2014届常州市高三上学期期末统考数学试题及答案.doc

常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题 2014年1月
参考公式：
样本数据，，… ，的方差，其中=．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 设集合，，则= ▲ ．
2． 若（，i为虚数单位），则的值为 ▲ ．
3． 已知双曲线的一条渐近线方程为，则a的值为 ▲ ．
4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．
5． 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．
6． 函数的最小正周期为 ▲ ．
7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．
8． 已知实数，满足约束条件则的最大值为 ▲ ．
9． 若曲线：与曲线：在处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．
10． 给出下列命题：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题的序号为 ▲ ．
11． 已知，等比数列中，，，若数列的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．
12． 已知函数f(x)＝若，则实数k的取值范围为 ▲ ．
13． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 ▲ ．
14． 在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，．
（1）若，，求角A；
（2）若，，求的值．
（第16题）
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，AB⊥BC，E，F分别是，的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）若，求三棱锥
的体积．

17．（本小题满分14分）
设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和．
（第18题）

18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，椭圆E:的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．

19．（本小题满分16分）
几名大学毕业生合作开设打印店，生产并销售某种产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出元．假设该产品的月销售量（件）与销售价格（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，．设该店月利润为（元），月利润=月销售总额－月总成本．
（1）求关于销售价格的函数关系式；
（2）求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格．

20．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）当时，求函数的极大值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，设函数，若实数满足：且
，，求证：．

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数学Ⅱ（附加题） 2014年1月
21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（第21-A题）
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，等腰梯形ABCD内接于⊙，AB∥CD．过点A作⊙的切线交CD的延长线于点E．
求证：∠DAE=∠BAC.

B．选修4—2：矩阵与变换
已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知点，直线，求点P到直线l的距离．

D．选修4—5：不等式选讲
已知，，求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22． (本小题满分10分)
（第22题）
如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．
（1）若，求异面直线PA与CD所成角的余弦
值的大小；
（2）若二面角A－PB－C的余弦值的大小为，求
PA．

23．（本小题满分10分）
设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A
的子集．
（1）若M=，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数；
（2）若M=，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数．

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高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1． 2． 3． 4． 15 5．31.6（写成也对） 6． 7．
8． 9． 10．（1）（2） 11． 12． 13．4 14．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）∵，∴．由正弦定理，得．
化简，得． ………………………………………………2分
∵，∴或，
从而（舍）或．∴． ………………………………4分
在Rt△ABC中，，． …………………………………6分
（2）∵，∴．
由正弦定理，得，从而．
∵，∴． 从而． ……………8分
∵，，∴，． ……………………10分
∵，∴，从而，B为锐角，． ………12分
∴
=． …………………………………14分
16．证明：（1）连结．
∵直三棱柱中，是矩形，
∴点F在上，且为的中点．
在△中，∵E，F分别是，的中点， ∴EF∥BC． ……………2分
又∵BC 平面ABC， EF平面ABC，所以EF∥平面ABC． ………………4分
（2）∵直三棱柱中，平面ABC，∴BC．
∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF， EF． ………………………………6分
∵，∴EF⊥平面． ………………………………8分
∵EF 平面AEF，∴平面AEF⊥平面． ………………………………10分
（3） ………………………………12分
=． ………………………………14分
17．解：（1）由已知，得 解得 …………………4分
∴． ……………………………………………………………6分
（2），为正整数， 由（1）得，． …………………8分
进一步由已知，得，． ………………………………………10分
∵是等差数列，，∴的公差． ………………12分
由，得．
∴． …………………………………………14分
18． 解：当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则
，，．
∵，∴由O，M，Q三点共线，得，化简，得．………2分
∵，∴，化简，得．
由 解得 …………………………………………4分
（1）椭圆E的标准方程为． …………………………………………6分
（2）把，代入，得
． ……………………………………………8分
当△，时，，，
从而点． ……………………………………………10分
所以直线OM的方程．
由 得． ……………………………………………12分
∵OP是OM，OQ的等比中项，∴，
从而． ……………………………………………14分
由，得，从而，满足△． ……………15分
∴为常数． ………………………………………………………………16分
19．解：（1）当时，，代入，
解得． ………………………………………………………………2分
∴
即 ……………4分
（注：写到上一步，不扣分．）
（2）设，，，则
．
令，解得（舍去），．……………7分
当时，，单调递增；
当时，，单调递减． … ………………………………10分
∵，，，∴的最大值为．………12分
当时，单调递减，
故此时的最大值为． … ………………………………14分
综上所述，当时，月利润有最大值元． ……………………15分
答：该打印店店月利润最大为元，此时产品的销售价格为元/件． ……16分
20．解：函数的定义域为．
（1）当时，，，令得． ………1分
列表：
x

+
0

↗
极大值
↘
所以的极大值为． …………………………………………3分
(2) ．
令，得，记．
（ⅰ）当时，，所以单调减区间为； …………5分
（ⅱ）当时，由得，
①若，则，
由，得，；由，得．
所以，的单调减区间为，，单调增区间为； …………………………………………………………7分
②若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为；
③若，则，
由，得；由，得．
的单调减区间为，单调增区间为． ……9分
综上所述：当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
当时，单调减区间为，单调增区间为． ………………………………………………………10分
（3）（）．
由得．
∵， ∴(舍)，或．
∵，∴． …………………………………12分
由得，

因为，
所以（*）式可化为，
即． ………………………………………………14分
令，则，整理，得，
从而，即．
记．，令得（舍），，列表：

+

↘
↗
所以，在单调减，在单调增，又因为，所以，从而． ………………………………………………16分

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高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD， ∴AD=BC． 从而．
∴∠ACD=∠BAC. ……………………………………………………4分
∵AE为圆的切线，∴∠EAD=∠ACD. …………………………………8分
∴∠DAE=∠BAC. ……………………………………………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：设为直线上任意一点，在矩阵对应的变换下变为直线上点，则
，
化简，得 ……………………………………………4分
代入，整理，得． ……………………………8分
将点（1,1）代入上述方程，解得a=-1． ……………………………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：点P的直角坐标为， …………………………………………………4分
直线l的普通方程为， ………………………………………8分
从而点P到直线l的距离为． …………………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
证明：左边-右边=………4分
=， ………………………………………………………6分
∵，，
∴． ………………………………………………8分
从而左边-右边≤0，
∴． ………………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：连结OC．
∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC．从而PO⊥AB，PO⊥OC．
∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且． ……………2分
如图，建立空间直角坐标系．
（1），．
，，，
，． …………4分
从而， ．
∵，
∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为． ……………………………6分
（2）设，则．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．
从而是平面PAB的一个法向量．
不妨设平面PBC的一个法向量为，
∵，， ∴
不妨令x=1，则y=1，，则． ………………………8分
由已知，得，化简，得．
∴． …………………………………10分
23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分
（2）集合有个子集，不同的有序集合对(A,B)有个．
若，并设中含有个元素，则满足的有序
集合对 (A,B) 有个 ． …………………6分
同理，满足的有序集合对(A,B)有个． …………………8分
故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 ………………………………………………10分