三角函数大题汇编附答案.doc

三角函数大题汇编(附答案)
1.已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
1．解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－ ＝ .
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝ ,，求cos的值．
2．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
(2)由(1)得f＝sin(2×－)＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
3． 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
3．解：(1)f(x)＝sin＋cos＝
(sin x＋cos x)－sin x＝cos x－sin x＝sin.
因为x∈[0，π]，所以－x∈，
故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
又θ∈，知cos θ≠0，
所以
解得
4．已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
4．解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点和点，
所以
即
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sin＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝.
因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
5．解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.
由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.
6．解：由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin Ccos A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝.
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1，
所以B＝135°.

7．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cosα－sinα的值．
7．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sinαcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
8．已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
8．解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2) 因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，
f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.

9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值； (2)求sin的值．
9．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝
－.因为0<A<π，所以sin A＝＝＝.
故sin＝sin Acos＋cos Asin＝×＋×＝.
10.如图1­2，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长．

图1­2

10．解：(1) 在△ADC中，因为cos ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B
＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以AC＝7.
11． 在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　，则△ABC的面积等于________．
11．2　[解析] 由＝，得sin B＝＝1，
∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°，
则S△ABC＝·AC·BCsin C＝×4×2sin 30°＝2，即△ABC的面积等于2.

12. 设函数f(x)＝sinωx＋sin，x∈R.
(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；
(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f(x)的最小正周期．
12．解：(1)f(x)＝sin ωx＋sinωx－＝sin ωx－cos ωx＝sinωx－.
当ω＝时，f(x)＝sin－.
又－1≤sin－≤1，所以f(x)的最大值为，
此时－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z，
所以相应的x的取值集合为xk∈Z.
(2)依题意得，f＝sin－＝0，即－＝kπ，k∈Z，所以ω＝8k＋2.
又0<ω<10，即0<8k＋2<10，所以－<k<1.
又k∈Z，所以k＝0，所以ω＝2，所以f(x)＝sin2x－，
故f(x)的最小正周期为π.

13．已知函数f(x)＝cos2－sin2x.
(1)求f的值；
(2)若对于任意的x∈，都有f(x)≤c，求实数c的取值范围．
13．解：f(x)＝－
＝cos2x－＋cos 2x
＝cos 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin2x＋.
(1)f＝sin＋＝sin＝.
(2)由x∈0，，知2x＋∈，，
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝f＝，
所以c的取值范围为，＋∞.

14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且a＝2sin A，＋＋＝0.
(1)求c的值； (2)求△ABC面积的最大值．

14．解：(1)∵＋＋＝0，
∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，
∴sin A＋2sin Acos C＝0.∵sin A≠0，
∴cos C＝－，∴C＝，∴c＝·sin C＝.
(2)∵cos C＝－＝，∴a2＋b2＋ab＝3，
∴3ab≤3，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时，取等号，
∴S△ABC＝absin C≤，∴△ABC面积的最大值为.

5．在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值; (II)求c的值.
解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故.
(II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.
在△ABC中,.
所以.
16．已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f(x) 在上的最大值和最小值.
解:(Ⅰ) =.
最小正周期.
所以最小正周期为.
(Ⅱ).
.
所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为.
17．在中,内角的对边分别是,且.
(1)求; (2)设,求的值.

由题意得

18．已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.

19．设向量
(I)若 (II)设函数

0.已知函数,其中常数;
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.
(1)因为,根据题意有

(2) ,
或,
即的零点相离间隔依次为和,
故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.
21．设的内角的对边分别为,.
(I)求 (II)若,求.
22.在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
解:由,得
,
即,
则,即
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,则,故.
根据余弦定理,有,
解得或(舍去).
故向量在方向上的投影为
2．设△的内角所对的边分别为,且,,.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.
解:(Ⅰ)由余弦定理,得,
又,,,所以,解得,.
(Ⅱ)在△中,,
由正弦定理得 ,
因为,所以为锐角,所以
因此 .
2．已知函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.
解:(Ⅰ)
.所以
(Ⅱ)
所以
2．已知,.
(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.
解:(1)∵ ∴ 即,
又∵,∴∴∴
(2)∵ ∴即
两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴
2．已知函数,.
(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.
(Ⅰ);
(Ⅱ)
因为,,所以,
所以,
所以.
2．已知函数.
(I)若是第一象限角,且.求的值;
(II)求使成立的x的取值集合.
解: (I).

(II)

2．在中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.
解:(I)由已知条件得:
,解得,角
(II),由余弦定理得:,

2．△在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求△面积的最大值.

30．如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,
∴=,∴=.
31．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.
(1) 求角B的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范围
解:(1)由已知得
即有
因为,所以,又,所以,
又,所以.
(2)由余弦定理,有. 因为,有.
又,于是有,即有.