专题：关于函数不动点的研究及其应用.doc

关于函数不动点的研究及其应用
相关概念：定义：一般地，对于定义在区间上的函数
（1）若存在,使得,则称是函数的一阶不动点,简称不动点；
（2）若存在,使,则称是函数的二阶不动点,简称稳定点；
说明：（1）不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标
（2）稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.

（3）令，则，故函数有两个二阶不动点
就是二元方程有解，即点都在函数图象上，所以得二阶不动点就是函数图象上关于直线对称两点的横坐标。
（4）若为函数的不动点，则必为函数的稳定点，但稳定点不一定就是不动点，但若函数单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。（证明）

相关习题：
1.（2013年四川文科）.设函数（，为自然对数的底数）. 若存在使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
分析：题目的等价于存在二阶不动点，而易知在定义域内为单调递增函数，故二阶不动点与一阶不动点等价，进而转化为存在一阶不动点，即，使得在有解,
整理可得，，在有解
令，
∵，∴在单调递增
，，，故选择
变式：（2013四川理科）设函数（，为自然对数的底数）. 若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.如果函数的二阶不动点恰是它的一阶不动点，求实数的取值范围。
分析：我们知道函数的不动点一定是稳定点，这里稳定点恰是不动点，即不存在非不动点的稳定点，即必然有解，且方程组无解。
由有解有解
由，得两式相减，得
得必然无解或仅有两个相等的实数根
故
对于方程组无解，可进一步优化即图象上不存在关于直线对称的两点，不妨假设存在两点关于对称，设中点
可求出直线方程，联立，消去，得
存在即有两个不相等的实根，不存在即

变式：若，且它的稳定点恰是它的不动点，则实数的取值范围为__________

3.（2013年江西理科）已知函数，且
（1）证明：函数的图像关于直线对称；
（2）若满足, 但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定实数的取值范围.
(1)证明：因为＝a(1－2|x|)，＝a(1－2|x|)，
有，
所以函数f(x)的图像关于直线对称．
(2)解：当0＜a＜时，有f(f(x))＝
所以f(f(x))＝x只有一个解x＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点．
当时，有f(f(x))＝
所以f(f(x))＝x有解集，又当时，f(x)＝x，故中的所有点都不是二阶周期点．
当时，有f(f(x))＝所以f(f(x))＝x有四个解0，，又f(0)＝0，，，，故只有是f(x)的二阶周期点．综上所述，所求a的取值范围为.
说明：对于第(2)问，可等价转化为函数的图象上至少存在两点关于直线对称，函数可化为， 故只需