第二章：函数、导数及其应用.doc

五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用
一、填空题
1．（2013·湖南高考理）若x2dx＝9，则常数T的值为________．
【解析】本小题主要考查定积分的计算．∵x2dx＝T3＝9，T>0，∴T＝3.
【答案】3
2．（2013·新课标Ⅰ高考理）若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．
【解析】本题考查函数图象的对称性、函数图象的平移、偶函数及函数的极值与最值等知识，意在考查考生综合运用函数知识解答问题的能力、考查考生的运算能力；由函数图象的对称性得相应函数的奇偶性，利用图象平移知识确定函数解析式，再通过求导，研究函数的极值与最值．因为函数f(x)图象关于直线x＝－2对称，所以函数f(x－2)为偶函数，因为f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)，所以f(x－2)＝[1－(x－2)2][(x－2)2＋a(x－2)＋b]＝－x4＋(8－a)x3＋(6a－b－23)x2＋(－11a＋4b＋28)x＋(6a－3b－12)为偶函数，所以所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，所以f′(x)＝－2x(x2＋8x＋15)＋(1－x2)·(2x＋8)＝－4x3－24x2－28x＋8＝－4(x3＋6x2＋7x－2)＝－4(x＋2)(x2＋4x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－2－或x＝－2＋，且当x＜－2－时，f′(x)＞0；当－2－＜x＜－2时，f′(x)＜0；当－2＜x＜－2＋时，f′(x)＞0；当x＞－2＋时，f′(x)＜0，所以当x＝－2－时，f(x)极大值＝16；当x＝－2＋时，f(x)极大值＝16.所以函数f(x)的最大值为16.
【答案】16
3．（2013·江西高考理）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
【解析】本题考查求解函数的解析式、函数的求导及求解函数的导数值，意在考查考生的运算能力．因为f(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋ln x(x>0)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.
【答案】2
4．（2013·广东高考理）若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
【解析】本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力．y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1.
【答案】－1
5．（2013·山东高考理）定义“正对数”：ln＋x＝
现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a＞0，b＞0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a＞0，b＞0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
【解析】本题考查指数函数、对数函数的性质，考查分类与整合思想、函数思想、化归与转化思想，考查考生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，考查创新意识．对于命题①，若0<a<1，由指数函数y＝ax可知，当x>0时，0<y<1，即对任意b>0,0<ab<1，于是ln＋(ab)＝0，且bln＋a＝b×0＝0，此时ln＋(ab)＝bln＋a＝0，此时命题成立；当a＝1时，ab＝1对任意b>0，此时ln＋(ab)＝bln＋a＝0，此时命题成立；当a>1时，根据指数函数性质可得对任意b>0，ab>1，此时ln＋(ab)＝ln ab＝bln a，且bln＋a＝bln a，此时命题成立，故命题①为真命题．
对于命题②，取a＝，b＝3时，ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝ln 3>0，二者不相等，故命题②不是真命题．
对于命题③，若≥1，a≥1，b≥1，此时ln＋＝ln＝ln a－ln b，ln＋a－ln＋b＝ln a－ln b，不等式成立；若≥1,0<a<1,0<b<1，此时ln＋＝ln ≥0，ln＋a－ln＋b＝0，不等式也成立；若≥1，a≥1，0<b<1，此时ln＋＝ln >ln a，ln＋a－ln＋b＝ln a，此时不等式也成立．根据对称性，当<1时的各种情况就相当于交换了上述a，b的位置，故不等式成立．
综上，命题③为真命题．
对于命题④，若0<a<1,0<b<1，无论a＋b取值如何均有ln＋(a＋b)≤ln 2，不等式成立；若0<a<1，b≥1，则ln＋(a＋b)＝ln (a＋b)<ln 2b＝ln b＋ln 2＝ln＋a＋ln＋ b＋ln 2，不等式成立，同理a≥1,0<b<1时不等式也成立；当a≥1，b≥1时，ln＋(a＋b)＝ln (a＋b)，ln＋ a＋ln＋ b＋ln 2＝ln a＋ln b＋ln 2，故④中不等式可化为a＋b≤2ab，构造函数g(a)＝a＋b－2ab，则g′(a)＝1－2b<0，所以函数g(a)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(a)≤g(1)＝1＋b－2b＝1－b≤0，所以a＋b≤2ab，所以④中的不等式成立，即命题④为真命题．
【答案】①③④
6．（2013·北京高考理）函数f(x)＝的值域为________．
【解析】本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．
分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x≥1时，logx≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
【答案】(－∞，2)
7．（2013·江苏高考文）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图像上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
【解析】本题考查二次函数，基本不等式等知识，意在考查学生的函数思想与综合分析问题的能力．
设P，x>0，则PA2＝(x－a)2＋2＝x2＋－2a＋2a2＝2－2ax＋＋2a2－2.
令t＝x＋，则由x>0，得t≥2.
所以PA2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2，
由PA取得最小值得
或
解得a＝－1或a＝.
【答案】－1，
8．（2013·安徽高考文）函数y＝ln＋ 的定义域为________．
【解析】本题主要考查函数定义域的求法以及不等式组的解法，意在考查考生的运算求解能力．
根据题意可知⇒⇒0<x≤1，故定义域为(0,1]．
【答案】(0,1]
9．（2013·安徽高考文）定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
【解析】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．
当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)．又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
【答案】－
10．（2013·山东高考文）定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a＞0，b＞0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a＞0，b＞0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．
【解析】本题通过新定义考查考生分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论思想及创新意识．对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋ a，当0<a<1时，0<ab<1，则ln＋(ab)＝0，bln＋a＝0，即ln＋(ab)＝bln＋a，故①正确；同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④正确．对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝
1＋0＝1，故②不正确．
【答案】①③④
11．（2013·大纲卷高考文）设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.
【解析】本题主要考查抽象函数的求值与周期性．因为f(x)是以2为周期的函数，所以f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.
【答案】－1
12．（2013·福建高考文）已知函数f(x)＝则f＝________.
【解析】本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f＝－tan ＝－1，∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
【答案】－2
13．（2013·福建高考文）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：
(i)T＝{f(x)|x∈S}；(ii)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：
①A＝N，B＝N*；
②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；
③A＝{x|0<x<1}，B＝R.
其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
【解析】本题主要考查新定义问题和函数的单调性等基础知识，意在考查考生对新定义的理解与应用能力、数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．对①：取f(x)＝x－1，x∈N*，所以B＝N*，A＝N是“保序同构”；对②：取f(x)＝x－(－1≤x≤3)，所以A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}是“保序同构”；对③：取f(x)＝tan(0<x<1)，所以A＝{x|0<x<1}，B＝R是“保序同构”，故应填①②③.
【答案】①②③
14．（2013·浙江高考文）已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
【解析】本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f(a)＝＝3，得a＝10.
【答案】10
15．（2013·浙江高考文）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝________.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数、利用函数的图像研究不等式等数学思想，从而考查考生利用已知材料进行综合判断的能力，意在考查考生的函数思想以及综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．由于不等式0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，即－x4＋x3≤ax＋b≤x3－2x2＋1，记f(x)＝x3－2x2＋1，g(x)＝－x4＋x3，显然f(x)－g(x)＝x4－2x2＋1＝(x2－1)2，所以当x≥0时，f(x)≥g(x)，当且仅当x＝1时取“＝”，而f′(x)＝3x2－4x，g′(x)＝－4x3＋3x2，f′(1)＝g′(1)＝－1，因此，当y＝ax＋b为f(x)与g(x)在x＝1处有公切线时，才能使0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2恒成立，此时a＝f′(1)＝－1，b＝1(切点为(1,0))，所以ab＝－1.
【答案】－1
16．（2013·天津高考文）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________(m)．

