函数与方程综合题.doc

156．已知二次函数y=x2－（2m+4）x+m2－4（x为自变量）的图像与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3（OB－AO）=2AO·OB，直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值4．
（1）求m的取值范围；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）确定直线y=kx+k的解析式．
【思路点拨】
利用抛物线与x轴的交点A，B的位置及与y轴交点的位置和A，B两点到原点的距离可以求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解．
【参考答案】
（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）（x1<x2），依题意，方程x2－（2m+4）x+m2－4=0有两个不相等的实数根．
∴△=[－（2m+4）] 2－4（m2－4）>0．
解得m>－2． ①
又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方，
∴m2－4<0，∴－2<m<2． ②
（2）∵图像交y轴于负半轴，与x轴交于A，B两点，且x1<x2，
∴x1<0，x2>0．
由3（OB－AO）=2AO·OB可得
3[x2－（－x1）]=2（－x1）·x2，
即3（x1+x2）=－2x1x2，
由于x1，x2是方程x2－（2m+4）x+m2－4=0的两个根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m2－4．
∴3（2m+4）=－2（m2－4），
整理，得m2+3m+2=0．
∴m=－1或m=－2（舍去）．
∴二次函数的解析式为y=x2－2x－3．
（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．
∵直线y=kx+k与抛物线相交，
∴由
解得 或
∵∠POB为锐角．
∴点P在y轴右侧，
∴点P坐标为（k+3，k2+4k），且k+3>0．
∵tan∠POB=4，
∴=4．

如图所示，当点P在x轴上方时．

=4．解得k1=2，k2=－2．
经检验，k1=2，k2=－2都是方程的解，但k2+3<0．
∴k2=－2舍去．
∴直线的解析式为y=2+2．
当点P在x轴下方时，=－4，
解得k3=－2，k4=－6．
经检验，k3=－2，k4=－6是方程的解，但k4+3<0．
∴k4=－6舍去．
∴y=－2x－2．
∴所求直线的解析式为y=2x+2，或y=－2x－2．