2014届常州市高三上学期期末统考数学试题及答案.doc

常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学试题 2014年1月 参考公式： 样本数据， ，的方差，其中=一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 设集合，则= 2 若（，i为虚数单位），则的值为 3 已知双曲线的一条渐近线方程为，则a的值为 4 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 5 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 6 函数的最小正周期为 7 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 8 已知实数，满足约束条件则的最大值为 9 若曲线：与曲线：在处的切线互相垂直，则实数a的值为 10 给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面则其中所有真命题的序号为 11 已知，等比数列中，若数列的前2014项的和为0，则的值为 12 已知函数f(x)若，则实数k的取值范围为 13 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 14 在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，M，N为圆O上不同的两点，且满足若，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c设向量， （1）若，求角A； （2）若，求的值（第16题）16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，ABBC，E，F分别是，的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积17（本小题满分14分） 设等差数列的公差为d，前n项和为，已知， （1）求数列的通项公式；（2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，求数列的前n项和（第18题）18（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆E:的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且 （1）求椭圆E的标准方程； （2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由19（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设打印店，生产并销售某种产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出元假设该产品的月销售量（件）与销售价格（元/件）（）之间满足如下关系：当时，；当时，设该店月利润为（元），月利润=月销售总额月总成本（1）求关于销售价格的函数关系式；（2）求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格20（本小题满分16分） 已知函数，（1）当时，求函数的极大值；（2）求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若实数满足：且，求证：常州市教育学会学生学业水平监测 数学（附加题） 2014年1月21【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第21-A题）A选修41：几何证明选讲 如图，等腰梯形ABCD内接于，ABCD过点A作的切线交CD的延长线于点E 求证：DAE=BAC. B选修42：矩阵与变换 已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a的值 C选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点，直线，求点P到直线l的距离D选修45：不等式选讲已知，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分10分)（第22题）如图，三棱锥PABC中，已知平面PAB平面ABC，ACBC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，POAB，连结CD（1）若，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；（2）若二面角APBC的余弦值的大小为，求 PA23（本小题满分10分） 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A 的子集 （1）若M=，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； （2）若M=，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 2 3 4 15 531.6（写成也对） 6 7 8 9 10（1）（2） 11 12 134 14二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1），由正弦定理，得化简，得 2分，或，从而（舍）或 4分在RtABC中， 6分（2），由正弦定理，得，从而 ， 从而 8分 ， 10分 ，从而，B为锐角， 12分 = 14分16证明：（1）连结直三棱柱中，是矩形， 点F在上，且为的中点 在中，E，F分别是，的中点， EFBC 2分 又BC 平面ABC， EF平面ABC，所以EF平面ABC 4分（2）直三棱柱中，平面ABC，BCEFBC，ABBC，ABEF， EF 6分，EF平面 8分 EF 平面AEF，平面AEF平面 10分（3） 12分 = 14分17解：（1）由已知，得 解得 4分 6分（2），为正整数， 由（1）得， 8分进一步由已知，得， 10分是等差数列，的公差 12分由，得 14分18 解：当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则，由O，M，Q三点共线，得，化简，得2分，化简，得由 解得 4分（1）椭圆E的标准方程为 6分（2）把，代入，得 8分当，时，从而点 10分所以直线OM的方程由 得 12分OP是OM，OQ的等比中项，从而 14分由，得，从而，满足 15分为常数 16分19解：（1）当时，代入，解得 2分 即 4分（注：写到上一步，不扣分）（2）设，则令，解得（舍去），7分当时，单调递增；当时，单调递减 10分 ，的最大值为12分当时，单调递减，故此时的最大值为 14分综上所述，当时，月利润有最大值元 15分答：该打印店店月利润最大为元，此时产品的销售价格为元/件 16分20解：函数的定义域为 （1）当时，令得 1分列表：x+0 极大值 所以的极大值为 3分 (2) 令，得，记 （）当时，所以单调减区间为； 5分 （）当时，由得， 若，则，由，得，；由，得 所以，的单调减区间为，单调增区间为； 7分若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为； 若，则， 由，得；由，得 的单调减区间为，单调增区间为 9分综上所述：当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为，单调增区间为； 当时，单调减区间为，单调增区间为 10分 （3）（） 由得， (舍)，或 ， 12分由得， 因为，所以（*）式可化为，即 14分令，则，整理，得，从而，即 记，令得（舍），列表：+ 所以，在单调减，在单调增，又因为，所以，从而 16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学（附加题） 参考答案21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分A选修41：几何证明选讲证明：ABCD是等腰梯形，ABCD， AD=BC 从而ACD=BAC. 4分AE为圆的切线，EAD=ACD. 8分DAE=BAC. 10分B选修42：矩阵与变换解：设为直线上任意一点，在矩阵对应的变换下变为直线上点，则，化简，得 4分代入，整理，得 8分将点（1,1）代入上述方程，解得a=-1 10分C选修44：坐标系与参数方程 解：点P的直角坐标为， 4分直线l的普通方程为， 8分从而点P到直线l的距离为 10分D选修45：不等式选讲证明：左边-右边=4分=， 6分， 8分从而左边-右边0， 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22解：连结OC平面PAB平面ABC，POAB，PO平面ABC从而POAB，POOCAC=BC，点O是AB的中点，OCAB且 2分如图，建立空间直角坐标系（1）， ， 4分从而， ，异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为 6分（2）设，则 POOC，OCAB，OC平面PAB从而是平面PAB的一个法向量不妨设平面PBC的一个法向量为， 不妨令x=1，则y=1，则 8分由已知，得，化简，得 10分23解：（1）110； 3分（2）集合有个子集，不同的有序集合对(A,B)有个若，并设中含有个元素，则满足的有序集合对 (A,B) 有个 6分同理，满足的有序集合对(A,B)有个 8分故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 10分