【解析】本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．

如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20(m)．
【答案】20
17．（2013·江西高考文）若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
【解析】本题主要考查直线与导数的几何意义．由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.
【答案】2
18．（2013·四川高考文）lg＋lg的值是________．
【解析】本题主要考查对数的运算，意在考查考生对基本性质与公式的掌握．lg＋lg＝lg(×)＝lg 10＝1.
【答案】1
19．（2013·广东高考文）若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
【解析】本题主要考查导数及其几何意义知识，意在考查考生的运算求解能力．因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.
【答案】
20．（2012·重庆高考理）limn ―→∞ ＝________.
【解析】lim,n ―→∞ ＝lim,n ―→∞ ＝lim,n―→∞ ＝.　
【答案】
21．（2012·山东高考理）设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
【解析】由已知得S＝dx＝x＝a＝a2，所以a＝，所以a＝.
【答案】
22．（2012·江西高考理）计算定积分1－1(x2＋sin x)dx＝________.
【解析】(x2＋sin x)dx＝(－cos x)＝.
【答案】
23．（2012·天津高考理）已知函数y＝的图像与函数y＝kx－2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【解析】因为函数y＝＝所以函数y＝kx－2的图像恒过点(0，－2)，根据图像易知，两个函数图像有两个交点时，0<k<1或1<k<4.

