安徽省皖南八校高三数学12月联考试题-理(含解析)新人教A版.doc

安徽省皖南八校2013届高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）等于（）A1+iB1+iC1iD1i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：直接利用两个复数代数形式的乘除法法则，运算求得结果解答：解：=2i=1+i2i=1i，故选C点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，属于基础题2（5分）已知集合A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xy，x+yA，则集合B中的元素个数为（）A2B3C4D5考点：元素与集合关系的判断专题：计算题分析：通过集合B，利用xA，yA，xy，x+yA，求出x的不同值，对应y的值的个数，求出集合B中元素的个数解答：解：因为集合A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xy，x+yA，当x=1时，y=2或y=3或y=4；当x=2时y=3；所以集合B中的元素个数为4故选C点评：本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用3（5分）已知各项均为正数的等差数列an中，a2a12=49，则a7的最小值为（）A7B8C9D10考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由条件可得得 a7=，再利用基本不等式a7的最小值解答：解：由等差数列的性质可得 a7=，等差数列an中，各项均为正数，a2a12=49，=7，当且仅当 a2 =a12 时，等号成立，故则a7的最小值为 7，故选A点评：本题主要考查等差数列的性质应用，基本不等式的应用，属于中档题4（5分）已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，则（）ABCD考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数专题：计算题；概率与统计分析：由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解解答：解：某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，=5，=，故选A点评：本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（5分）（2009东城区一模）已知命题：“若xy，yz，则xz”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形不能（）A都是直线B都是平面Cx，y是直线，z是平面Dx，z是平面，y是直线考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系分析：本题考查的知识点是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置判断，我们可根据空间中点、线、面之间的位置关系判定或性质定理对四个答案逐一进行分析，即可得到答案解答：解：若字母x，y，z在空间所表示的几何图形都是直线，则由线线夹角的定义，我们易得两条平行线与第三条直线所成夹角相等，故A不满足题意若字母x，y，z在空间所表示的几何图形都是平面则由面面夹角的定义，我们易得两个平行平面与第三个平面所成夹角相等，故B不满足题意若字母x，y，z在空间所表示的几何图形x，y是直线，z是平面若xy，yz，时，x也可能与z平行，故C满足题意若字母x，y，z在空间所表示的几何图形x，z是平面，y是直线则由面面垂直的判定定理易得结论正确故D不满足题意点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来6（5分）“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为（）A18B24C27D36考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；概率与统计分析：分类讨论，满足题意的四位数，1、2开头的四位数各6个，即可得到结论解答：解：由题意，1开头的四位数，其中2个1有6个，2个2有3个；2开头的四位数，其中2个2有6个，2个1有3个，故满足题意的四位数的个数为9+9=18个故选A点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7（5分）（2012武汉模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（）A（42，56B（56，72C（72，90D（42，90）考点：循环结构专题：阅读型分析：由已知中该程序的功能是计算 2+4+6+值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为9，即S=72，由此易给出判断框内m的取值范围解答：解：该程序的功能是计算 2+4+6+值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为9，第1次循环：S=0+2=2 k=1+1=2第2次循环：S=2+4=6 k=2+1=3第3次循环：S=6+6=12 k=3+1=4第4次循环：S=12+8=20 k=4+1=5第7次循环：S=42+14=56 k=7+1=8第8次循环：S=56+16=72 k=8+1=9退出循环此时S=72，不满足条件，跳出循环，输出k=9则判断框内m的取值范围是m（56，72故选B点评：本题主要考查了循环结构，是算法中重要的一种题型，同时考查了分析问题的能力，属于基础题8（5分）设命题p：（x，y，kR，且k0）命题q：（x3）2+y225（x，yR），若P是q的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A（0，3B（0，6C（0，5D1，6考点：简单线性规划；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：已知命题p：命题q：（x3）2+y225（x，yR），p是q的充分不必要条件可得pq，说明p所表示的区域在q所表示的区域内部，画出p和q的可行域，利用数形结合的方法进行求解；解答：解：由题意可得，p是q的充分不必要条件，可得pq，说明p所表示的区域在q所表示的区域内部，数形结合，画出p和q的区域范围，如下图：B（k，4），可知只需满足条件：，解得0k6；故选B；点评：此题主要考查线性规划问题，解题的过程中用到了数形结合的方法，解决此题的关键是能够正确画出可行域，此题是一道中档题；9（5分）过双曲线的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线与A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）ABC2D考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用向量的线性运算及数量积运算，可得BOF=AOB=AOx=60，由此可求双曲线的离心率解答：解：，B为FA的中点BOF=AOB=AOx=