专题四第一讲空间几何体.doc

第一讲　空间几何体

1．(2013·浙江省名校联考)一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图不可能为(　　)

A．正方形　　　　　　　 B．圆
C．等腰三角形 D．直角梯形
2．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．8
3．(2013·高考辽宁卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2
C. D．3
4．(2013·高考湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(　　)

A．V1 ＜V2＜V4 ＜V3 B. V1 ＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3 ＜V1＜V4
5．如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′＋b＝h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为(　　)

A．1＋且a＋b>h B．1＋且a＋b<h
C．1＋且a＋b>h D．1＋且a＋b<h
6．已知三棱锥S­ABC的三视图如图所示，

在原三棱锥中给出下列命题：
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命题正确的是________(填序号)．
7．(2012·高考上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．
8．已知一个圆柱的正视图是周长为12的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值等于________．
9.

如图，已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a.求它的外接球的体积．

10．如下的三个图中，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左视图(单位：cm)
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
(3)在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG.

11．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示．

(1)证明：AD⊥平面PBC；
(2)求三棱锥D­ABC的体积；
(3)在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

答案：
1．【解析】选D.当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是横放的一个圆柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能．于是只有D不可能．故选D.
2.

【解析】选D.本题考查斜二测画法的应用．由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2，在斜二测图形中O′B′＝2且∠B′O′A′＝45°，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝4.
因此，原平面图形的面积为2×4＝8，故正确答案为D.
3．【解析】选C.因为直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2R＝＝13，即R＝.
4．【解析】选C.由三视图可知，四个几何体自上而下依次是：圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V1＝×1×(π＋2π＋4π)＝π，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝×1×(4＋8＋16)＝，于是有V2<V1<V3<V4.
5．【解析】选B.设啤酒瓶的底面积为S，啤酒瓶的容积为V瓶，瓶内酒的体积为V酒，则V酒＝Sa，V瓶－V酒＝Sb，即得V瓶＝V酒＋Sb＝S(a＋b)，∴＝＝1＋.又∵Sa′>Sa，即a′>a.∴h＝a′＋b>a＋b，∴＝1＋且a＋b<h.
6.

【解析】由三视图知，在三棱锥S­ABC中，底面ABC为直角三角形且∠ACB＝90°.
即BC⊥AC，又SA⊥底面ABC，
∴BC⊥SA，由于SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC.所以命题①正确．由已知推不出②③命题正确．
【答案】①
7．【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，
则∴∴h＝.
∴V圆锥＝π×12×＝π.
【答案】π
8．【解析】圆柱的正视图是一个矩形，若设圆柱的底面半径为r，高为h，则依题意有4r＋2h＝12，即h＝6－2r，且0<r<3.故其侧面积S＝2πrh＝2πr(6－2r)＝4πr(3－r)≤4π·()2＝9π，此时r＝，所以该圆柱的侧面积的最大值等于9π.
【答案】9π
9．【解】设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，连接AC(图略)，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径．
因为AB＝BC＝a，所以AC＝a.
所以△SAC为正三角形．
由正弦定理得，2R＝＝＝a，
因此R＝a，则V外接球＝πR3＝πa3.
10．【解】(1)如图

(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×2＝(cm2)．

(3)证明：在长方体ABCD­A′B′C′D′中，
连结AD′，则AD′∥BC′.
因为E，G分别为AA′，A′D′的中点，所以AD′∥EG，
从而EG∥BC′.又BC′⊄平面EFG，所以BC′∥面EFG.
11．【解】(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD.
由三视图可得，在△PAC中，PA＝AC＝4，D为PC的中点，所以AD⊥PC，又BC∩PC＝C，
所以AD⊥平面PBC，
(2)由三视图可得BC＝4，
由(1)知∠ADC＝90°，BC⊥平面PAC.
又三棱锥D­ABC的体积即为三棱锥B­ADC的体积，
所以，所求三棱锥的体积V＝××2×2×4＝.
(3)取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ＝2CO，点Q即为所求．

连接OD，因为O为CQ的中点，
所以PQ∥OD，
因为PQ⊄平面ABD，OD⊂平面ABD，
所以PQ∥平面ABD.
连接AQ、BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，所以AQ＝4.
又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，PQ＝＝4.