2013年高三数学一轮复习-第二章第12课时知能演练轻松闯关-新人教版.doc

2013年高三数学一轮复习 第二章第12课时知能演练轻松闯关 新人教版

1．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为(　　)
A．e　　　　　　　　　　 B．1
C．－1 D．－e
解析：选C.函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，
又y′＝－1＝，
令y′＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；
当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.
2．(2011·高考陕西卷)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：由题意知f(1)＝lg 1＝0，∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.
答案：1
3．(2011·高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0<k－1<1，即1<k<2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

一、选择题
1．(2011·高考湖南卷)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选D.根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为
cosxdx＝sinx＝sin－sin＝.
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)
A．6 cm　　　　　　　　 B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
解析：选B.设剪去的小正方形边长为x cm，则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.故选B.
3．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为(　　)
A．[，e] B．(，e)
C．[1，e] D．(1，e)
解析：选A.f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，]上的增函数．
∴f(x)的最大值为f()＝e，
f(x)的最小值为f(0)＝.
4．(2012·兰州调研)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)
A．0≤a<1 B．0<a<1
C．－1<a<1 D．0<a<
解析：选B.∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.故选B.
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；
②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于0.
其中正确的结论有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0，
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴，即.
解得a＝0，b＝－4，
∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2,2]，
∴极值点有两个．
∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.
∴①③正确，故选C.
二、填空题
6．函数f(x)＝x2－lnx在[1，e]上的最大值为________．
解析：∵f′(x)＝x－，∴当x∈(1，e)时，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，e]上是增函数，故f(x)min＝f(1)＝.
答案：
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝，由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
答案：[－4，－2]
8．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为
a≥，
设g(x)＝，x∈(0,1]，
g′(x)＝＝－，
g′(x)与g(x)随x变化情况如下表：
x

f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
4
↘
因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．
答案：[4，＋∞)
三、解答题
9．已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在上的最大值和最小值．
解：∵f′(－1)＝0，
∴3－2a＋1＝0，即a＝2.
∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．
由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－；
由f′(x)＜0，得－1＜x＜－.
因此，函数f(x)在上的单调递增区间为，，
单调递减区间为.

∴f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；
f(x)在x＝－处取得极小值为f＝.
又∵f＝，f(1)＝6，且＞，
∴f(x)在上的最大值为f(1)＝6，
最小值为f＝.
10．(2011·高考浙江卷)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
注：e为自然对数的底数．
解：(1)因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
只要
解得a＝e.
11．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，
∵1≤x≤20，x∈N*，∴P′(x)＝0时，x＝12，
当1≤x<12，且x∈N*时，P′(x)>0，
当12<x≤20，且x∈N*时，P′(x)<0，
∴x＝12时，P(x)有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.
所以当x≥1时，MP(x)单调递减，
所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少．
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