60双曲线的离心率为e=2故选C点评：本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=1+x，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间a，b（ab，a，bZ）内，圆x2+y2=ba的面积的最小值是（）AB2C3D4考点：圆的标准方程；函数的零点专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆分析：利用导数研究函数f（x）的单调性，得函数f（x）是R上的增函数再用零点存在性定理，得f（x）在R上有唯一零点x0（1，0），结合函数图象的平移知识可得数F（x）的零点必在区间（5，4）由此不难得到ba的最小值，进而得到所求圆面积的最小值解答：解：f（x）=1+x，当x1或x1时，f（x）=1x+x2x3+x2012=0而当x=1时，f（x）=20130f（x）0对任意xR恒成立，得函数f（x）是（，+）上的增函数f（1）=（11）+（）+（）0，f（0）=10函数f（x）在R上有唯一零点x0（1，0）F（x）=f（x+4），得函数F（x）的零点是x04（5，4）a5且b4，得ba的最小值为4（5）=1圆x2+y2=ba的圆心为原点，半径r=圆x2+y2=ba的面积为r2=（ba），可得面积的最小值为故选：A点评：本题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值着重考查了函数的零点、圆的标准方程和利用导数研究函数的性质等知识点，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷中的横线上.11（5分）展开式中不含x3项的系数的和为0考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：把x=1代入可得所有项的系数的和，由二项式定理可得含X3项的系数为1，两个系数的差即为所求解答：解：把x=1代入可得展开式中所有项的系数的和为（12）6=1，而含X3项为：=x3，即x3系数为1，故展开式中不含X3项的系数的和为：11=0，故答案为：0点评：本题考查二项式系数的性质，赋值是解决问题的关键，属基础题12（5分）（2013东莞二模）已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是6考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由已知中的三视图，我们可分析出几何体的形状及底面边长高等信息，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面，以2为高的四棱锥故这个几何体的体积V=Sh=332=6故答案为：6点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键13（5分）设非零向量、，满足|=|=|，+=，则sin，=考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：由向量式可得=，而cos=，代入可得其值，进而可得要求的值解答：解：+=，平方可得=，cos=，sin=，故答案为：点评：本题考查向量的夹角公式，涉及向量的简单运算，属基础题14（5分）已知函数f（x）=sinx+acosx（a0，0）的图象关于直线x=对称，点（）是函数图象的一个对称中心，则a+的最小值是考点：正弦函数的对称性；y=Asin（x+）中参数的物理意义专题：三角函数的图像与性质分析：由f（x）=sinx+acosx（a0，0）的图象关于直线x=对称，可得f（）=f（）=0，进而得到=k，再由a0，0，可得=3n+1，nN，此时a为定值，故当取最小值时，a+取最小值解答：解：f（x）=sinx+acosx（a0，0）的图象关于直线x=对称，f（）=f（）=0sin+acos=sin+acos=0；a=tan=tan=tan（）=+k，kZ即=ka0，0=3n+1，nN此时a=tan（n+）=故当=1时，a+的最小值是+1故答案为：+1点评：本题考查三角函数的性质，求得a是关键，考查正弦函数的对称性，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于难题15（5分）若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1）f（x2）=1成立，则 称此函数为“滨湖函数”下列命题正确的是（把你认为正确的序号都填上）y=是“滨湖函数”；y=+sinx（x）I是“滨湖函数”；y=2x是“滨湖函数”；y=lnx是“滨湖函数”；y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“滨湖函数”考点：抽象函数及其应用；函数的值专题：新定义；函数的性质及应用分析：利用“滨湖函数”的定义，逐个分析五个函数，能够得到结果解答：解：对于，对应的x1，x2不唯一，不一定是“滨湖函数”；对于，函数y=是上的单调增函数，对，内的每一个值，在，内存在唯一的x2，使=成立，是“滨湖函数”；对于，y=2x，2x2x=1，是“滨湖函数”；对于，y=lnx有零点，一定不是y=lnx“滨湖函数”；对于，y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，对于定义域中每一个x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1）f（x2）=1和y=g（x1）g（x2）=1成立，两个x2不一定相等，y=f（x1）g（x1）f（x2）g（x2）=1不一定成立，不是“滨湖函数”故答案为：点评：本题考查函数的性质的基本应用，解题时要认真审题，注意理解“滨湖函数”的概念三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷上的指定区域内.16（12分）（2012资阳二模）ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足（）求角A的大小；（）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：（）通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；（）通过A利用2012年6月7日 17：54：00想的内角和，化简为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小解答：解 （）由已知，化为2bccosA=a2b2c22bc，（2分）由余弦定理a2=b2+c22bccosA得4bccosA=2bc，（4分）0A，（6分）（），=（8分），当C+=，取最大值，解得B=C=（12分）点评：本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力17（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=，ADC=45，AEBC，垂足为E，沿直线AE将BAE翻折成BAE，使得平面BAE平面AECD连接BD，P是BD上的点（）当BP=PD时，求证：CP平面ABD；（）当BP=2PD时，求二面角PACD的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定专题：综合题分析：（） 