【答案】(0,1)∪(1,4)
24．（2012·陕西高考理）设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为______________．
【解析】当x>0时，求导得f′(x)＝，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为(－，0)，(0，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.
【答案】2
25．（2012·陕西高考理）已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞]上是增函数，则a的取值范围是________．
【解析】结合函数图像求解．因为y＝eu是R上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图像可知a≤1.
【答案】(－∞，1]
26．（2012·上海高考理）已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
【解析】因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，
所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，
得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
【答案】－1
27．（2012·上海高考理）已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．
【解析】由题意可得
f(x)＝所以y＝xf(x)＝
与x轴围成图形的面积为(10x2)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in((10x－10x2)dx＝x3＋(5x2－x3)eq \a\vs4\al(|\o\al(1,＝.
【答案】
28．（2012·江苏高考理）函数f(x)＝ 的定义域为________．
【解析】由1－2log6x≥0解得log6x≤⇒0＜x≤，故所求定义域为(0， ]．
【答案】(0， ]
29．（2012·江苏高考理）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()＝f(－)，且f(－1)＝f(1)，故f()＝f(－)，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.　①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a.　②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
【答案】－10
30．（2012·福建高考理）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
【解析】f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝

即f(x)＝

如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0＜m＜.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3.
当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0.得x2＋x3＝1，0＜x2x3＜()2，即0＜x2x3＜；
当x＜0时，由，得x＝，＜x1＜0，
即0＜－x1＜.所以0＜－x1x2x3＜，即＜x1x2x3＜0.
【答案】(，0)
31．（2012·浙江高考文）设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f()＝________.
【解析】依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则f()＝f(－)＝f()＝＋1＝.
【答案】
32．（2012·四川高考文）函数f(x)＝ 的定义域是________．(用区间表示)
【解析】由1－2x>0得x<.因此，函数f(x)＝的定义域是(－∞，)．
【答案】(－∞，)
33．（2012·天津高考文）已知函数y＝的图像与函数y＝kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【解析】函数y＝的定义域为{x|x≠1}，所以当x>1时，y＝x＋1，当－1<x<1时，y＝－x－1，当x≤－1时，y＝x＋1，图像如图所示，

由图像可知当0<k<2且k≠1时两函数恰有两个交点，所以实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2)．
【答案】(0,1)∪(1,2)
34．（2012·山东高考文）若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
【解析】函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x)在[－1,2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0<a<1时，函数f(x)在[－1,2]上的最小值为a2＝m，最大值为a－1＝4，解得a＝，m＝.所以a＝.
【答案】
35．（2012·江苏高考文）函数f(x)＝ 的定义域为________．
【解析】由1－2log6x≥0解得log6x≤⇒0<x≤，故所求定义域为(0，]．
【答案】(0，]
36．（2012·江苏高考文）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()＝f(－)，且f(－1)＝f(1)．故f()＝f(－)，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
【答案】－10
37．（2012·上海高考文）已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
【解析】由题可知f(x)＝g(x)－2是奇函数，故f(－1)＝g(－1)－2＝－f(1)＝－(g(1)－2)，
∴g(－1)＝4－g(1)＝3.
【答案】3
38．（2012·上海高考文）已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，1)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．
【解析】由题知y＝f(x)＝
∴y＝xf(x)＝∴函数y＝xf(x)的图像与x轴围成的图形的面积S＝2x2dx＋(2x－2x2)dx＝x3＋(x2－x3)＝.
【答案】
39．（2012·安徽高考文）若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
【解析】由f(x)＝可得函数f(x)的单调递增区间为[－，＋∞)，故3＝－，解得a＝－6.
【答案】－6
175．（2012·北京高考文）已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
【解析】由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2.
【答案】2
40．（2012·广东高考文）函数y＝的定义域为________．
【解析】要使函数有意义，需使所以函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
【答案】{x|x≥－1且x≠0}
41．（2012·新课标高考文）设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则
M＋m＝________.
【解析】f(x)＝＝1＋，考察函数g(x)＝，显然函数g(x)为奇函数，所以g(x)的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2.
【答案】2
42．（2012·安徽高考文）若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
【解析】f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－＝0，解得a＝4.
【答案】4
43．（2011·北京高考）已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是____．

