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第一讲 空间几何体
一、选择题
1．(2010·广东)如图，△ABC为正三角形，AA′ ∥BB′∥CC′，
CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体
ABC－A ′B′C′的正视图(也称主视图)是 ( )
解析：根据三视图的定义，几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的
正投影，故选D.
答案：D
2．(2010·陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )
A. B. C．1 D．2
解析：由几何体的三视图知几何体是底面为以1和为直角边的直角三角形，高为
的直三棱柱，∴V＝×1××＝1，故选C.
答案：C
3．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为 ( )
A.a3 B.a3
C.a3 D.a3
解析：方法一：
设三棱锥另一棱长BC＝x，
如右图，取BC的中点E，连结AE、DE，易证BC垂直于平面ADE，
故VA－BCD＝S△ADE·BE＋S△ADE·EC＝S△ADE·BC＝··a·x
＝≤·＝，
当且仅当x2＝(3a2－x2)⇒x＝a时取得等号．
方法二：如上图，底ABD是固定的，当C动起来时，显然当平面CAD⊥平面ABD
时高最大，体积最大，
Vmax＝··a＝.
答案：C
4．如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF
均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为 ( )
A. B. C. D.
解析：如右图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，
容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝××＋××＋×1＝.故选A.
答案：A
5．(2010·全国Ⅰ)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四
面体ABCD的体积的最大值为 ( )
A. B. C．2 D.
解析：解法一：设AB＝a，CD＝b，异面直线AB与CD所成角为θ，距离为h，将
△BCD补成平行四边形BCDE，则BE＝b，∠ABE＝θ，
∴VA－BCD＝VA－BDE＝VD－ABE＝×absin θ·h＝abhsin θ，由题意知a＝b＝2，分别以
AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，则h＝2，∴VA－BCD＝×2×2×2sin θ
＝sin θ≤，当θ＝90°时取等号．
解法二：分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，将四面体ABCD放入长方
体中，如图，设长方体的底面边长为a、b，则VA－BCD＝V长方体＝ab×2＝ab，
又由a2＋b2＝4≥2ab得ab≤2，则VA－BCD≤，故选B.
解法三：过CD作平面PCD，使AB⊥面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为
h，则有VA－BCD＝×2××2×h＝h，当球直径通过AB与CD的中点时h最大，
hmax＝2＝2，故Vmax＝.
答案：B
二、填空题
6．(2010·辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的
三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，
其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2.
答案：2
7．半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是
________．
解析：由题意可知，P在圆面上的射影是圆心O.易得PA＝2，AO＝2，AF＝2，
∴S△PAF＝AF·＝.
∴正六棱锥的侧面积为6.
答案：6
8．(2009·江西)正三棱柱ABC－A1B1C1内接于半径为2的球，若A、B两点的球面距离
为π，则正三棱柱的体积为________．
解析：设O为球心，O1为正△ABC的中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，由已
知条件∠AOB＝，则AB＝AO＝2，AO1＝AB＝，OO1＝＝，
则V正三棱柱＝S△ABC·2OO1＝(2)2·＝8.
答案：8
9．(2010·江西)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，
分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
解析：将三棱锥O－ABC补形成如图所示的长方体，连CF、OE，OE与AB交于点
D，则平面OCD将三棱锥体积平分，A到平面OCD的距离d＝，有2×
d·S3＝×OA·OB·OC，
则S3＝；
同理S2＝，
S1＝，
而S＝，
S＝，
S＝，
∴S>S>S，因此S1>S2>S3.
答案：S3<S2<S1
三、解答题
10．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
(1)画出它的直观图(不要求写出画法)；
(2)求几何体的表面积和体积．
解：(1)由三视图可知，该几何体由一个正方体和一个四棱柱组成，如图所示．
(2)表面积为2××1＋×1＋7×1×1＋3×1＝15＋(m2)．
正方体的体积为13＝1 (m3)，四棱柱的体积为×1×1＝，所以，几何体的体
积为 m3.
11．如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，
求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′
面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A′DD′的底面面积为S，高
是h，因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝×Sh＝Sh.
剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
12．三棱锥一条侧棱长为16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是
17 cm，求棱锥的体积．
解：如图，
设AD＝16 cm，BC＝18 cm，取AD的中点E，连结CE、BE，
据题意，DC＝DB＝AC＝AB＝17 cm，AD＝16 cm，BC＝18 cm，
∵AC＝CD，E为AD中点，
∴CE⊥AD，又DE＝AD＝8cm，
∴CE＝＝15 (cm)，
同理BE＝15 cm，∴BE＝CE.
取BC的中点F，连结EF，则EF⊥BC，
EF＝＝＝12 (cm)．
∴S△BCE＝BC·EF＝×18×12＝108 (cm2)．
∵AC＝CD＝17 cm，E为AD的中点，∴CE⊥AD，同理BE⊥AD，
∴DA⊥平面BCE.
∴三棱锥可分为以底面BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥：VA－BCE和
VD－BCE，
∴VA－BCD＝2·S△BCE·AE＝2××108×8＝576 (cm3)．
即棱锥的体积为576 cm3.
用心 爱心 专心
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