立，则的值是__
5. 已知,若对一切的恒成立，则实数a的取值范围为 ．

活动六小结：
1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．
2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
(1)∀x∈D，f(x)>C；
(2)∀x∈D，f(x)>g(x)；
(3)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C；
(4)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|.

3．不等式恒成立问题的处理方法
(1)转换求函数的最值
①若不等式A<f(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上A<f(x)min⇔f(x)的下界大于A.
②若不等式B>f(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>f(x)max⇔f(x)的上界小于B.
(2)分离参数法
①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式；
②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；
③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．
(3)转换成函数图象问题
①若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方；
②若不等式f(x)<g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象下方．