【解析】作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0＜k＜1时，函数
f(x)与y＝k的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)．
【答案】(0,1)
44．（2011·山东高考）已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝______________.
【解析】令y1＝logax，y2＝b－x，函数f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线y＝b－x在x轴上的截距b满足3<b<4，函数f(x)只有一个零点，且n只能是1或者2.f(1)＝1－b<0，f(2)＝loga2＋2－b<1＋2－3＝0，f(3)＝loga3＋3－b>1＋3－4＝0.根据函数零点定理可得函数f(x)的零点在区间(2,3)内，故n＝2.
【答案】2
45．（2011·四川高考）计算(lg－lg25)÷100－＝____________
【解析】原式＝(－lg4－lg25)÷＝－lg(4×25)×10＝－2×10＝－20.
【答案】－20
46．（2011·四川高考）函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．
其中的真命题是__________．(写出所有真命题的编号)
【解析】对于函数f(x)＝x2，显然f(－1)＝f(1)，但－1≠1，故f(x)＝x2不是单函数，①错误．
对于②，该命题为定义的逆否命题，为真命题；
对于③，由于f(x)是单函数，则对于集合B中的任意元素b，至多只有一个原象，故③正确；
对于④，显然不满足单函数的定义，故④不正确．
【答案】②③
183．（2011·广东高考）函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【解析】由题意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，由f′(x)>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得0<x<2.∴f(x)在x＝2处取得极小值．
【答案】2
47．（2011·江苏高考）函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
【解析】由题意知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的定义域为{x|x＞－}，所以该函数的单调增区间为(－，＋∞)．
【答案】(－，＋∞)
48．（2011·江苏高考）已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
【解析】①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－，符合题意，所以综上所述，a＝－.
【答案】－
49．（2011·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x＞0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．
【解析】设点P的坐标为(x0，ex0)，则切线l的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，则过点P作l的垂线m的方程为y－ex0＝－(x－x0)，令x＝0，得M(0，ex0－x0ex0)，N(0，ex0＋x0)，所以t＝ex0＋－，得t′＝(1－x0)(＋)，令t′＝0，得x0＝1，当0＜x0＜1时，t′＞0，t＝ex0＋－单调递增；当x0＞1时，t′＜0，t＝ex0＋－单调递减，所以当x0＝1时，t取最大值，为(e＋)．
【答案】(e＋)
50．（2011·浙江高考）若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
【解析】由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
【答案】0
51．（2011·陕西高考）设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
【解析】显然f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3|＝1，得a＝1.
【答案】1
52．（2011·陕西高考）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
【解析】由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
【答案】3或4
53.（2010·江苏高考）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________.
【解析】设剪成的小正三角形的边长为，则：
法一： ，

，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是.
法二： 令，则：
故当时，S的最小值是.
【答案】
54. (2009·山东高考理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
答案:-8
二、解答题
55．（2013·湖南高考理）已知a>0，函数f(x)＝.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；
(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：本小题主要考查绝对值的意义，导数的几何意义及运算，应用导数求函数的单调性与最值，集合的交集的意义等，考查考生的推理论证能力，考查分类讨论思想、转化化归思想．
(1)当0≤x≤a时，f(x)＝；
当x>a时，f(x)＝.
因此，当x∈(0，a)时，f′(x)＝<0，f(x)在(0，a)上单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增．
①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝.
②若0<a<4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．
所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}．而f(0)－f(4)＝－＝，故当0<a≤1时，g(a)＝f(4)＝；当1<a<4时，g(a)＝f(0)＝.
综上所述，g(a)＝
(2)由(1)知，当a≥4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求．
当0<a<4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x1，x2∈(0,4)(x1<x2)，使曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1，即·＝－1，
亦即x1＋2a＝.(*)
由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，∈.
故(*)成立等价于集合A＝{x|2a<x<3a}与集合B＝的交集非空．
因为<3a，所以当且仅当0<2a<1，即0<a<时，A∩B≠∅.
综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.
56．（2013·福建高考理）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解：本小题主要考查函数、导数的几何意义、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
57.（2013·重庆高考理）设f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：本题主要考查导数的几何意义和应用，意在考查考生的运算能力以及逻辑思维能力．
(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)·(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，
故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
58．（2013·新课标Ⅰ高考理）设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解：本题主要考查利用导数求解曲线的切线，利用函数的导数研究函数的最值，进而解答不等式恒成立问题，意在考查考生综合运用导数这一重要工具解答函数与不等式问题的综合能力．
(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.
(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k的取值范围是[1，e2]．
59．（2013·新课标II高考理）已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
解：考查利用导数研究函数的单调性以及运用导数方法证明不等式等知识．意在考查考生综合运用知识的能力以及化归与转化的思想．
(1)f′(x)＝ex－.
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝ex－.
函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)，上单调递增且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2) 证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，
故只需证明当m＝2时，f(x)>0.
当m＝2时，函数f′(x)＝ex－在(－