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求函数值域的误解与分析
南漳县职教中心　　　 张锡斌

摘要：学生在解题中出错是学习活动的必然现象，老师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学。
关键词：函数，值域，案例

以下是我在教学中发现的有关“求函数的值域”的例题,拿出来供大家研讨。
一、出示例题
例1 求函数y=的值域
解：y===2+
∵X－1≠0
∴y≠2
∴ 函数的值域是{y/y≠2}
上例是求函数的值域的一种较常用的方法、即“配凑法”，学生易于掌握，但教学中发现有学生在解答其它例题时也采用此法，如：
例2：求函数y=（a﹥0且a ≠1）的值域。
误解：y=
∵2a－1≠0
∴y≠
∴函数的值域是{y/y≠}
正解：y==
∵2a－1﹥-1且2a－1≠0
∴当－1﹤2a－1﹤0时﹤－1
∴y=﹤
∴y﹤-1
又当2a－1﹥0时，y﹥
∴函数的值域是{y/y﹤-1或y﹥}
例3：求函数y= 的值域
误解：y===3+
∵x+x－1≠0
∴y≠3
∴函数的值域是{y/y≠3}
正解：y==3+
∵x+x－1=(x+-≥－ 且x+x－1≠0
∴当－≤x+x－1﹤0时≤－
∴y=3+≤3+(－=－
∴当x+x－1﹥0时，﹥0
∴y=3+﹥3
故函数的值域是{y/y≤－或y﹥3}
二、案例分析
上述学生对例2、例3的误解即反映出学生在解题教学的积极一面，又反映出学生对知识的系统性与思维的全面性的不足，下面作一扼要的分析。
对学生的误解的合理之处，其一是反映出学生已掌握“配凑法”求函数的值域的要点，另一就是学生具备了举一反三的思想。
不足之处就是忽视知识的系统性、严密性。同时，习惯性思维在脑海中也根深蒂固，从而导致知识（或公式）的生般硬套。细推敲，可以从以下几方面分析：
①知识性错误：表现在对函数性质的把握上，例一中分母X－1其值域为R，其性质就只需考虑X－1≠0。而例2中涉及指数函数y=a (0﹤a ≠1) 的值域问题，不仅仅是只考虑分母不为0，而且要考虑a﹥0 这一隐含条件，同时例3中分母x+x－1也需考虑其最小值问题，而学生笼统只要求分母不为0，显然属于思维不全面。
②逻辑性错误：由于例1的存在，故让很多学生错误的认为，如例2、例3类型的题目均可用“配凑法”来解题，这种逻辑思维显然是错误的，很多问题是要求具体问题具体分析。
③心理性错误：表现在人的思维定势及经验主义。往往很多学生在老师讲解某题的特殊解法后，学生把这种解法掌握后，所以在做其它题目不去考虑其它题目的具体特点，往往凭经验或凭已有固定的思路把这些题目和老师讲的例题等同其来，这完全是心理作用在作怪。
④缺乏拓展思维：学生应认识到有很多数学问题，解法不唯一，应提倡学生对同一题目思考多种解法，若多种解法的答案不同，便可自己发现问题，进而进一步思考，从而去伪存真。同时众多的解法中，也宜来用更为简单较好的。如上述例2，事实上也可用反解法解之：由y=得a= ﹥0得出y﹤－1或y﹥此解法显然比前面的解法要简洁。
以上事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的活动，其“对而不全”的解法，正是学生对很多数学问题中暴露出的通病，我们即要赏识这种建构活动的合理性，又需在教研活动中完善它。
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