二倍角、三角函数典型例题.doc

二倍角、三角函数 典型例题
例1．已知的值．
解：由已知得：

由已知条件可知

例2．如图，在四边形中，， ·＝1，．
D
C
B
A

⑴求的长；
⑵求四边形的面积；
⑶求的值。
解：⑴由条件，得。∵·＝1，
∴。
∵，∴。 　　　
∴。故。 　　
⑵由⑴得。∴。 　
∴。∵，∴。
∴。故 。
⑶在中，，
∴。又∵，故。

例3.已知函数f(x)＝2cos.
(1) 设θ∈，且f(θ)＝＋1，求θ的值；
(2) 在△ABC中，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．
解：(1) f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.
由2cos＋＝＋1，得cos＝.
于是x＋＝2kπ±(k∈Z)，因为x∈，所以x＝－或.
(2) 因为C∈(0，π)，由(1)知C＝.
因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2.　①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b.
由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7.　②
由①②可得或于是a＋b＝2＋.
由正弦定理得＝＝＝，
所以sinA＋sinB＝(a＋b)＝1＋.

例4.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0＜α＜x＜π.
(1) 若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2) 若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
解：(1) ∵ b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，
∴ f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα
＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．
令t＝sinx＋cosx(0＜x＜π)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t≤.
则y＝f(x)＝t2＋t－1＝(t＋)2－，－1＜t≤.
∴ t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－.
由于0＜x＜π，故x＝.
所以函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2) ∵ a与b的夹角为，
∴ cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．
∵ 0＜α＜x＜π，∴ 0＜x－α＜π，∴ x－α＝.
∵ a⊥c，∴ cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0.
∴ sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin(2α＋)＋2sin2α＝0.
∴ sin2α＋cos2α＝0，∴ tan2α＝－.