三角函数大题汇编附答案.doc

三角函数大题汇编(附答案)1.已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间1解：方法一：(1)因为0，sin ，所以cos .所以f() .(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.(1)因为0，sin ，所以，从而f()sinsin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.2已知函数f(x)sin(x)的图像关于直线x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f ,，求cos的值2解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图像关于直线x对称，所以2k，k0，1，2，.因为，所以.(2)由(1)得fsin(2)，所以sin.由得0，所以cos.因此cossin sinsincoscossin.3 已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，.(1)当a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值3解：(1)f(x)sincos(sin xcos x)sin xcos xsin xsin.因为x0，所以x，故f(x)在区间0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得又，知cos 0，所以解得4已知向量a(m，cos 2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图像过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间4解：(1)由题意知，f(x)msin 2xncos 2x.因为yf(x)的图像过点和点，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin.由题意知，g(x)f(x)2sin.设yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)由题意知，x11，所以x00，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)将其代入yg(x)得，sin1.因为0c.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值5解：(1)由2得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292213.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C.所以cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.6ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan A，求B.6解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C.所以tan Btan180(AC)tan(AC)1，所以B135.7已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cossin的值7解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sincoscos sin(cos2 sin2 )，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，得2k，kZ，此时，cos sin .当sin cos 0时，(cos sin )2.由是第二象限角，得cos sin 0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.8已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值8解：(1)由已知，有f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2) 因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f，所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为. 9设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值； (2)求sin的值9解： (1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得cos B，所以由正弦定理可得a2b.因为b3，c1，所以a212，即a2 .(2)由余弦定理得cos A.因为0A，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.10.如图12，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD； (2)求BD，AC的长图1210解：(1) 在ADC中，因为cos ADC，所以sin ADC.所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549，所以AC7.11 在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_112解析 由，得sin B1，B90，C180(AB)30，则SABCACBCsin C42sin 302，即ABC的面积等于2.12. 设函数f(x)sinxsin，xR.(1)若，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；(2)若x是f(x)的一个零点，且010，求的值和f(x)的最小正周期12解：(1)f(x)sin xsinxsin xcos xsinx.当时，f(x)sin.又1sin1，所以f(x)的最大值为，此时2k，kZ，即x4k，kZ，所以相应的x的取值集合为xkZ.(2)依题意得，fsin0，即k，kZ，所以8k2.又010，即08k210，所以k1.又kZ，所以k0，所以2，所以f(x)sin2x，故f(x)的最小正周期为.13已知函数f(x)cos2sin2x.(1)求f的值；(2)若对于任意的x，都有f(x)c，求实数c的取值范围13解：f(x)cos2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin2x.(1)fsinsin.(2)由x0，知2x，所以当2x，即x时，f(x)maxf，所以c的取值范围为，.14.在ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且a2sin A，0.(1)求c的值； (2)求ABC面积的最大值14解：(1)0，ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin A2sin Acos C0.sin A0，cos C，C，csin C.(2)cos C，a2b2ab3，3ab3，即ab1，当且仅当ab1时，取等号，SABCabsin C，ABC面积的最大值为.5在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(I)求cosA的值; (II)求c的值.解:(I)因为a=3,b=2,B=2A. 所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故. (II)由(I)知,所以.又因为B=2A,所以.所以. 在ABC中,. 所以. 16已知向量, 设函数. () 求f(x)的最小正周期. () 求f(x) 在上的最大值和最小值. 解:() =. 最小正周期. 所以最小正周期为. (). . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. 17在中,内角的对边分别是,且.(1)求; (2)设,求的值. 由题意得 18已知函数. () 求f(x)的最小正周期; () 求f(x)在区间上的最大值和最小值. 19设向量(I)若 (II)设函数 0.已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.(1)因为,根据题意有 (2) , 或, 即的零点相离间隔依次为和, 故若在上至少含有30个零点,则的最小值为. 21设的内角的对边分别为,.(I)求 (II)若,求. 22.在中,角的对边分别为,且.()求的值;()若,求向量在方向上的投影.解:由,得 , 即, 则,即 由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故. 根据余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为 2设的内角所对的边分别为,且,.()求的值; ()求的值.解:()由余弦定理,得, 又,所以,解得,. ()在中, 由正弦定理得 , 因为,所以为锐角,所以 因此 . 2已知函数的最小正周期为.()求的值; ()讨论在区间上的单调性.解:() .所以 () 所以 2已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.解:(1) 即, 又, (2) 即 两边分别平方再相加得: 2已知函数,.() 求的值; () 若,求.(); () 因为,所以, 所以, 所以. 2已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值;(II)求使成立的x的取值集合.解: (I). (II) 2在中,角,对应的边分别是,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,求的值.解:(I)由已知条件得: ,解得,角 (II),由余弦定理得:, 2在内角的对边分别为,已知.()求; ()若,求面积的最大值. 30如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA()由已知得,PBC=,PBA=30o,在PBA中,由余弦定理得=,PA=; ()设PBA=,由已知得,PB=,在PBA中,由正弦定理得,化简得, =,=. 31在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1)求角B的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范围解:(1)由已知得 即有 因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有. 因为,有. 又,于是有,即有.