第二章：函数、导数及其应用.doc

五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用一、填空题1（2013湖南高考理）若x2dx9，则常数T的值为_【解析】本小题主要考查定积分的计算x2dxT39，T0，T3.【答案】32（2013新课标高考理）若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图象关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_【解析】本题考查函数图象的对称性、函数图象的平移、偶函数及函数的极值与最值等知识，意在考查考生综合运用函数知识解答问题的能力、考查考生的运算能力；由函数图象的对称性得相应函数的奇偶性，利用图象平移知识确定函数解析式，再通过求导，研究函数的极值与最值因为函数f(x)图象关于直线x2对称，所以函数f(x2)为偶函数，因为f(x)(1x2)(x2axb)，所以f(x2)1(x2)2(x2)2a(x2)bx4(8a)x3(6ab23)x2(11a4b28)x(6a3b12)为偶函数，所以所以f(x)(1x2)(x28x15)，所以f(x)2x(x28x15)(1x2)(2x8)4x324x228x84(x36x27x2)4(x2)(x24x1)令f(x)0，得x2或x2或x2，且当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x2时，f(x)极大值16；当x2时，f(x)极大值16.所以函数f(x)的最大值为16.【答案】163（2013江西高考理）设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.【解析】本题考查求解函数的解析式、函数的求导及求解函数的导数值，意在考查考生的运算能力因为f(ex)xex，所以f(x)xln x(x0)，所以f(x)1，所以f(1)2.【答案】24（2013广东高考理）若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.【解析】本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力y|x10，即当x1时，kk10，解得k1.【答案】15（2013山东高考理）定义“正对数”：lnx现有四个命题：若a0，b0，则ln(ab)blna；若a0，b0，则ln(ab)lnalnb；若a0，b0，则lnlnalnb；若a0，b0，则ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)【解析】本题考查指数函数、对数函数的性质，考查分类与整合思想、函数思想、化归与转化思想，考查考生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，考查创新意识对于命题，若0a0时，0y0,0ab0，此时ln(ab)blna0，此时命题成立；当a1时，根据指数函数性质可得对任意b0，ab1，此时ln(ab)ln abbln a，且blnabln a，此时命题成立，故命题为真命题对于命题，取a，b3时，ln(ab)0，lnalnbln 30，二者不相等，故命题不是真命题对于命题，若1，a1，b1，此时lnlnln aln b，lnalnbln aln b，不等式成立；若1,0a1,0b1，此时lnln 0，lnalnb0，不等式也成立；若1，a1，0bln a，lnalnbln a，此时不等式也成立根据对称性，当1时的各种情况就相当于交换了上述a，b的位置，故不等式成立综上，命题为真命题对于命题，若0a1,0b1，无论ab取值如何均有ln(ab)ln 2，不等式成立；若0a1，b1，则ln(ab)ln (ab)ln 2bln bln 2lnaln bln 2，不等式成立，同理a1,0b1时不等式也成立；当a1，b1时，ln(ab)ln (ab)，ln aln bln 2ln aln bln 2，故中不等式可化为ab2ab，构造函数g(a)ab2ab，则g(a)12b0，所以函数g(a)在1，)上单调递减，所以g(a)g(1)1b2b1b0，所以ab2ab，所以中的不等式成立，即命题为真命题【答案】6（2013北京高考理）函数f(x)的值域为_【解析】本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集当x1时，logx0，当x1时，02x0)图像上一动点若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_【解析】本题考查二次函数，基本不等式等知识，意在考查学生的函数思想与综合分析问题的能力设P，x0，则PA2(xa)22x22a2a222ax2a22.令tx，则由x0，得t2.所以PA2t22at2a22(ta)2a22，由PA取得最小值得或解得a1或a.【答案】1，8（2013安徽高考文）函数yln 的定义域为_【解析】本题主要考查函数定义域的求法以及不等式组的解法，意在考查考生的运算求解能力根据题意可知0x1，故定义域为(0,1【答案】(0,19（2013安徽高考文）定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.【解析】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力当1x0时，有0x11，所以f(1x)(1x)1(1x)x(1x)又f(x1)2f(x)，所以f(x)f(1x).【答案】10（2013山东高考文）定义“正对数”：lnx现有四个命题：若a0，b0，则ln(ab)blna；若a0，b0，则ln(ab)lnalnb；若a0，b0，则lnlnalnb；若a0，b0，则ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)【解析】本题通过新定义考查考生分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论思想及创新意识对于，当a1时，ab1，则ln(ab)ln abbln abln a，当0a1时，0ab1，则ln(ab)0，blna0，即ln(ab)blna，故正确；同理讨论a，b在(0，)内的不同取值，可知正确对于，可取特殊值ae，b，则ln(ab)0，lnalnb101，故不正确【答案】11（2013大纲卷高考文）设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.【解析】本题主要考查抽象函数的求值与周期性因为f(x)是以2为周期的函数，所以f(1)f(12)f(1)121.【答案】112（2013福建高考文）已知函数f(x)则f_.【解析】本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力ftan 1，ff(1)2(1)32.【答案】213（2013福建高考文）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(i)Tf(x)|xS；(ii)对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”现给出以下3对集合：AN，BN*；Ax|1x3，Bx|8x10；Ax|0x1，BR.其中，“保序同构”的集合对的序号是_(写出所有“保序同构”的集合对的序号)【解析】本题主要考查新定义问题和函数的单调性等基础知识，意在考查考生对新定义的理解与应用能力、数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力对：取f(x)x1，xN*，所以BN*，AN是“保序同构”；对：取f(x)x(1x3)，所以Ax|1x3，Bx|8x10是“保序同构”；对：取f(x)tan(0x1)，所以Ax|0x0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.【解析】由已知得Sdxxaa2，所以a，所以a.【答案】22（2012江西高考理）计算定积分11(x2sin x)dx_.【解析】(x2sin x)dx(cos x).【答案】23（2012天津高考理）已知函数y的图像与函数ykx2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是_【解析】因为函数y所以函数ykx2的图像恒过点(0，2)，根据图像易知，两个函数图像有两个交点时，0k1或1k0时，求导得f(x)，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k1，切线方程为yx1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为(，0)，(0，1)，(1,0)，平移直线x2y0，可知在点(0，1)处z取得最大值2.