由已知，得出EEEC，建立空间直角坐标系通过=0，=0得出CPAB，CPAD，证出CP平面ABD； （）设P（x，y，z），则=（x，y，z1），=（2x，1y，z），由=2得出P（ ，），分别求出面PAC 的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夹角求出二面角PACD 的大小解答：解：（）AEBC，平面BAE平面AECD，EEEC如图建立空间直角坐标系，（2分）则A（0，1，0），B（0，0，1），C（1，0，0），D（2，1，0），E（0，0，0），P（1，）=（0，1，1），=（2，0，0），=（0，） （4分）=0，CPAB=0，CPAD又ABAD=A，CP平面ABD； （7分）（）设P（x，y，z），则=（x，y，z1），=（2x，1y，z），由=2得解得x= y=，z=，P（ ，）=（ ，），=（1，1，0）（10分） 设面PAC 的法向量为=（x，y，z），则取x=y=1，z=3，则=（1，1，3），（12分）又平面DAC的法向量为=（0，0，1），设二面角PACD的大小为，则cos= （14分）点评：本题考查空间直线和平面垂直的判定，二面角大小求解考查空间想象、推理论证能力利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具18（12分）某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是（1）求该人获得奖金的概率；（2）设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：计算题；概率与统计分析：（1）设An（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则该人获得奖金的概率为P=P（A1A2A3A4A5）+P（）+P（），即可求得结论；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量的分布列及数学期望解答：解：（1）设An（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则An（n=1，2，3，4，5）相互独立，且P（An）=（n=1，2，3），P（A4）=P（A5）=该人获得奖金的概率为P=P（A1A2A3A4A5）+P（）+P（）=+2=；（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，则P（=0）=；P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=；P（=4）=；P（=5）=，的分布列为 0 1 2 3 4 5 PE=1+2+3+4+5=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题19（13分）已知抛物线P的方程是x2=4y，过直线l：y=1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C（1）证明：ABC是直角三角形；（2）证明：直线BC过定点，并求出定点坐标考点：恒过定点的直线；直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：直线与圆分析：（1）设A（m，1），B（x1，y1），C（x2，y2），利用导数的几何意义可得 =x1，化简得 2mx14=0同理可得 2mx24=0，故有 x1+x2=2m，x1x2=4计算AB和AC的斜率之积等于1，从而得到ABAC，即ABC是直角三角形（2）求得BC所在的直线方程为 yy1=（xx1），化简为y=mx+1，显然过定点（0，1）解答：解：（1）证明：设A（m，1），B（x1，y1），C（x2，y2）抛物线P的方程是x2=4y，y=x1，+1=mx1，2mx14=0同理可得，2mx24=0，x1+x2=2m，x1x2=4KABKAC=x1x2=1，ABAC，即ABC是直角三角形（2）证明：BC所在的直线方程为 yy1=（xx1），化简可得 y=（x1+x2）（x1x2），即 y=mx+1，显然，当x=0时，y=1，故直线BC过定点（0，1）点评：本题主要考查函数的导数的几何意义，判断两条直线垂直的方法，直线过定点问题，属于中档题20（13分）已知函数f（x）=，其中a0（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a使f（x）1在xR+上恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）在定义域内解不等式f（x）0，f（x）0即得到函数的单调区间；（2）若f（x）1在xR+上恒成立，即ln（1+x）ax在R+上恒成立构造函数h（x）=ln（1+x）ax（xR+），只需找满足不等式h（x）0的a值即可解答：解：（1）f（x）=，设g（x）=1ln（1+x），则g（x）=（1+x）2=可知g（x）在（1，0）上递增，在（0，+）上递减，所以f（x）在（1，0），（0，+）上是减函数，即f（x）的单调递减区间为（1，0），（0，+）（2）若f（x）1在xR+上恒成立，即ln（1+x）ax在R+上恒成立设h（x）=ln（1+x）ax（xR+），则h（x）=a，若a1，则xR+时，h（x）0恒成立，所以h（x）h（0）=0符合题意；若a0，显然不符合题意；若0a1，则h（x）=a=0，有x=1，所以x（0，）时h（x）0，所以y=h（x）在0，1上为增函数，当x0，1时，h（x）h（0）=0，所以不符合题意综上，a1点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，不等式的证明问题常转化为函数的最值处理21（13分）已知正项数列an中a1=1，前n项和Sn满足2Sn=anan+1；数列bn是首项和公比都等于2的等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和（3）记f（n）=，Tn=，求证：考点：数列递推式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过2Sn=anan+1；推出数列的递推关系式，推出数列是等差数列，然后求数列an的通项公式；（2）通过数列bn是首项和公比都等于2的等比数列，求出bn，利用错位相减法求解数列anbn的前n项和（3）通过f（n）=，化简Tn=的表达式，求出T1，T2，当n3时转化Tn，与Tn，然后证明解答：解：（1）因为2Sn=anan+1；所以n=1时2S1=a1a2，a1=1，所以a2=2，2Sn=anan+1；2Sn+1=an+1an+2；可得2an+1=an+1an+2anan+1；an0an+2an=2；a1=1，a2=2，数列an是等差数列，an=n（2）数列bn是首项和公比都等于2的等比数列，所以bn=2n，数列anbn的前n项和Sn=a1b1+a2b2+anbn=12+222+n2n2Sn=122+223+（n1）2n+n2n+1所以得Sn=n2n+1（2+22+2n）=（n1）2n+1+2（3）证明f（n）=，Tn=，T1=，T2=，当n3时Tn=又Tn=综上点评：本题考查等差数列与等比数列综合应用，数列与不等式的综合应用，考查数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力16