资源描述
1．(2011年温州市十校联考)函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是( )
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选B.f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，当x＜0时f′(x)＞0，当0＜x＜2时f′(x)＜0，当x＞2时f′(x)＞0，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是(0,2)．
2．y＝x－lnx的单调递增区间为( )
A．(0,1) B．(－∞，0)和(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)
解析：选C.y′＝1－，令y′>0，得>0，∴x>1或x<0，又x>0，∴x>1.
3．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．－1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
解析：选A.y′＝a(3x2－1)，当a＞0时，y′＜0的解集为(－，)，故选A.
4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为________．
解析：∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0得－1<x<11，
∴函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为(－1，11)．
答案：(－1,11)
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.
2．已知函数f(x)＝＋lnx，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)
解析：选A.在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．故选A.
3．若y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调递增函数，则b的取值范围是( )
A．b<－1，或b>2 B．b≤－1，或b≥2
C．－1<b<2 D．－1≤b≤2
解析：选D.y′＝x2＋2bx＋b＋2，令y′≥0，即x2＋2bx＋b＋2≥0，即4b2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.当b＝－1时，y′＝x2－2x＋1，显然符合题意；当b＝2时，y′＝x2＋4x＋4，显然符合题意．故－1≤b≤2.
4．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
解析：选A.依题意，f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图像，只有A满足，故选A.
5．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)为增函数，则( )
A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac＜0
解析：选D.∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＞0恒成立．∵a＞0，∴Δ＝4b2－4·3ac＜0，即b2－3ac＜0.
6．(2011年高考辽宁卷)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：选B.设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
二、填空题
7．设f(x)在(a，b)内存在导数，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的________条件．
解析：对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减．反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(0)＝0.
答案：充分不必要
8．设命题p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q：m≥－5，则p是q的________条件．
解析：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是增加的，可知在(0，＋∞)上f′(x)＝＋4x＋m≥0成立，而当x＝时，min＝4，故只需要4＋m≥0，即m≥－4即可．故p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9．若函数f(x)＝x3＋ax在区间[1,2]上是减少的，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，当a∈[1,2]时，令f′(x)≤0，即3x2＋a≤0，即a≤－3x2，又x∈[1,2]，故a≤－12.当a＝－12时，显然符合题意．所以实数a的取值范围是a≤－12.
答案：a≤－12
三、解答题
10．设k∈R，函数f(x)＝F(x)＝f(x)－kx，x∈R.试讨论函数F(x)的单调性．
解：F(x)＝f(x)－kx＝
F′(x)＝
对于F(x)＝－kx(x＜1)，
当k≤0时，函数F(x)在(－∞，1)上是增函数；
当k＞0时，函数F(x)在(－∞，1－)上是减函数，在(1－，1)上是增函数．
对于F(x)＝－－kx(x≥1)，
当k≥0时，函数F(x)在(1，＋∞)上是减函数；
当k＜0时，函数F(x)在(1,1＋)上是减函数，在(1＋，＋∞)上是增函数．
11．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
解：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)＞0.
∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)＞0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是t≥5.
12．(2010年高考辽宁卷)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ .
则当x∈时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
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