【答案】225（2012陕西高考理）已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，上是增函数，则a的取值范围是_【解析】结合函数图像求解因为yeu是R上的增函数，所以f(x)在1，)上单调递增，只需u|xa|在1，)上单调递增，由函数图像可知a1.【答案】(，126（2012上海高考理）已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.【解析】因为yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，所以当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.【答案】127（2012上海高考理）已知函数yf(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为_【解析】由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成图形的面积为(10x2)dxeq avs4al(iin(10x10x2)dxx3(5x2x3)eq avs4al(|oal(1,.【答案】28（2012江苏高考理）函数f(x) 的定义域为_【解析】由12log6x0解得log6x0x，故所求定义域为(0， 【答案】(0， 29（2012江苏高考理）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若f()f()，则a3b的值为_【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()f()，且f(1)f(1)，故f()f()，从而a1,3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，故b2a.由得a2，b4，从而a3b10.【答案】1030（2012福建高考理）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_【解析】f(x)(2x1)*(x1)即f(x)如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3.当x0时，x2xm，即x2xm0.得x2x31，0x2x3()2，即0x2x3；当x0时，由，得x，x10，即0x1.所以0x1x2x3，即x1x2x30.【答案】(，0)31（2012浙江高考文）设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则f()_.【解析】依题意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则f()f()f()1.【答案】32（2012四川高考文）函数f(x) 的定义域是_(用区间表示)【解析】由12x0得x1时，yx1，当1x1时，yx1，当x1时，yx1，图像如图所示，由图像可知当0k0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.【解析】函数g(x)在0，)上为增函数，则14m0，即m1，则函数f(x)在1,2上的最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a1时，函数f(x)在1,2上的最小值为a2m，最大值为a14，解得a，m.所以a.【答案】35（2012江苏高考文）函数f(x) 的定义域为_【解析】由12log6x0解得log6x00，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.【解析】令y1logax，y2bx，函数f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线ybx在x轴上的截距b满足3b4，函数f(x)只有一个零点，且n只能是1或者2.f(1)1b0，f(2)loga22b1340.根据函数零点定理可得函数f(x)的零点在区间(2,3)内，故n2.【答案】245（2011四川高考）计算(lglg25)100_【解析】原式(lg4lg25)lg(425)1021020.【答案】2046（2011四川高考）函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)【解析】对于函数f(x)x2，显然f(1)f(1)，但11，故f(x)x2不是单函数，错误对于，该命题为定义的逆否命题，为真命题；对于，由于f(x)是单函数，则对于集合B中的任意元素b，至多只有一个原象，故正确；对于，显然不满足单函数的定义，故不正确【答案】183（2011广东高考）函数f(x)x33x21在x_处取得极小值【解析】由题意知f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0得x0或x2，由f(x)0得x2，由f(x)0得0x0)在区间上有四个不同的根,则 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【解析】因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8二、解答题55（2013湖南高考理）已知a0，函数f(x).(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是否存在a，使函数yf(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解：本小题主要考查绝对值的意义，导数的几何意义及运算，应用导数求函数的单调性与最值，集合的交集的意义等，考查考生的推理论证能力，考查分类讨论思想、转化化归思想(1)当0xa时，f(x)；当xa时，f(x).因此，当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上单调递增若a4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)f(0).若0a4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增所以g(a)maxf(0)，f(4)而f(0)f(4)，故当0a1时，g(a)f(4)；当1a4时，g(a)f(0).综上所述，g(a)(2)由(1)知，当a4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求当0a4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增若存在x1，x2(0,4)(x1x2)，使曲线yf(x)在(x1，f(x1)，(x2，f(x2)两点处的切线互相垂直，则x1(0，a)，x2(a,4)，且f(x1)f(x2)1，即1，亦即x12a.(*)由x1(0，a)，x2(a,4)得x12a(2a,3a)，.故(*)成立等价于集合Ax|2ax3a与集合B的交集非空因为3a，所以当且仅当02a1，即0a0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值57.（2013重庆高考理）设f(x) a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：本题主要考查导数的几何意义和应用，意在考查考生的运算能力以及逻辑思维能力(1)因f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0.解：考查利用导数研究函数的单调性以及运用导数方法证明不等式等知识意在考查考生综合运用知识的能力以及化归与转化的思想(1)f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)，上单调递增且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2) 证明：当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(